基于隨機(jī)裂紋的結(jié)構(gòu)失效分析

基于隨機(jī)裂紋的結(jié)構(gòu)失效分析

現(xiàn)在，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的靜強(qiáng)度、剛性和疲勞的可靠性分析通常是由[1.3]引起的。但是，對于許多工程結(jié)構(gòu)，為了真正反映結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況，有必要將不同的失敗模式混合在一起。首先，由于小的疲勞負(fù)荷，導(dǎo)致特定的疲勞損失，降低極限負(fù)荷和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛性，并由于限制負(fù)荷導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞或僵硬。此外，結(jié)構(gòu)可靠性分析中的某些操作之間存在相關(guān)性，因此必須考慮不同的情況和失敗模型之間的相關(guān)性，以真正反映結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況。在這項(xiàng)工作中，我們首先分析了疲勞負(fù)荷下結(jié)構(gòu)邊界效應(yīng)和剖面模型的減少，解釋了疲勞負(fù)荷下結(jié)構(gòu)阻力和剖面模型與疲勞負(fù)荷之間的隨機(jī)裂紋之間的關(guān)系，并分析了組件剩余抗能力和截面模型的數(shù)字特征。然后，在靜態(tài)負(fù)荷和疲勞負(fù)荷的影響下分析每個(gè)構(gòu)件的失敗形式，考慮每個(gè)無效模型之間的相關(guān)性對單元的可靠性的影響，并分析了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在這兩種負(fù)荷下的失敗機(jī)。最后，在這兩種負(fù)荷下，對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的依賴分析完成。1初始裂紋a的確定構(gòu)件中裂紋產(chǎn)生和發(fā)展的過程,實(shí)質(zhì)上就是抗力衰減的過程.隨著裂紋的擴(kuò)展,一方面材料的極限應(yīng)力下降;另一方面,由于裂紋“吞噬”部分截面,構(gòu)件的截面模量也要下降.在文獻(xiàn)中給出了構(gòu)件的剩余抗力(或稱剩余強(qiáng)度)與裂紋擴(kuò)展的關(guān)系,一般可以表示為式中σ(a)為構(gòu)件材料的極限應(yīng)力,G(a)為構(gòu)件的剩余截面模量,兩者都是裂紋擴(kuò)展特征尺寸a的函數(shù).顯然,對于完好構(gòu)件,初始裂紋a=0,有σ(a)=σ0和G(a)=G0分別為構(gòu)件設(shè)計(jì)時(shí)的材料極限應(yīng)力和截面模量,相應(yīng)R=R0為構(gòu)件設(shè)計(jì)抗力.1.1材料剩余應(yīng)力在線彈性斷裂范圍內(nèi),裂紋的擴(kuò)展由應(yīng)力強(qiáng)度因子控制.應(yīng)力強(qiáng)度因子表示為式中Y(a)為形狀參數(shù),它考慮了裂紋幾何形狀等因素的影響.K對應(yīng)Ⅰ~Ⅲ型裂紋分別為KⅠ~KⅢ.對Ⅰ型裂紋,σ為截面正應(yīng)力,對Ⅱ和Ⅲ型裂紋,σ為剪應(yīng)力.當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度因子K達(dá)到臨界值KC(斷裂韌性)時(shí)斷裂就會(huì)發(fā)生,此時(shí)的應(yīng)力即為材料(剩余)極限應(yīng)力,可由(2)式求得1.2折減系數(shù)和斷裂寬度截面模量與截面幾何形狀、裂紋形狀和大小有關(guān),有裂紋損傷的構(gòu)件截面模量可以表示為式中ψ(a)為有裂紋損傷時(shí)的折減系數(shù).對于常用的鋼管構(gòu)件,如果存在Ⅰ型裂紋,裂紋寬度為a,則截面剩余截面模量為式中r2,r1和δ分別為鋼管內(nèi),外徑及鋼管壁厚,δ=r1-r2.折減系數(shù)?(i)可用以下多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算:1.3疲勞載荷作用下裂紋擴(kuò)展模型裂紋擴(kuò)展的變異性主要是由載荷疲勞性引起的,裂紋擴(kuò)展本身固有的隨機(jī)性相對較小本文只考慮疲勞載荷作用下的裂紋擴(kuò)展的隨機(jī)性.