基于隨機裂紋的結構失效分析

基于隨機裂紋的結構失效分析

現(xiàn)在，結構系統(tǒng)的靜強度、剛性和疲勞的可靠性分析通常是由[1.3]引起的。但是，對于許多工程結構，為了真正反映結構的實際情況，有必要將不同的失敗模式混合在一起。首先，由于小的疲勞負荷，導致特定的疲勞損失，降低極限負荷和結構系統(tǒng)的剛性，并由于限制負荷導致結構破壞或僵硬。此外，結構可靠性分析中的某些操作之間存在相關性，因此必須考慮不同的情況和失敗模型之間的相關性，以真正反映結構的實際情況。在這項工作中，我們首先分析了疲勞負荷下結構邊界效應和剖面模型的減少，解釋了疲勞負荷下結構阻力和剖面模型與疲勞負荷之間的隨機裂紋之間的關系，并分析了組件剩余抗能力和截面模型的數(shù)字特征。然后，在靜態(tài)負荷和疲勞負荷的影響下分析每個構件的失敗形式，考慮每個無效模型之間的相關性對單元的可靠性的影響，并分析了結構系統(tǒng)在這兩種負荷下的失敗機。最后，在這兩種負荷下，對結構系統(tǒng)的依賴分析完成。1初始裂紋a的確定構件中裂紋產(chǎn)生和發(fā)展的過程,實質(zhì)上就是抗力衰減的過程.隨著裂紋的擴展,一方面材料的極限應力下降;另一方面,由于裂紋“吞噬”部分截面,構件的截面模量也要下降.在文獻中給出了構件的剩余抗力(或稱剩余強度)與裂紋擴展的關系,一般可以表示為式中σ(a)為構件材料的極限應力,G(a)為構件的剩余截面模量,兩者都是裂紋擴展特征尺寸a的函數(shù).顯然,對于完好構件,初始裂紋a=0,有σ(a)=σ0和G(a)=G0分別為構件設計時的材料極限應力和截面模量,相應R=R0為構件設計抗力.1.1材料剩余應力在線彈性斷裂范圍內(nèi),裂紋的擴展由應力強度因子控制.應力強度因子表示為式中Y(a)為形狀參數(shù),它考慮了裂紋幾何形狀等因素的影響.K對應Ⅰ~Ⅲ型裂紋分別為KⅠ~KⅢ.對Ⅰ型裂紋,σ為截面正應力,對Ⅱ和Ⅲ型裂紋,σ為剪應力.當應力強度因子K達到臨界值KC(斷裂韌性)時斷裂就會發(fā)生,此時的應力即為材料(剩余)極限應力,可由(2)式求得1.2折減系數(shù)和斷裂寬度截面模量與截面幾何形狀、裂紋形狀和大小有關,有裂紋損傷的構件截面模量可以表示為式中ψ(a)為有裂紋損傷時的折減系數(shù).對于常用的鋼管構件,如果存在Ⅰ型裂紋,裂紋寬度為a,則截面剩余截面模量為式中r2,r1和δ分別為鋼管內(nèi),外徑及鋼管壁厚,δ=r1-r2.折減系數(shù)?(i)可用以下多項式進行計算:1.3疲勞載荷作用下裂紋擴展模型裂紋擴展的變異性主要是由載荷疲勞性引起的,裂紋擴展本身固有的隨機性相對較小本文只考慮疲勞載荷作用下的裂紋擴展的隨機性.基于大量的實驗,人們提出了許多裂紋擴展速率公式,著名的Paris公式如下:式中C和m為與材料特性有關的參數(shù),?K為應力強度因子范圍,可表示為式中S為應力范圍.假定在疲勞載荷作用下,應力范圍S的長期分布服從的Weibull分布,考慮到其變化范圍為0≤S≤+∞,取位置參數(shù)為0,于是概率密度函數(shù)為式中ξ為形狀參數(shù),SL為一生一遇最大應力范圍,NL為載荷譜的回復周期L期間內(nèi)應力循環(huán)的總次數(shù).應力范圍S的n階矩可由下式求得式中Γ為伽瑪函數(shù).將循環(huán)次數(shù)N變換為自然時間t,得式中fL為應力范圍作用的平均頻率.將(8)和(11)式代入(7)式,則得疲勞載荷作用下裂紋擴展速率方程:(12)式分離變量并積分,則得對于給定的形狀系數(shù)Y(a),積分上式并解出a,一般可得到裂紋擴展過程的如下表達式:于是,對于已知的初始裂紋a0,在任意時刻t的裂紋擴展尺寸a(t)的數(shù)字特征可由應力范圍S和材料參數(shù)C的數(shù)字特征和關系式g(S,t,a0,C)確定.