山東省泰安市寧陽(yáng)縣2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含解析

2022—2023學(xué)年高三上學(xué)期期中檢測(cè)試題數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合A，再去求即可解決【詳解】由，得，則故選：B.2.已知命題，，則命題的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，再否定結(jié)論即可.【詳解】命題，的否定為“”.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定的求解，注意只否定結(jié)論即可，屬簡(jiǎn)單題.3.設(shè)命題p：關(guān)于x的不等式對(duì)一切恒成立，命題q：對(duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，那么p是q的（）A.充分不必要條件 B.充要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】p為真，利用判別式小于0求解a的范圍；q為真時(shí)，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解a的范圍，然后利用充分必要條件的判定得答案.【詳解】關(guān)于x的不等式對(duì)一切恒成立，則，即，∴p為真：；對(duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即.∴q為真：.∵∴p是q的必要不充分條件.故選：C.4.已知為等比數(shù)列，，，則（）A9 B.－9 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可求出,便可得出等比數(shù)列的公比,再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】∵,∴,又,可解得或設(shè)等比數(shù)列的公比為,則當(dāng)時(shí),,∴；當(dāng)時(shí),,∴.故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5.垃圾分類，一般是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲(chǔ)存、分類投放和分類搬運(yùn)，從而變成公共資源的一系列活動(dòng)的總稱．已知某種垃圾的分解率ν與時(shí)間t（月）滿足函數(shù)關(guān)系式（其中a，b為非零常數(shù)）．若經(jīng)過(guò)6個(gè)月，這種垃圾的分解率為5%，經(jīng)過(guò)12個(gè)月，這種垃圾的分解率為10%，那么這種垃圾完全分解（分解率為100%）至少需要經(jīng)過(guò)（）（參考數(shù)據(jù)）A20個(gè)月 B.40個(gè)月 C.28個(gè)月 D.32個(gè)月【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意先確定的值，令，求得時(shí)間t.【詳解】依題意，解得，故.令，得，即，則.即這種垃圾完全分解（分解率為100%）至少需要經(jīng)過(guò)32個(gè)月.故選：D.6.函數(shù)的大致圖像為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性排除兩個(gè)選項(xiàng)，再由函數(shù)值的正負(fù)排除一個(gè)選項(xiàng)，得正確結(jié)論．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，所以為奇函數(shù)，故排除B、D選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，，所以，排除C，故選：A．7.已知，且，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】據(jù)二倍角公式，兩角和的正弦公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解.【詳解】，,，又，則，即所以，因?yàn)?，所以?由平方可得，即，符合題意.綜上，.故選：B.8.已知函數(shù)，則、、的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得出，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出、的大小，并比較與的大小，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，?duì)任意的，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槎魏瘮?shù)在上為增函數(shù)，且，所以，函數(shù)、在上為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，令，其中，則，故函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，即，所以，，所以，，又因?yàn)椋?，所以?故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知實(shí)數(shù)x，y滿足（0<a<1），則下列關(guān)系式恒成立的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】先根據(jù)題干條件，得出，再進(jìn)行判斷，BD選項(xiàng)可以通過(guò)舉出反例進(jìn)行證明，AC選項(xiàng)可以通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明.【詳解】因?yàn)?，所以是單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)?，所以，而是定義在R上單調(diào)遞增函數(shù)，故，A正確；當(dāng)，時(shí)，滿足，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，C正確；當(dāng)，時(shí)，，，所以，D錯(cuò)誤.故選：AC10.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的部分圖象如圖所示，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②在上有兩個(gè)零點(diǎn)；③的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；④在區(qū)間上單調(diào)遞減，其中所有正確的結(jié)論是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)平移后的函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)周期以及特殊點(diǎn)求得參數(shù)，可得解析式，由此計(jì)算判斷①，求出在上的零點(diǎn)，判斷②，將代入函數(shù)解析式驗(yàn)證，判斷③，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷④，即得答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：，由圖像知,將點(diǎn)代入表達(dá)式中，得，即，因?yàn)?，所以，則；故，故①錯(cuò)誤；即，由得，故或，即或，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)，②正確；將代入，得，即的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，由于正弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，④正確，故選：BD11.已知函數(shù)，下列命題正確的是（）A.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則B.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則在上的最小值為C.若在上單調(diào)遞減，則D.若在上恒成立，則【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，由可求出的值，對(duì)于B，由選項(xiàng)A，可求得，然后利用導(dǎo)數(shù)可求出在上的最小值，對(duì)于C，由題意可得，可求出的范圍，對(duì)于D，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可【詳解】對(duì)于A，由，得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，得，經(jīng)檢驗(yàn)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以A正確，對(duì)于B，由選項(xiàng)A，可知，則，由，得或，由，得，所以在和遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，時(shí)，取得最小值，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，得在上恒成立，令，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以C正確，對(duì)于D，由在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，令，，則，所以上單調(diào)遞增，所以，所以，所以D錯(cuò)誤，故選：ABC12.