一些有名的幾何定理

一些有名的幾何定理取材自維基百科-中文版.沒事的時候大家可以證著玩！答案在這里.阿基M德中點定理說明：圓上有兩點A,B，M為弧AB的中點，隨意選圓上的一點C，D為AC上的點使得MD垂直AC。若M、C在弦AB異側，則AD=DC+BC；若M、C在弦AB同側，則AD=DC-CB。b5E2RGbCAP婆羅摩笈多定理指出：若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分對邊。婆羅摩笈多是印度數(shù)學家。plEanqFDPw凡?奧貝爾定理＜vanAubel'stheorem）說明：給定一個四邊形，在其邊外側構造一個正方形。將相對的正方形的中心連起，得出兩條線段。線段的長度相等且垂直。DXDiTa9E3d芬斯勒-哈德維格爾定理＜Finsler-HadwigerTheorem）說明：若兩個正方形ABCD和AB'C'D'擁有同一個頂點A。B'D的中點、BD'的中點、ABCD的中心和AB'C'D'的中心將組成一個正方形。RTCrpUDGiT莫雷角三分線定理＜Morley'stheorem）說明對所有的三角形，其三個內角作角三分線，靠近公共邊三分線的三個交點，是一個等邊三角形。此定理由法蘭克?莫雷在1899年發(fā)現(xiàn)。對外角作外角三分線，也會有類似的性質，可以再作出4個等邊三角形。5PCzVD7HxA此定理有趣的地方是我們沒辦法用尺規(guī)作圖作出其等邊三角形，因為已經證明出尺規(guī)做圖無法做出三等分角。拿破侖定理，是拿破侖發(fā)現(xiàn)的平面幾何學定理：“以三角形各邊為邊分別向外側作等邊三角形，則他們的中心構成一個等邊三角形。”該等邊三角形稱為拿破侖三角形。如果向內作三角形，結論同樣成立。jLBHrnAILg同時拿破侖留下這樣的名言：''一個國家只有數(shù)學蓬勃發(fā)展，才能表現(xiàn)他的國力強大?！闷苼鎏┎┒ɡ硎欠▏鴰缀螌W家維克多?泰博〈VictorThebault，1882年-I960年〉）提出的平面幾何問題。xHAQX74J0X取平行四邊形的邊為正方形的邊，作四個正方形〈同時在平行四邊形內或外皆可）。正方形的中心點所組成的四邊形為正方形?！创藶榉?奧貝爾定理的特例。）LDAYtRyKfE取正方形的兩條鄰邊為三角形的邊，作兩個等邊三角形〈同時在正方形內或外皆可）。這兩個三角形不在正方形邊上的頂點，和正方形四個頂點中唯一一個不是三角形頂點的頂點，組成一等邊三角形。Zzz6ZB2Ltk給定任意三角形ABC，BC上任意一點M。作兩個圓形，均與AM、BC、外接圓相切。該兩圓的圓心和三角形內切圓心共線?！磻茫喝毡径ɡ恚ヾvzfvkwMI1第三題是最難的。1938年《美國數(shù)學月刊》曾刊出第三題，但直至1973年才為荷蘭數(shù)學家H.Streefkerk證出。2003年，Ayme發(fā)現(xiàn)早在1905年Y.Sawayama已解決這題。rqyn14ZNXI維維亞尼（Viviani＞定理說明：在等邊三角形內任意一點P跟三邊的垂直距離之和，等于三角形的高。EmxvxOtOco這個定理可一般化為：等角多邊形內任意一點P跟各邊的垂直距離之和，是不變的，跟該點的位置無關。它以溫琴佐?維維亞尼命名。西姆松定理說明：有三角形ABC，平面上有一點P。P在三角形三邊上的投影〈即由P到邊上的垂足）共線〈此線稱為西姆松線，Simsonline）當且僅當P在三角形的外接圓上。SixE2yXPq5相關的結果有：.稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點為線段PH的中點，且這點在九點圓上。.兩點的西姆松線的交角等于該兩點的圓周角。.若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關?？ㄖZ定理設ABC為三角形，O為其外心。則O到ABC各邊的距離之和為OOA+OOB+OOC=R+r，其中r為內切圓半徑，R為外接圓半徑。這個定理叫做卡諾定理。塞瓦線段＜cevian）是各頂點與其對邊或對邊延長線上的一點連接而成的直線段。塞瓦定理指出：如果已」伙'的塞瓦線段AD、BE、CF通過同一點O，則6ewMyirQFL它的逆定理同樣成立：若D、E、F分別在的邊BC、CA、AB或其延長線上，且滿足

BDCEAF_7^Tm=，則直線AD、BE、CF共點或彼此平行〈于無限遠處共點）。當AD、BE、CF中的任意兩直線交于一點時，則三直線共點；當AD、BE、CF中的任意兩直線平行時，則三直線平行。kavU42VRUs它最先由意大利數(shù)學家喬瓦尼?塞瓦證明。梅涅勞斯定理〈Menelaus'stheorem）是由古希臘數(shù)學家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一直線與的邊BC、CA、AB分別交于L、M、N，則有:y6v3ALoS89ANBLCM .Ar.1/.! 一。它的逆定理也成立：若有三點L、M、N分別在已」你’的邊BC、CA、AB或其延長線上〈至少有一點在延長線上），且滿足M2ub6vSTnP則L、M、N三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。case1.直線case1.直線LMN穿過三角形ABCcase2.直線LMN在三角形ABC外面0YujCfmUCw蝴蝶定理〈Butterflytheorem），是古典歐氏平面幾何的最精彩的結果之一。設M為圓內弦PQ的中點，過M作弦AB和CD。設AD和BC各相交PQ于點X和Y，則M是XY的中點。密克定理三圓定理：設三個圓C1,C2,C3交于一點0，而M,N,P分別是C1和C2,C2和C3,C3和C1的另一交點。設A為C1的點，直線MA交C2于B，直線PA交C3于C。那么B,N,C這三點共線。eUts8ZQVRd逆定理：如果已」3。是三角形，M,N,P三點分別在邊AB,BC,CA上，那么三角形—UF, —史"上一，—LTF的外接圓交于一點O。sQsAEJkW5T完全四線形定理：如果ABCDEF是完全四線形，那么三角形E..UJ,廠3',「」」3,U3'的外接圓交于一點O,稱為密克點。GMsIasNXkA四圓定理：設C1,C2,C3,C4為四個圓，A1和B1是C1和C2的交點，A2和B2是C2和C3的交點，A3和B3是C3和C4的交點，A4和B4是C1和C4的交點。那么A1,A2,A3,A4四點共圓當且僅當B1,B2,B3,B4四點共圓。TIrRGchYzg五圓定理：設ABCDE為任意五邊形，五點F,G,H,I,J分別是EA和BC,AB和CD,BC和DE,CD和EA,DE和AB的交點，那么三角形.."」/3,"似'■,?."m 的外接圓的五個不在五邊形上的交點共圓，而且穿過這些交點的圓也穿過五個外接圓的圓心。7EqZcWLZNX逆定理：設C1,,C2,C3,C4,C5五個圓的圓心都在圓C上，相鄰的圓交于C上，那么把它們不在C上的交點與比鄰同樣的點連起來，所成的五條直線相交于這五個圓上°lzq7IGf02E帕普斯定理設U，V，W，X，Y和Z為平面上六條直線。如