基于大量的實(shí)驗(yàn),人們提出了許多裂紋擴(kuò)展速率公式,著名的Paris公式如下:式中C和m為與材料特性有關(guān)的參數(shù),?K為應(yīng)力強(qiáng)度因子范圍,可表示為式中S為應(yīng)力范圍.假定在疲勞載荷作用下,應(yīng)力范圍S的長期分布服從的Weibull分布,考慮到其變化范圍為0≤S≤+∞,取位置參數(shù)為0,于是概率密度函數(shù)為式中ξ為形狀參數(shù),SL為一生一遇最大應(yīng)力范圍,NL為載荷譜的回復(fù)周期L期間內(nèi)應(yīng)力循環(huán)的總次數(shù).應(yīng)力范圍S的n階矩可由下式求得式中Γ為伽瑪函數(shù).將循環(huán)次數(shù)N變換為自然時(shí)間t,得式中fL為應(yīng)力范圍作用的平均頻率.將(8)和(11)式代入(7)式,則得疲勞載荷作用下裂紋擴(kuò)展速率方程:(12)式分離變量并積分,則得對于給定的形狀系數(shù)Y(a),積分上式并解出a,一般可得到裂紋擴(kuò)展過程的如下表達(dá)式:于是,對于已知的初始裂紋a0,在任意時(shí)刻t的裂紋擴(kuò)展尺寸a(t)的數(shù)字特征可由應(yīng)力范圍S和材料參數(shù)C的數(shù)字特征和關(guān)系式g(S,t,a0,C)確定.一般情況下,a(t)的均值和均方差可由下式計(jì)算:式中μ表示隨機(jī)變量S和C在均值點(diǎn)處取值,VS和VC為隨機(jī)變量S和C的均方差.1.4抗力的和均方差構(gòu)件剩余抗力與裂紋擴(kuò)展的關(guān)系式可表示為(1)式的形式,由(1)式按泰勒展開可以求得剩余抗力的均值和均方差為式中裂紋擴(kuò)展尺寸的均值和均方差由(15)和(16)式進(jìn)行計(jì)算.假定剩余抗力R服從一定的分布例如正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布,則其概率密度函數(shù)可由均值和方差唯一確定.對于含I型裂紋的鋼管構(gòu)件,形狀函數(shù)為式中c1和b為常數(shù).將上式代入(13)式求得a(t)的表達(dá)式.用(15)和(16)式求得a(t)的均值和均方差如下:將上式代入(17)和(18)式便可求得抗力的均值和均方差,由于表達(dá)式比較冗長,這里略去.2結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的靜態(tài)強(qiáng)度、疲勞和剛性分析2.1結(jié)構(gòu)安全殘余分析對于承受反復(fù)載荷作用的結(jié)構(gòu),由于結(jié)構(gòu)抗力不斷降低,應(yīng)采用時(shí)變可靠性的方法進(jìn)行分析.假定結(jié)構(gòu)的抗力為R,不變載荷效應(yīng)為SG,設(shè)計(jì)基準(zhǔn)其內(nèi)的疲勞載荷效應(yīng)為SQ,結(jié)構(gòu)的安全余量方程可表示為在進(jìn)行結(jié)構(gòu)系統(tǒng)靜強(qiáng)度可靠性分析時(shí),由(17)和(18)式求出構(gòu)件剩余抗力的均值和均方差,然后再按一般靜強(qiáng)度理論進(jìn)行系統(tǒng)可靠性分析,其安全余量方程以(22)式的形式給出.2.2dt的設(shè)計(jì)壽命結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中某一構(gòu)件的疲勞壽命可以表示為式中?為應(yīng)力參數(shù),B反映了計(jì)算模型的不確定性,0a為初始裂紋,af為允許裂紋.在進(jìn)行疲勞可靠性分析時(shí)采用文獻(xiàn)的方法.