基于DIMA平臺的空間動點(diǎn)軌跡實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究

基于DIMA平臺的空間動點(diǎn)軌跡實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究姜濤（上海市南洋模范中學(xué)）手機(jī)號碼箱：civil_jt@126.com摘要：多媒體信息技術(shù)的快速發(fā)展使數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)手段豐富多彩，基于DIMA平臺進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)有助于學(xué)生將思維實(shí)踐和操作實(shí)踐相結(jié)合．以空間動點(diǎn)的軌跡研究為例，本文使用幾何圖霸平臺進(jìn)行作圖并輔助教學(xué)，由淺入深，經(jīng)歷從分析問題到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)再到一般解法等過程，通過問題解決型實(shí)驗(yàn)剖析此類熱點(diǎn)題型的本質(zhì)，鍛煉學(xué)生直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．關(guān)鍵詞：DIMA；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；空間動點(diǎn)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出“注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的時效性”．中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S]．北京：人民教育出版社，2018:4．基于DIMA平臺的高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生，數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)理論和思想發(fā)展的需要，創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，設(shè)計(jì)一系列問題，讓學(xué)生充分地利用DIMA平臺等實(shí)踐手段，在數(shù)學(xué)思維活動的參與下和數(shù)學(xué)理論的指導(dǎo)下，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地思考，親自動手實(shí)驗(yàn)或老師演示實(shí)驗(yàn)或?qū)W生通過思維探究某類數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生過程，驗(yàn)證某個數(shù)學(xué)猜想、獲得某種數(shù)學(xué)理論，更好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力和探究精神，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種數(shù)學(xué)探究活動．汪昌輝，朱偉葉．基于DIMA平臺的高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究[M]．上海：上?？茖W(xué)普及出版社，2017．中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S]．北京：人民教育出版社，2018:4．汪昌輝，朱偉葉．基于DIMA平臺的高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究[M]．上海：上海科學(xué)普及出版社，2017．圖SEQ圖\*ARABIC圖SEQ圖\*ARABIC1幾何圖霸界面“幾何圖霸”是一個用于繪制動態(tài)幾何圖形，輔助中學(xué)師生進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)、探索和創(chuàng)造的軟件．它類似于“幾何畫板”，具有動態(tài)變換功能，自由拖動對象仍能保持幾何關(guān)系不變；它區(qū)別于“幾何畫板”，是三維圖形軟件，圖形美觀、虛實(shí)自然、空間感強(qiáng)．“幾何圖霸”提供了豐富的畫圖工具，可以自定義工具和工具欄．不僅可以繪制平面幾何與立體幾何圖形，也可以繪制空間向量、曲線曲面、軌跡蹤跡、迭代分形．它具有強(qiáng)大的度量、計(jì)算功能．能根據(jù)計(jì)算結(jié)果繪制點(diǎn)、實(shí)施變換．這種形與數(shù)的轉(zhuǎn)化功能為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究構(gòu)建了極好的平臺．“幾何圖霸”可以應(yīng)用在教學(xué)的諸多方面，給師生提供一個觀察、探索圖形內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境．它不僅可以用于立體幾何教學(xué)，也可以廣泛應(yīng)用于平面幾何、解析幾何、函數(shù)、三角、數(shù)列、概率等教學(xué)中．教師可以用之制作課件、研究問題，在上課時進(jìn)行示范．學(xué)生可以用之畫圖計(jì)算、驗(yàn)證探究，培養(yǎng)想象能力，領(lǐng)悟幾何真諦．一、課例背景立體幾何背景下空間中動點(diǎn)（在某一平面內(nèi)）的軌跡問題，集空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系、圓錐曲線的概念、平面上動點(diǎn)的軌跡問題、解析幾何的基本思想為一體，考察對圖形運(yùn)動變化規(guī)律的洞察力，能較好地鍛煉學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，此類問題通常立意新穎、構(gòu)思精妙、富有挑戰(zhàn)性，在全國各省市高考卷或名校的測試卷中頗受青睞．