一般情況下,a(t)的均值和均方差可由下式計算:式中μ表示隨機變量S和C在均值點處取值,VS和VC為隨機變量S和C的均方差.1.4抗力的和均方差構件剩余抗力與裂紋擴展的關系式可表示為(1)式的形式,由(1)式按泰勒展開可以求得剩余抗力的均值和均方差為式中裂紋擴展尺寸的均值和均方差由(15)和(16)式進行計算.假定剩余抗力R服從一定的分布例如正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布,則其概率密度函數(shù)可由均值和方差唯一確定.對于含I型裂紋的鋼管構件,形狀函數(shù)為式中c1和b為常數(shù).將上式代入(13)式求得a(t)的表達式.用(15)和(16)式求得a(t)的均值和均方差如下:將上式代入(17)和(18)式便可求得抗力的均值和均方差,由于表達式比較冗長,這里略去.2結構系統(tǒng)的靜態(tài)強度、疲勞和剛性分析2.1結構安全殘余分析對于承受反復載荷作用的結構,由于結構抗力不斷降低,應采用時變可靠性的方法進行分析.假定結構的抗力為R,不變載荷效應為SG,設計基準其內(nèi)的疲勞載荷效應為SQ,結構的安全余量方程可表示為在進行結構系統(tǒng)靜強度可靠性分析時,由(17)和(18)式求出構件剩余抗力的均值和均方差,然后再按一般靜強度理論進行系統(tǒng)可靠性分析,其安全余量方程以(22)式的形式給出.2.2dt的設計壽命結構系統(tǒng)中某一構件的疲勞壽命可以表示為式中?為應力參數(shù),B反映了計算模型的不確定性,0a為初始裂紋,af為允許裂紋.在進行疲勞可靠性分析時采用文獻的方法.一般地,對于一個由n個失效單元組成的并聯(lián)系統(tǒng),其中失效單元按E1→E2→…→En的順序依次破壞,其安全余量寫成矩陣的形式為式中矩陣?a,?b和?c為應力參數(shù)矩陣,,T=[T1,T2,…,Tn]T,Td=[0,0,…,TD]T,DT為設計壽命,表示前i-1個失效單元破壞后第i個失效單元的安全余量,iT(i=1,2,…,n)表示為系統(tǒng)中第i失效單元在其他失效單元均未破壞情況下的疲勞壽命,由(23)式計算.2.3安全余量的確定由(4)式可知,在疲勞載荷作用下,構件的截面模量有所下降,那么結構系統(tǒng)的剛度就有所下降,由于裂紋的隨機性,構件的截面模量也應具有一定的隨機性,其均值和均方差可有(4)式求得,如下在進行結構系統(tǒng)剛度可靠性分析時,第i個節(jié)點的安全余量如下:式中δa和δi分別為節(jié)點i的允許位移(假定為常量)和計算位移.由于結構的隨機性,δi很難用顯式表達,在應用一次二階矩方法求解可靠性指標時,需用到δi對設計變量求偏導數(shù)的形式,因此本文應用隨機有限元方法求解.設基本隨機變量x=(x1,x2,…,xi,…,xm)(m為基本變量數(shù),任一xi可表示為靜載、疲勞載荷、面積等隨機變量),有限元方程為式中K為總體剛陣,P為載荷列陣,δ為位移列陣.上式對設計變量xi求導,有經(jīng)整理,有這樣?δj/?xi可以從?δ/?xi中取得,就可以應用改進的一次二階矩方法求解可靠性指標了.3安全載荷作用下的可靠性指標結構在規(guī)定的使用壽命期內(nèi)將承受可能出現(xiàn)的各種載荷作用,這里只考慮靜載和疲勞載荷的作用.那么結構系統(tǒng)中的每一個單元同樣承受這兩種載荷的作用,每一個單元都將可能出現(xiàn)靜載失效或疲勞失效,并且這兩種失效形式是相關的.在可靠性分析過程中,首先對結構系統(tǒng)中的每一個單元進行靜載和疲勞載荷作用下的可靠性分析,給出每一個單元的兩個安全余量,并求出相應的可靠性指標,計算兩者串聯(lián)失效概率,即式中iP為某一單元靜載失效和疲勞失效的串聯(lián)失效概率,分別為該單元靜載和疲勞失效時的可靠性指標.求得(31)式所對應的等效安全余量,即某一單元在這兩種載荷作用下的等效安全余量.