3 2利用導數(shù)研究函數(shù)極值

1．3.2利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【問題導思】

1．從遠處看大山，一個個山頭此起彼伏，山峰與山谷彼此相鄰，如果這樣的美景在數(shù)學中可看作函數(shù)的圖象，那么一個個山峰和山谷又稱作什么呢？【提示】極大值和極小值．2．導數(shù)為0的點一定是極值點嗎？【提示】

不一定．如f(x)＝x3，盡管f′(x)＝3x2＝0得出x＝0，但f(x)在R上是遞增的，不滿足在x＝0的左右兩側符號相反，故x＝0不是f(x)＝x3的極值點．極值點或極值概念名稱定義表示法極值極大值已知函數(shù)y＝f(x)及其定義域內一點x0，如果對x0附近的所有點x，都有___________，則稱函數(shù)f(x)在點x0處取極大值記作：___________極值極小值已知函數(shù)y＝f(x)及其定義域內一點x0，如果對x0附近的所有點x，都有___________，則稱函數(shù)f(x)在點x0處取極小值記作：__________極值點________________________統(tǒng)稱為極值點【問題導思】

1．極大值一定比極小值大嗎？【提示】

極大值與極小值之間無確定的大小關系．在某一點的極小值也可能大于另一點的極大值．如圖所示．f(a)為極大值，f(d)為極小值，但f(a)<f(d)．2．函數(shù)的極值與單調性有什么聯(lián)系？【提示】

極值點兩側單調性必須相反，欲研究函數(shù)的極值，需先研究函數(shù)的單調性．求可導函數(shù)y＝f(x)的極值的步驟(1)求導數(shù)f′(x)；(2)求方程

的所有實數(shù)根；(3)考察在每個根x0附近，______________，導函數(shù)f′(x)的符號如何變化．f′(x)＝0從左到右【問題導思】

如圖1－3－7所示為y＝f(x)，x∈[a，b]的圖象．1．結合圖象判斷，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分別為多少？【提示】存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．2．函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某極值嗎？【提示】

不一定，也可能是區(qū)間端點的函數(shù)值．

3．怎樣確定函數(shù)f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？【提示】

比較極值與區(qū)間端點的函數(shù)值，最大的是最大值，最小的是最小值．函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值假設函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)在[a，b]一定能夠取得

和

，若函數(shù)在[a，b]內是可導的，該函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點取得．最大值最小值(2013·福建高考)設函數(shù)f(x)的定義域為R，x0(x0≠0)是f(x)的極大值點，以下結論一定正確的是(

)A．?x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的極小值點C．－x0是－f(x)的極小值點D．－x0是－f(－x)的極小值點(1)若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10.則a＝________，b＝________．(2)函數(shù)f(x)＝x2＋aln(1＋x)有兩個極值點x1，x2，且x1<x2，則a的范圍是________．(1)(2014·北京高二檢測)函數(shù)f(x)＝2x3－3x2＋a的極大值為6，那么a＝________．(2)若函數(shù)f(x)＝x3＋ax在R上有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是________．求下列各函數(shù)的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]．1．涉及到不等式恒成立、不等式能成立的問題時，一般需轉化為函數(shù)最值來解決．若不等式中含參數(shù)，則可考慮分離參數(shù)，以求避免分類討論．2．不等式恒成立、能成立常見的轉化策略：①a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max，a＜f(x)恒成立?a<f(x)min；②f(x)＞g(x)＋k恒成立?k＜[f(x)－g(x)]min；③f(x)＞g(x)恒成立?f(x)min＞g(x)max；④a＞f(x)能成立?a＞f(x)min，a＜f(x)能成立?a＜f(x)max.設函數(shù)f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t＋m對t∈(0，2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．分類討論思想在求函數(shù)極值中的應用

(12分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的圖象過點(－1，