本次授課對象為高二學(xué)生，學(xué)生已系統(tǒng)學(xué)習(xí)空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，能應(yīng)用四公理及其推論、線面位置關(guān)系、面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)分析和解決較為基礎(chǔ)的問題．在高二上學(xué)期學(xué)習(xí)了解析幾何，包括直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等基本平面軌跡，初步掌握了使用坐標(biāo)法分析軌跡問題．二、研究目標(biāo)1.會用空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系將空間動點(diǎn)的受限條件轉(zhuǎn)化為平面受限條件，會借助DIMA平臺（幾何圖霸軟件）提升空間想象能力；2.靈活運(yùn)用定義、建系（坐標(biāo)法）、截面法、常用結(jié)論等求解軌跡；3.復(fù)習(xí)鞏固直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等平面解析幾何的知識．三、研究過程引例：已知三棱錐，、、兩兩垂直且長度均為，線段的中點(diǎn)為，在底面內(nèi)運(yùn)動（含邊界），若總保持，則動點(diǎn)的軌跡是__________．圖圖SEQ圖\*ARABIC2【問題設(shè)置】①點(diǎn)在平面上的射影須滿足什么條件？②若不考慮在底面上，空間中符合條件的動點(diǎn)的軌跡是什么？【數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)】通過幾何圖霸作出過點(diǎn)的直線的垂面，此垂面與底面三角形相交于線段即為動點(diǎn)的軌跡．圖SEQ圖\*ARABIC圖SEQ圖\*ARABIC3如REF_Ref129549441\h圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，已知，故為在平面內(nèi)的投影，，，又，且面內(nèi)過點(diǎn)有且僅有一條直線與垂直，因此點(diǎn)與重合，點(diǎn)的軌跡即為線段圖圖SEQ圖\*ARABIC41.用定義求軌跡例1：如圖4所示，在正方體中，點(diǎn)在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動，若點(diǎn)到直線與直線的距離相等，則動點(diǎn)的軌跡所在曲線是________．【設(shè)計(jì)意圖】由拋物線的定義得到軌跡，引出第一種方法．【問題設(shè)置】（1）對題干中的兩個距離相等的條件如何轉(zhuǎn)化?（2）解決這道題的步驟是什么？【數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)】借助幾何圖霸作出空間圖形，較方便地把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．圖SEQ圖\*ARABIC圖SEQ圖\*ARABIC5如圖5，聯(lián)結(jié)，易知，故即為點(diǎn)到直線的距離．在平面內(nèi)，動點(diǎn)到直線與直線的距離相等，可知點(diǎn)軌跡所在的曲線是拋物線．圖SEQ圖\*ARABIC6變式1：已知正方體的棱長為，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是平面內(nèi)的動點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)的距離的平方差為，則點(diǎn)的軌跡所在的曲線為__________．圖SEQ圖\*ARABIC6【設(shè)計(jì)意圖】鞏固新方法，提升遷移運(yùn)用能力．【問題設(shè)置】（1）點(diǎn)到直線的距離如何轉(zhuǎn)化？（2）比較：引例中點(diǎn)的軌跡與此例中點(diǎn)的軌跡所在的曲線有何不同？【數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)】借助于幾何圖霸添加輔助線，培養(yǎng)學(xué)生良好的空間感．【一般解法】圖SEQ圖\*ARABIC7如圖，過點(diǎn)作的垂線于點(diǎn)，過作的垂線于點(diǎn)，圖SEQ圖\*ARABIC7聯(lián)結(jié)．易知，即為點(diǎn)到的距離．又，，即，因此點(diǎn)軌跡所在的曲線是拋物線．例2：已知三棱錐，兩兩垂直且長度均為，在內(nèi)運(yùn)動（含邊界），若總保持，則動點(diǎn)的軌跡是__________．【設(shè)計(jì)意圖】利用“直徑所對的圓周角是直角”這一基本結(jié)論得出軌跡，類似的還有“阿氏圓”結(jié)論等，不一一列舉．【問題設(shè)置】的條件如何降維？【數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)】利用幾何圖霸軟件感受題干中的垂直關(guān)系，更加真切直觀．圖SEQ圖\*ARABIC圖SEQ圖\*ARABIC8如圖，聯(lián)結(jié)，易知，即為在平面內(nèi)的投影．，，所在的軌跡是以為直徑的圓．圖圖SEQ圖\*ARABIC9變式2：在長方體中，，，上底面的中心為，當(dāng)點(diǎn)在線段上從移動到時，點(diǎn)在平面上的射影的軌跡是什么？長度為多少？【設(shè)計(jì)意圖】適當(dāng)變形、增加難度、啟迪思考【問題設(shè)置】（1）點(diǎn)是否始終落在某個平面內(nèi)？若是，在哪個平面？（2）點(diǎn)的軌跡是什么？初始與終止位置在哪？