一般地,對于一個(gè)由n個(gè)失效單元組成的并聯(lián)系統(tǒng),其中失效單元按E1→E2→…→En的順序依次破壞,其安全余量寫成矩陣的形式為式中矩陣?a,?b和?c為應(yīng)力參數(shù)矩陣,,T=[T1,T2,…,Tn]T,Td=[0,0,…,TD]T,DT為設(shè)計(jì)壽命,表示前i-1個(gè)失效單元破壞后第i個(gè)失效單元的安全余量,iT(i=1,2,…,n)表示為系統(tǒng)中第i失效單元在其他失效單元均未破壞情況下的疲勞壽命,由(23)式計(jì)算.2.3安全余量的確定由(4)式可知,在疲勞載荷作用下,構(gòu)件的截面模量有所下降,那么結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛度就有所下降,由于裂紋的隨機(jī)性,構(gòu)件的截面模量也應(yīng)具有一定的隨機(jī)性,其均值和均方差可有(4)式求得,如下在進(jìn)行結(jié)構(gòu)系統(tǒng)剛度可靠性分析時(shí),第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的安全余量如下:式中δa和δi分別為節(jié)點(diǎn)i的允許位移(假定為常量)和計(jì)算位移.由于結(jié)構(gòu)的隨機(jī)性,δi很難用顯式表達(dá),在應(yīng)用一次二階矩方法求解可靠性指標(biāo)時(shí),需用到δi對設(shè)計(jì)變量求偏導(dǎo)數(shù)的形式,因此本文應(yīng)用隨機(jī)有限元方法求解.設(shè)基本隨機(jī)變量x=(x1,x2,…,xi,…,xm)(m為基本變量數(shù),任一xi可表示為靜載、疲勞載荷、面積等隨機(jī)變量),有限元方程為式中K為總體剛陣,P為載荷列陣,δ為位移列陣.上式對設(shè)計(jì)變量xi求導(dǎo),有經(jīng)整理,有這樣?δj/?xi可以從?δ/?xi中取得,就可以應(yīng)用改進(jìn)的一次二階矩方法求解可靠性指標(biāo)了.3安全載荷作用下的可靠性指標(biāo)結(jié)構(gòu)在規(guī)定的使用壽命期內(nèi)將承受可能出現(xiàn)的各種載荷作用,這里只考慮靜載和疲勞載荷的作用.那么結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的每一個(gè)單元同樣承受這兩種載荷的作用,每一個(gè)單元都將可能出現(xiàn)靜載失效或疲勞失效,并且這兩種失效形式是相關(guān)的.在可靠性分析過程中,首先對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的每一個(gè)單元進(jìn)行靜載和疲勞載荷作用下的可靠性分析,給出每一個(gè)單元的兩個(gè)安全余量,并求出相應(yīng)的可靠性指標(biāo),計(jì)算兩者串聯(lián)失效概率,即式中iP為某一單元靜載失效和疲勞失效的串聯(lián)失效概率,分別為該單元靜載和疲勞失效時(shí)的可靠性指標(biāo).求得(31)式所對應(yīng)的等效安全余量,即某一單元在這兩種載荷作用下的等效安全余量.算得(31)式所對應(yīng)的可靠性指標(biāo)βi,那么該單元的失效概率和可靠性指標(biāo)分別為iP和βi.為了便于分析結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在靜載和疲勞載荷作用下,某一單元失效后對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性的影響,本文采用如下方法.即判斷該單元的的大小.若較小,則認(rèn)為該單元靜強(qiáng)度失效;若較小,則認(rèn)為該單元疲勞失效.然后,應(yīng)用分枝限界方法或其他方法尋找主要失效路徑,其計(jì)算過程見圖1.在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效過程中由于疲勞載荷的作用,那么就要計(jì)算每個(gè)單元在何時(shí)失效,以便計(jì)算在此時(shí)間內(nèi)疲勞載荷對其他元件的累積損傷.若單元疲勞失效,其失效時(shí)間的計(jì)算可參見文獻(xiàn);若單元靜強(qiáng)度失效,那么由該單元的安全余量,即(22)式等于零,求得相應(yīng)的剩余抗力,即得將(17)式代入上式,求得此時(shí)相應(yīng)的裂紋長度,將其作為(23)式的積分上限,計(jì)算相應(yīng)的當(dāng)量壽命,則認(rèn)為該元件在此時(shí)靜強(qiáng)度失效.例如,單元1在1T時(shí)疲勞失效,然后單元2在2T時(shí)靜強(qiáng)度失效,接著單元3在3T時(shí)疲勞失效.那么在1T到T3時(shí)間內(nèi)單元3的累積損傷可分為兩部分,一部分為1T到2T時(shí)間內(nèi)的損傷,另一部分為2T到3T時(shí)間內(nèi)的損傷,其中1T和3T可由結(jié)構(gòu)系統(tǒng)疲勞可靠性分析方法求得,2T可由單元靜強(qiáng)度安全余量等于零求得.