群赤潮藻類的非線性動(dòng)力學(xué)行為

群赤潮藻類的非線性動(dòng)力學(xué)行為

赤潮是發(fā)生在海洋中的一種現(xiàn)象，具有以浮游生物和陸生生物大量爆發(fā)和繁殖后的強(qiáng)烈死亡特征的海灘現(xiàn)象。究其本質(zhì),則為生態(tài)系統(tǒng)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的一種表現(xiàn)。因此,對(duì)于赤潮藻類生態(tài)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為的研究成為分析赤潮形成機(jī)理以及預(yù)測(cè)赤潮的基礎(chǔ)。高等動(dòng)物捕食在建立赤潮生態(tài)模型時(shí),是一個(gè)需要考慮的因素,但其值的選擇對(duì)整個(gè)模型復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的影響并不為人所知,本文就這一問題進(jìn)行了研究。1浮游動(dòng)物對(duì)pbdf模型的建立本文選取了兩種典型赤潮藻類,在海洋富營(yíng)養(yǎng)化的條件下考慮兩種藻類之間的相互作用及浮游動(dòng)物的捕食,建立模型如下:{dΡ1dt=Ρ1(ε1-a11Ρ1-a12Ρ2-a13Ζ)dΡ2dt=Ρ2(ε2-a21Ρ1-a22Ρ2-a23Ζ)dΖdt=Ζ(-ε3+a31Ρ1+a32Ρ2)(1)?????????dP1dt=P1(ε1?a11P1?a12P2?a13Z)dP2dt=P2(ε2?a21P1?a22P2?a23Z)dZdt=Z(?ε3+a31P1+a32P2)(1)其中:P1,P2,Z分別代表硅藻、甲藻及浮游動(dòng)物的密度;εi(i=1,2)代表兩種藻類的內(nèi)稟增長(zhǎng)率;ε3代表浮游動(dòng)物的死亡率;aii(i=1,2)表示藻類密度制約系數(shù);a12及a21分別表示兩種藻類之間的相互作用系數(shù),二者之和(a12+a21)表示藻類間的作用率;a13、a23、a31、a32則表示浮游動(dòng)物與藻類之間的捕食關(guān)系。本文所采用的參數(shù)如下:εi=aii=1,a23=μ,a32=d·μ,a13=γ,a31=d·γ。令a12=1,a21=1.5。其中:γ為浮游動(dòng)物對(duì)P1的最大捕食率;d為浮游動(dòng)物的捕食轉(zhuǎn)化率且0<d<1。此時(shí),模型方程化簡(jiǎn)為:{dΡ1dt=Ρ1(1-Ρ1-Ρ2-rΖ)dΡ2dt=Ρ2(1-1.5Ρ1-Ρ2-μΖ)dΖdt=Ζ(-1+drΡ1+dμΡ2)(2)?????????dP1dt=P1(1?P1?P2?rZ)dP2dt=P2(1?1.5P1?P2?μZ)dZdt=Z(?1+drP1+dμP2)(2)為方便起見,做坐標(biāo)平移,令:x1=P1-P*1,x2=P2-P*2,x3=Z-Z*。此時(shí),整個(gè)方程可寫為:?X=AX+B(3)?X=AX+B(3)其中:X={x1x2x3}?A={-Ρ*1-αΡ*1-γΡ*1-βΡ*2-Ρ*2-μΡ*2dγΖ*dμΖ*0}?B={-x1(x1+αx2+γx3)-x2(βx1+x2+μx3)x3(dγx1+dμx2)}。矩陣A的特征值決定了整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。其特征方程為:λ3+a1λ2+a2λ+a3=0?(4)其中:a1=P*1+P*2,a2=d(γ2P*1+μ2P*2)Z*+(1-αβ)P*1P*2,a3=(dγ2+dμ2-dγαμ-dγβμ)P*1P*2Z*。由霍爾維茨判據(jù),特征方程的根具有負(fù)實(shí)部的充要條件為:ai>0(i=1,2,3)且a1a2-a3>0,此時(shí)S3是穩(wěn)定的。當(dāng)參數(shù)取值滿足a1a2-a3=0,(5)此時(shí),特征方程(4)的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根的實(shí)部為零,即有一對(duì)純虛根,特征方程的根為:λ1,2=±iω0,λ3=-a1,其中ω20=a2。此時(shí),系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔。2比較分析2.1分岔控制參數(shù)各參數(shù)取值如下。d=0.5,α=1,β=1.5,μ=1,εi=aii=1。初始值為:P1=0.2/L,P2=0.6/L,Z=0.03/L。將γ作為分岔控制參數(shù)。此時(shí),將各參數(shù)值代入(5)計(jì)算得到分岔參數(shù)γ≈5.5。經(jīng)過仿真計(jì)算發(fā)現(xiàn):當(dāng)分岔參數(shù)變化時(shí),系統(tǒng)經(jīng)過不動(dòng)點(diǎn)的0環(huán)面T0和極限環(huán)的1環(huán)面T1,接著產(chǎn)生了2環(huán)面T2。由理論和實(shí)驗(yàn)證實(shí):T2→混沌道路是通有的。由此我們可以看出,方程(1)所描述的生態(tài)系統(tǒng),會(huì)產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán),并通過準(zhǔn)周期分岔導(dǎo)致混沌。采用四階Runge-Kutta方法,分別計(jì)算當(dāng)γ=5.3,6.0,7.8,10.0時(shí),其仿真結(jié)果如圖1。2.2固定=5.3，d用作分散參數(shù)，其他參數(shù)的值以固定系統(tǒng)仍然會(huì)出現(xiàn)經(jīng)過不動(dòng)點(diǎn)的0環(huán)面T0和極限環(huán)的1環(huán)面T1,接著產(chǎn)生了2環(huán)面T2,然后產(chǎn)生混沌,如圖2所示:3初始值的計(jì)算從以上的計(jì)算以及數(shù)值仿真可以看出,當(dāng)某些影響因子變化時(shí),藻類的生態(tài)動(dòng)力學(xué)模型會(huì)產(chǎn)生非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。浮游動(dòng)物對(duì)P1的最大捕食率γ增大時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)會(huì)發(fā)生質(zhì)的變化,從穩(wěn)定態(tài)到極限環(huán)最后發(fā)生混沌。取不同的初始值,做數(shù)值計(jì)算,結(jié)果參考圖1?？梢钥闯?在適當(dāng)?shù)膮?shù)范圍內(nèi),系統(tǒng)只存在一個(gè)穩(wěn)定的1環(huán)面極限環(huán)。當(dāng)γ繼續(xù)增大時(shí),系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生2環(huán)面T2,繼續(xù)增大γ系統(tǒng)出現(xiàn)了Vance’s螺旋混沌。由T2→混沌道路是通有的,判定該模型所描述的生態(tài)系統(tǒng)通過準(zhǔn)周期分岔產(chǎn)生混沌。在此基礎(chǔ)上,本文探討了另外一個(gè)重要的因子捕食轉(zhuǎn)化率d。發(fā)現(xiàn)即使γ值不發(fā)生變化(系統(tǒng)此時(shí)處于0環(huán)面),當(dāng)d變化時(shí),系統(tǒng)依然出現(xiàn)了復(fù)雜