【數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)】利用幾何圖霸生成點(diǎn)在線段上從移動到的過程動畫，使學(xué)生直觀感受這一動態(tài)過程，更好培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．【一般解法】如圖，聯(lián)結(jié)，易知，取的中點(diǎn)，因此的軌跡是一段以為圓心的圓?。?dāng)與重合時，點(diǎn)落在線段上，，可推出，，因此軌跡長度為．圖圖SEQ圖\*ARABIC10圖SEQ圖\*ARABIC112.坐標(biāo)法求軌跡：引例：四棱錐底面為正方形，側(cè)面為等邊三角形，且側(cè)面底面，點(diǎn)在底面正方形內(nèi)運(yùn)動，且滿足，則點(diǎn)在正方形圖SEQ圖\*ARABIC圖SEQ圖\*ARABIC12（B）（C）（D）【設(shè)計(jì)意圖】先用點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系定性分析，后引入坐標(biāo)法進(jìn)行定量分析．【問題設(shè)置】（1）若不考慮在底面上，符合條件的動點(diǎn)軌跡是什么？（2）如何準(zhǔn)確定位動點(diǎn)的軌跡，是否可選定標(biāo)準(zhǔn)求出其軌跡方程？（3）線段的長怎么求？【數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)】利用幾何圖霸得到結(jié)論，再用建系方法進(jìn)行代數(shù)研究，感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．【一般解法】如圖，在底面內(nèi)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)，，過點(diǎn)作于，則，．，圖SEQ圖\*ARABIC圖SEQ圖\*ARABIC13得，化簡得，故選A項(xiàng)．圖圖SEQ圖\*ARABIC14例3：已知是互相垂直的異面直線，與平面平行，在平面內(nèi)，則在平面內(nèi)到直線的距離與到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是___________．【設(shè)計(jì)意圖】豐富軌跡類型，感悟建系方法．【問題設(shè)置】（1）異面直線互相垂直的條件如何使用？（2）點(diǎn)到直線的距離怎么求？【數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)】利用幾何圖霸直觀感受，添加輔助線，轉(zhuǎn)化為平面問題進(jìn)行研究．【一般解法】設(shè)直線在平面上的投影為，則，不妨設(shè)交于點(diǎn)．圖SEQ圖\*ARABIC15過作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，圖SEQ圖\*ARABIC15過作于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)，異面直線的距離即，由，得，化簡得，故點(diǎn)的軌跡是平面內(nèi)的雙曲線．圖圖SEQ圖\*ARABIC16變式3：設(shè)異面直線成°角，它們的公垂線段為，，線段的長為，兩端點(diǎn)分別在上移動，求的中點(diǎn)的軌跡．【設(shè)計(jì)意圖】增加降維與建系難度，大幅提升能力要求，培養(yǎng)思維品質(zhì)．【問題設(shè)置】（1）動點(diǎn)是否始終處在某個平面內(nèi)？（2）如何建系可使得到的軌跡方程形式最簡？【數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)】利用幾何圖霸，構(gòu)造輔助平面，減少直觀想象的難度．【通用解法】問題可化為在平面內(nèi)，當(dāng)線段分別在上運(yùn)動且時，求中點(diǎn)的軌跡．如圖以的角平分線為坐標(biāo)軸建系．圖SEQ圖\*ARABIC17圖SEQ圖\*ARABIC18設(shè)，，，則，解得，由，可得，圖SEQ圖\*ARABIC17圖SEQ圖\*ARABIC18代入整理即得，因此點(diǎn)的軌跡為橢圓．3.截面法求軌跡圖圖SEQ圖\*ARABIC19例4：已知的邊是定長，且與平面成定角（為銳角），邊，若該三角形面積為定值，則點(diǎn)的軌跡是________【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)精妙、生動有趣、啟迪思考．【問題設(shè)置】（1）面積與某邊長均為定值可得到什么結(jié)論？（2）空間中到定直線的距離為定值的點(diǎn)的軌跡是什么？（3）圓柱側(cè)面被平面所截得到的曲線是什么？【數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)】利用幾何圖霸作出點(diǎn)在空間中所在的圓柱面，被平面所截得到橢圓，降低空間想象的難度．圖SEQ圖\*ARABIC圖SEQ圖\*ARABIC20過作于點(diǎn)，則，從而（定值）．因此的軌跡是以為軸線、為半徑的圓柱與平面的交線，與軸線成銳角，圓柱面被所截的曲線為橢圓．四、總結(jié)反思問題解決型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指利用DIMA平臺，簡便地解決諸如數(shù)值計(jì)算、方程求解、函數(shù)及其性質(zhì)與圖像、方程與曲線的數(shù)形關(guān)系、軌跡等問題，在解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)和掌握數(shù)學(xué)方法，提高思考問題的思維層次，提高適時選用DIMA平臺的能力．特別是結(jié)論的形成和發(fā)展過程，結(jié)論的推導(dǎo)、分析和論證過程，解題思路的探索過程，解題方法和規(guī)律的概括過程等．朱偉葉．基于DIMA平臺的高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程建設(shè)與實(shí)施[J]．教育參考，2017:5．朱偉葉．基于DIMA平臺的高中數(shù)學(xué)