多元函數(shù)的二階方向?qū)?shù)與二階梯度

多元函數(shù)的二階方向?qū)?shù)與二階梯度

1高階方向?qū)?shù)的傳統(tǒng)及其性質(zhì)方向的導(dǎo)數(shù)和梯度是人們熟悉的概念。方向?qū)?shù)是偏導(dǎo)數(shù)概念在方向上的推廣,而高階偏導(dǎo)數(shù)是偏導(dǎo)數(shù)概念關(guān)于階數(shù)的推廣。自然,偏導(dǎo)數(shù)概念應(yīng)能既關(guān)于階數(shù)又關(guān)于方向兩方面進(jìn)行推廣,得到高階方向?qū)?shù)。隋允康給出的高階方向?qū)?shù)只是特殊的高階純方向?qū)?shù),不含高階混合方向?qū)?shù)。本文建立一般二階方向?qū)?shù)(含純方向和混合方向)的概念及與其相關(guān)的二階梯度概念,并分析它們的性質(zhì)。為了簡(jiǎn)便起見,重點(diǎn)討論二元函數(shù)的情況,其結(jié)果不難推廣到一般多元函數(shù)。2偏導(dǎo)數(shù)梯度定義2.1設(shè)函數(shù)z=f(x0,y0)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義,若極限存在,則稱z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)沿方向l(cosα,sinα)可導(dǎo),該極限稱為z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)沿方向l(cosα,sinα)的方向?qū)?shù)。記作,即它刻畫出當(dāng)自變量x,y的改變量Δx,Δy約束在方向l(cosα,sinα)上時(shí)函數(shù)z=f(x,y)的變化率。方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系:定理2.1如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)可微分,則在此點(diǎn)沿任何方向l(cosα,sinα)存在方向?qū)?shù),且有一般地說,對(duì)于n元函數(shù)u=f(x1,x2,…,xn),如果它在點(diǎn)(x1(0),x2(0),…,xn(0))可微,則沿方向l(cos(l,x1),cos(l,x2),…,cos(l,xn))存在方向?qū)?shù),且有其中(l,xi)表示l的方向與xi軸正方向的夾角。定義2.2設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)可微,則稱向量為z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的梯度。顯然,其中稱為梯度范數(shù)。沿梯度方向函數(shù)的變化率最大,函數(shù)值增加最快;沿梯度的反方向函數(shù)值減少最快。另外,函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的梯度方向即為等值線f(x,y)=f(x0,y0)過點(diǎn)(x0,y0)的單位法向量所以,。沿等值線切線的方向?qū)?shù)為0。3cos2,sin2的方向?qū)?shù)如果函數(shù)z=f(x,y)在某區(qū)域Ω內(nèi)每點(diǎn)沿l1(cosα1,sinα1)方向可導(dǎo),則稱它在Ω內(nèi)沿l1(cosα1,sinα1)方向可導(dǎo),這時(shí)表現(xiàn)為(x,y)的一個(gè)函數(shù),稱為方向?qū)Ш瘮?shù),也可簡(jiǎn)稱為方向?qū)?shù)。對(duì)這個(gè)方向?qū)Ш瘮?shù)當(dāng)然可以再求關(guān)于另一個(gè)方向l2(cosα2,sinα2)的方向?qū)?shù),從而得到如下概念。定義3.1設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)沿l1(cosα1,sinα1)方向可導(dǎo),對(duì)于方向l2(cosα2,sinα2),若極限存在,則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)先沿l1(cosα1,sinα1)后沿l2(cosα2,sinα2)二階方向可導(dǎo)。該極限稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)先沿l1(cosα1,sinα1)后沿l2(cosα2,sinα2)的二階方向?qū)?shù),記作(x0,y0),即二階方向?qū)?shù)與二階偏導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系:定理3.1如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)二階可微,則在點(diǎn)(x0,y0)沿任何兩個(gè)方向l1(cosα1,sinα1)和l2(cosα2,sinα2)二階方向可導(dǎo),且有證明:根據(jù)二階方向?qū)?shù)的定義二階方向?qū)?shù)可用矩陣形式表示為4階方向?qū)?shù)前面知道一階梯度即為一階方向?qū)?shù)取最大值的方向。自然,對(duì)于高階方向?qū)?shù)也有相應(yīng)的概念。已知在一定條件下,一階梯度由兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)決定。自然,二階梯度也應(yīng)由幾個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)決定。下面給出二階梯度及其范數(shù)與二階偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。引理4.1任給矩陣A=(aij)n×m,向量X,Y∈Rn,有式(12)中,第一個(gè)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在α∈R,使得AY=αX;第二個(gè)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Y是ATA的絕對(duì)值最大的特征值(即A的譜范數(shù)‖A‖2所對(duì)應(yīng)的特征值)所對(duì)應(yīng)的特征向量。引理4.2若A=(aij)n×m為對(duì)稱非奇異矩陣,則這里‖A‖2表示A的譜范數(shù),ρ(A)表示A的譜半徑。定理4.1如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)二階偏導(dǎo)連續(xù),二階梯度為單位向量對(duì)(l1g,l2g);那么而且lg為z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的二階導(dǎo)數(shù)矩陣的譜范數(shù)所對(duì)應(yīng)的單位特征向量,即二階梯度中的兩個(gè)方向相同。證明:由二階方向?qū)?shù)的矩陣表示式(9)及引理4.1可知式(14)成立。又因?yàn)楹瘮?shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)二階偏導(dǎo)連續(xù),所以,從而H為實(shí)對(duì)稱矩陣,再根據(jù)引理4.2得式(15)成立。若l1≠l2,則稱(x0,y0)為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)先沿l1(cosα1,sinα1)后沿l2(cosα2,sinα2)的二階混合方向?qū)?shù)。特別地,當(dāng)l1=l2=l時(shí),記作(x0,y0),稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)沿l(cosα,s