算得(31)式所對應的可靠性指標βi,那么該單元的失效概率和可靠性指標分別為iP和βi.為了便于分析結構系統(tǒng)在靜載和疲勞載荷作用下,某一單元失效后對結構系統(tǒng)可靠性的影響,本文采用如下方法.即判斷該單元的的大小.若較小,則認為該單元靜強度失效;若較小,則認為該單元疲勞失效.然后,應用分枝限界方法或其他方法尋找主要失效路徑,其計算過程見圖1.在結構系統(tǒng)失效過程中由于疲勞載荷的作用,那么就要計算每個單元在何時失效,以便計算在此時間內(nèi)疲勞載荷對其他元件的累積損傷.若單元疲勞失效,其失效時間的計算可參見文獻;若單元靜強度失效,那么由該單元的安全余量,即(22)式等于零,求得相應的剩余抗力,即得將(17)式代入上式,求得此時相應的裂紋長度,將其作為(23)式的積分上限,計算相應的當量壽命,則認為該元件在此時靜強度失效.例如,單元1在1T時疲勞失效,然后單元2在2T時靜強度失效,接著單元3在3T時疲勞失效.那么在1T到T3時間內(nèi)單元3的累積損傷可分為兩部分,一部分為1T到2T時間內(nèi)的損傷,另一部分為2T到3T時間內(nèi)的損傷,其中1T和3T可由結構系統(tǒng)疲勞可靠性分析方法求得,2T可由單元靜強度安全余量等于零求得.這樣就可以方便的求得單元疲勞失效到下一單元靜載失效的時間,從而可以更好地分析單元疲勞失效和靜載失效之間的相互影響,進而可以較準確地求得該失效路徑的可靠性指標和失效模式間的相關系數(shù).4失敗模式的相關性和系統(tǒng)依賴的分析4.1安全余量的相關性對于給定的兩個安全余量Z1和Z2,按泰勒展開并取其線性項,則其相關性可由下式計算式中xi和xj表示設計變量,ρxi,xj表示變量xi和xj之間的相關系數(shù),xVi和xVj表示變量xi和xj的均方差,VZ1和ZV2表示安全余量1Z和Z2的均方差.由(34)式知,安全余量之間的相關性主要體現(xiàn)在變量之間的相關性上,結構系統(tǒng)靜強度、疲勞和剛度失效時的安全余量分別由變量R,SG,SQ,Ti,δi表示.由前文分析可知,這5個變量可分別表示成如下形式式中函數(shù)1f′~f5′對各變量的導數(shù)以及這5個變量的均方差可利用文中公式及隨機有限元方法求得,在此不再贅述.由(45)~(54)式求出各變量之間的相關系數(shù)后,便可通過(34)式計算失效模式之間的相關性有:(ⅰ)靜載失效模式和疲勞失效模式之間的相關系數(shù).由(34),(22)和(24)式有(ⅱ)靜載失效模式和剛度失效模式之間的相關系數(shù).由(34),(22)和(27)式,有(ⅲ)疲勞失效模式和剛度失效模式之間的相關系數(shù).由(34),(24)和(27)式,有當然,靜載本身多個失效模式之間、疲勞載荷本身多個失效模式之間、剛度本身多個失效模式之間,也可以按(34)式計算,這里不再敷述.4.2節(jié)點剛度安全余量(ⅰ)根據(jù)疲勞載荷作用的時間求得各構件的剩余抗力和剩余截面模量;(ⅱ)求得系統(tǒng)在靜載和疲勞載荷作用下的結構系統(tǒng)主要失效路徑;(ⅲ)列出控制節(jié)點所對應的剛度安全余量(ⅳ)用(55)~(57)式算得各失效模式之間的相關系數(shù);最后應用PNET方法計算系統(tǒng)失效概率.PNET具體做法是:首先依據(jù)失效模式相關系數(shù)的大小求出代表失效模式,然后用下式計算系統(tǒng)失效概率,即式中G為失效模式數(shù),Pfj為第j個代表失效模式的失效概率.該式是工程上計算大型結構系統(tǒng)可靠性的有效方法.5計算5.1結構系統(tǒng)可靠性分析如圖2所示平面桁架結構,各單元均為鋼管,P1為疲勞載荷,在設計壽命內(nèi)一遇最大值為8.0×103kN,其最大值服從極值Ⅰ型分布,其均值和變異系數(shù)為1.5×103kN和0.2;P2為不變載荷,服從正態(tài)分布,其均值和變異系數(shù)為3.6×103kN和0.1.