這樣就可以方便的求得單元疲勞失效到下一單元靜載失效的時(shí)間,從而可以更好地分析單元疲勞失效和靜載失效之間的相互影響,進(jìn)而可以較準(zhǔn)確地求得該失效路徑的可靠性指標(biāo)和失效模式間的相關(guān)系數(shù).4失敗模式的相關(guān)性和系統(tǒng)依賴的分析4.1安全余量的相關(guān)性對于給定的兩個(gè)安全余量Z1和Z2,按泰勒展開并取其線性項(xiàng),則其相關(guān)性可由下式計(jì)算式中xi和xj表示設(shè)計(jì)變量,ρxi,xj表示變量xi和xj之間的相關(guān)系數(shù),xVi和xVj表示變量xi和xj的均方差,VZ1和ZV2表示安全余量1Z和Z2的均方差.由(34)式知,安全余量之間的相關(guān)性主要體現(xiàn)在變量之間的相關(guān)性上,結(jié)構(gòu)系統(tǒng)靜強(qiáng)度、疲勞和剛度失效時(shí)的安全余量分別由變量R,SG,SQ,Ti,δi表示.由前文分析可知,這5個(gè)變量可分別表示成如下形式式中函數(shù)1f′~f5′對各變量的導(dǎo)數(shù)以及這5個(gè)變量的均方差可利用文中公式及隨機(jī)有限元方法求得,在此不再贅述.由(45)~(54)式求出各變量之間的相關(guān)系數(shù)后,便可通過(34)式計(jì)算失效模式之間的相關(guān)性有:(ⅰ)靜載失效模式和疲勞失效模式之間的相關(guān)系數(shù).由(34),(22)和(24)式有(ⅱ)靜載失效模式和剛度失效模式之間的相關(guān)系數(shù).由(34),(22)和(27)式,有(ⅲ)疲勞失效模式和剛度失效模式之間的相關(guān)系數(shù).由(34),(24)和(27)式,有當(dāng)然,靜載本身多個(gè)失效模式之間、疲勞載荷本身多個(gè)失效模式之間、剛度本身多個(gè)失效模式之間,也可以按(34)式計(jì)算,這里不再敷述.4.2節(jié)點(diǎn)剛度安全余量(ⅰ)根據(jù)疲勞載荷作用的時(shí)間求得各構(gòu)件的剩余抗力和剩余截面模量;(ⅱ)求得系統(tǒng)在靜載和疲勞載荷作用下的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)主要失效路徑;(ⅲ)列出控制節(jié)點(diǎn)所對應(yīng)的剛度安全余量(ⅳ)用(55)~(57)式算得各失效模式之間的相關(guān)系數(shù);最后應(yīng)用PNET方法計(jì)算系統(tǒng)失效概率.PNET具體做法是:首先依據(jù)失效模式相關(guān)系數(shù)的大小求出代表失效模式,然后用下式計(jì)算系統(tǒng)失效概率,即式中G為失效模式數(shù),Pfj為第j個(gè)代表失效模式的失效概率.該式是工程上計(jì)算大型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性的有效方法.5計(jì)算5.1結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析如圖2所示平面桁架結(jié)構(gòu),各單元均為鋼管,P1為疲勞載荷,在設(shè)計(jì)壽命內(nèi)一遇最大值為8.0×103kN,其最大值服從極值Ⅰ型分布,其均值和變異系數(shù)為1.5×103kN和0.2;P2為不變載荷,服從正態(tài)分布,其均值和變異系數(shù)為3.6×103kN和0.1.各截面抗力相同,相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布,各桿件屈服應(yīng)力為200MPa,其變異系數(shù)為0.1.在計(jì)算過程中假定應(yīng)力范圍的長期分布為Weibull分布,且形狀參數(shù)為1.參數(shù)C和B的中值和變異系數(shù)分別為4.76×10-4,1.0和0.73,0.2.其他參數(shù)為m=3.152,c1=0.49,b=-0.38,fL=0.158,KIC=965.2(MPa·mm)1/2,a0=0.5mm,af=24mm.鋼管外徑和內(nèi)徑分別為r1=224mm,r2=200mm,彈性模量為2.1×105MPa.各節(jié)點(diǎn)的水平和豎向允許位移為0.001m.計(jì)算該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性,設(shè)計(jì)壽命分別取為TD=5a和TD=10a.解:應(yīng)用本文所提出的方法求得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)主要失效路徑如圖3.為了說明計(jì)算過程取失效路徑加以說明,如下.(ⅰ)首先對結(jié)構(gòu)進(jìn)行內(nèi)力分析,求出各單元的,比較各單元的βi,發(fā)現(xiàn)β6最小,則認(rèn)為單元6先失效,并且此時(shí)有,所以認(rèn)為單元6靜強(qiáng)度失效.在單元6失效后計(jì)算其余各單元靜強(qiáng)度可靠性指標(biāo)時(shí),去掉6桿單元,加反向節(jié)點(diǎn)力,并計(jì)算單元6靜強(qiáng)度失效時(shí)所對應(yīng)的當(dāng)量壽命6T′,以此當(dāng)量壽命計(jì)算其余各單元的疲勞累積損傷,從而求得其余各單元的疲勞可靠性指標(biāo).(ⅱ)在單元6失效后,再重新計(jì)算其余各單元的和βi(6),算得在單元6失效后單元1首先失效,并且此時(shí)有,因此認(rèn)為單元1失效形式為疲勞失效.在單元1疲勞失效后,計(jì)算其余各單元靜強(qiáng)度和疲勞可靠性指標(biāo)時(shí),去掉1桿單元,不加反向節(jié)點(diǎn)力.此時(shí)由于單元1疲勞失效,那么在當(dāng)量壽命6T′到單元1工作時(shí)間內(nèi),各單元又累積了一定的損傷.(ⅲ)重新計(jì)算其余各單元的和βi(6,1),比較各單元的βi(6,1),發(fā)現(xiàn)β2(6,1)最小,則認(rèn)為單元2在單元6和1失效后失效,并且此時(shí)有,所以認(rèn)為單元2疲勞失效此時(shí)結(jié)構(gòu)變?yōu)榱藱C(jī)構(gòu)而失效,這樣就形成了一個(gè)失效路徑.(ⅳ)按上述的分析方法,同樣可求出不同的失效路徑,最后和剛度失效模式一起,進(jìn)行相關(guān)性分析,采用PNET法,給出結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性指標(biāo).5.2結(jié)構(gòu)可靠性分析如圖4所示理想化三維空間結(jié)構(gòu),結(jié)構(gòu)對稱于其與xoz面重合的中面,圖4中數(shù)字表示節(jié)點(diǎn)編號(括號內(nèi)的數(shù)字表示下翼面節(jié)點(diǎn)編號).上下部分用126個(gè)CST元模擬,垂直腹板用70個(gè)SSP元模擬,在上下部分與腹板連接處用70個(gè)梁元模擬.假設(shè)梁元截面面積與板厚、屈服應(yīng)力均為隨機(jī)變量,服從正態(tài)分布.板厚均值為0.9cm,梁元截面為鋼管形式,鋼管外徑和內(nèi)徑分別為r1=20mm,r2=36.04mm.在1~35號節(jié)點(diǎn)上沿y向上同時(shí)作用靜載荷與疲勞載荷,其他方向上外載荷均為0,其中靜載荷服從正態(tài)分布,均值為8.5kN,變異系數(shù)為0.2;疲勞載荷在設(shè)計(jì)壽命內(nèi)一遇最大值為15.0kN,其最大值服從極值Ⅰ型分布,其均值和變異系數(shù)為0.5kN和0.2,總循環(huán)次數(shù)為1.0×108(即20a).在計(jì)算過程中假定應(yīng)力范圍的長期分布為Weibul分布,且形狀參數(shù)為1.a0=0.5mm,af為管壁厚或板厚,其他變量同例1.1~35號節(jié)點(diǎn)的位移在y方向上的限值如表1,試對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性分析.解:采用不同方法對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的計(jì)算,結(jié)果見表2.方法1為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)剛度可靠性指標(biāo);方法2為考慮強(qiáng)度衰減時(shí),結(jié)構(gòu)系統(tǒng)靜強(qiáng)度可靠性指標(biāo);方法3為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)疲勞可靠性指標(biāo);方法4為將方法1~3算