各截面抗力相同,相互獨立且服從正態(tài)分布,各桿件屈服應力為200MPa,其變異系數(shù)為0.1.在計算過程中假定應力范圍的長期分布為Weibull分布,且形狀參數(shù)為1.參數(shù)C和B的中值和變異系數(shù)分別為4.76×10-4,1.0和0.73,0.2.其他參數(shù)為m=3.152,c1=0.49,b=-0.38,fL=0.158,KIC=965.2(MPa·mm)1/2,a0=0.5mm,af=24mm.鋼管外徑和內(nèi)徑分別為r1=224mm,r2=200mm,彈性模量為2.1×105MPa.各節(jié)點的水平和豎向允許位移為0.001m.計算該結構系統(tǒng)的可靠性,設計壽命分別取為TD=5a和TD=10a.解:應用本文所提出的方法求得結構系統(tǒng)主要失效路徑如圖3.為了說明計算過程取失效路徑加以說明,如下.(ⅰ)首先對結構進行內(nèi)力分析,求出各單元的,比較各單元的βi,發(fā)現(xiàn)β6最小,則認為單元6先失效,并且此時有,所以認為單元6靜強度失效.在單元6失效后計算其余各單元靜強度可靠性指標時,去掉6桿單元,加反向節(jié)點力,并計算單元6靜強度失效時所對應的當量壽命6T′,以此當量壽命計算其余各單元的疲勞累積損傷,從而求得其余各單元的疲勞可靠性指標.(ⅱ)在單元6失效后,再重新計算其余各單元的和βi(6),算得在單元6失效后單元1首先失效,并且此時有,因此認為單元1失效形式為疲勞失效.在單元1疲勞失效后,計算其余各單元靜強度和疲勞可靠性指標時,去掉1桿單元,不加反向節(jié)點力.此時由于單元1疲勞失效,那么在當量壽命6T′到單元1工作時間內(nèi),各單元又累積了一定的損傷.(ⅲ)重新計算其余各單元的和βi(6,1),比較各單元的βi(6,1),發(fā)現(xiàn)β2(6,1)最小,則認為單元2在單元6和1失效后失效,并且此時有,所以認為單元2疲勞失效此時結構變?yōu)榱藱C構而失效,這樣就形成了一個失效路徑.(ⅳ)按上述的分析方法,同樣可求出不同的失效路徑,最后和剛度失效模式一起,進行相關性分析,采用PNET法,給出結構系統(tǒng)的可靠性指標.5.2結構可靠性分析如圖4所示理想化三維空間結構,結構對稱于其與xoz面重合的中面,圖4中數(shù)字表示節(jié)點編號(括號內(nèi)的數(shù)字表示下翼面節(jié)點編號).上下部分用126個CST元模擬,垂直腹板用70個SSP元模擬,在上下部分與腹板連接處用70個梁元模擬.假設梁元截面面積與板厚、屈服應力均為隨機變量,服從正態(tài)分布.板厚均值為0.9cm,梁元截面為鋼管形式,鋼管外徑和內(nèi)徑分別為r1=20mm,r2=36.04mm.在1~35號節(jié)點上沿y向上同時作用靜載荷與疲勞載荷,其他方向上外載荷均為0,其中靜載荷服從正態(tài)分布,均值為8.5kN,變異系數(shù)為0.2;疲勞載荷在設計壽命內(nèi)一遇最大值為15.0kN,其最大值服從極值Ⅰ型分布,其均值和變異系數(shù)為0.5kN和0.2,總循環(huán)次數(shù)為1.0×108(即20a).在計算過程中假定應力范圍的長期分布為Weibul分布,且形狀參數(shù)為1.a0=0.5mm,af為管壁厚或板厚,其他變量同例1.1~35號節(jié)點的位移在y方向上的限值如表1,試對該結構進行可靠性分析.解:采用不同方法對該結構進行系統(tǒng)可靠性指標的計算,結果見表2.方法1為結構系統(tǒng)剛度可靠性指標;方法2為考慮強度衰減時,結構系統(tǒng)靜強度可靠性指標;方法3為結構系統(tǒng)疲勞可靠性指標;方法4為將方法1~3算