對(duì)于給定數(shù)列，如果存在實(shí)數(shù)，對(duì)于任意的均有成立，那么我們稱數(shù)列為“M數(shù)列”，則下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)列是“M數(shù)列”B.數(shù)列不是“M數(shù)列”C.若數(shù)列為“M數(shù)列”，則數(shù)列是“M數(shù)列”D.若數(shù)列滿足，，則數(shù)列不是“M數(shù)列”【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)“M數(shù)列”的定義，判斷一個(gè)數(shù)列是不是“M數(shù)列”，即判斷是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)于任意的均有成立，由此一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由“M數(shù)列”定義，得，即，存在對(duì)于任意的都成立，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由“M數(shù)列”定義，得，即，存在，對(duì)于任意的都成立，即數(shù)列是“M數(shù)列”，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，若數(shù)列為“M數(shù)列”，則，所以，所以數(shù)列是“M數(shù)列”，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若數(shù)列是“M數(shù)列”，存在實(shí)數(shù)，對(duì)于任意的，有，可得，即，故，對(duì)于任意的都成立，則，所以或，當(dāng)時(shí)，，符合“M數(shù)列”定義，此時(shí)數(shù)列是“M數(shù)列”；當(dāng)時(shí)，，符合“M數(shù)列”定義，此時(shí)數(shù)列是“M數(shù)列”，D錯(cuò)誤，故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷一個(gè)數(shù)列是不是“M數(shù)列”，關(guān)鍵是要理解其定義的含義，如果判斷數(shù)列是“M數(shù)列”，就要求出實(shí)數(shù)，對(duì)于任意的均有成立，如果不是“M數(shù)列”，說(shuō)明其不符合定義即可.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，若f[f(1)]=4，且a>1，則a=______.【答案】1【解析】【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以又因?yàn)閍>1，所以，所以，則，解得，故答案為：1.14.已知的內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，，，則外接圓半徑為______．【答案】【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)已知，結(jié)合，可求的值，然后利用正弦定理即可求出外接圓的半徑【詳解】由得，又所以，.則由正弦定理可得外接圓半徑.故答案為：.15.已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)等差數(shù)列，公差不為0，若、數(shù)列的第2項(xiàng)、數(shù)列的第5項(xiàng)恰好構(gòu)成等比數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．【答案】【解析】【分析】通過(guò)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式用分別表示，，，再通過(guò)等比中項(xiàng)的性質(zhì)列出即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，所以，，又因?yàn)椤?shù)列的第2項(xiàng)、數(shù)列的第5項(xiàng)恰好構(gòu)成等比數(shù)列，即構(gòu)成等比數(shù)列，所以，解得（舍去），所以.故答案為：.16.已知函數(shù)，，設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)P，且在P點(diǎn)處的切線相同，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)b的最大值是______．【答案】【解析】【分析】由題意可得，，聯(lián)立后把b用含有a的代數(shù)式表示，再由導(dǎo)數(shù)求最值得答案．【詳解】設(shè)，，．由題意知，，，即，，解得或舍，代入得：，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．實(shí)數(shù)b的最大值是．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合，函數(shù)的定義域?yàn)椋?）若求集合；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零；（2）按與的大小分類討論求解.【詳解】（Ⅰ）由，得，故集合；（Ⅱ）由題可知，①若，即時(shí)，，又因?yàn)?，所以，無(wú)解；②若時(shí)，顯然不合題意；③若，即時(shí)，，又因?yàn)?，所以，解得．綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域和集合的運(yùn)算.求函數(shù)定義域的常用方法：1、分母不為零；2、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零；3、偶次方根的被開方方數(shù)大于或等于零；4、零次冪的底數(shù)不等于零；5、中.18.如圖，在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，.（1）求角；（2）若，，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理化邊為角，然后利用兩角和的正弦公式即可求解.（2）由余弦定理得到為等邊三角形，在中，利用余弦定理表達(dá)出，然后根據(jù)三角形面積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理得：,所以即,【小問(wèn)2詳解】由由余弦定理得，為等邊三角形，設(shè)，在中，，解得當(dāng)，即時(shí)，S有最大值19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且.（1）求的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由已知等式可得，采用累乘法可求得當(dāng)時(shí)的，利用可求得，檢驗(yàn)首項(xiàng)后可得結(jié)論；（2）由（1）可得時(shí)的通項(xiàng)，由，采用裂項(xiàng)相消法可求得，由可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由得：，則當(dāng)時(shí)，，又，，，經(jīng)檢驗(yàn)：滿足；.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：當(dāng)時(shí)，；，，，.20.已知函數(shù)，，（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求在閉區(qū)間上的最大值和最小值；（3）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上所有零點(diǎn)之和．【答案】（1）（2）最小值，最大值為（3）【解析】【分析】（1）先將函數(shù)化簡(jiǎn)成一個(gè)三角函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)區(qū)間公式求得即可；（2）先由求出整體角的取值范圍，再求得的最大值和最小值；（3）先根據(jù)圖形變換求出，在求其零點(diǎn)得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】函數(shù).令解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，【小問(wèn)2詳解】由（1）得，由于，所以，所以，故，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的取最小值，最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的取最大值，最大值為.小問(wèn)3詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，令，，即，整理得，即或，當(dāng)時(shí)，或，即，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；故所有零點(diǎn)之和為．21.小張于年初支出萬(wàn)元購(gòu)買一輛大貨車，第一年因繳納各種費(fèi)用需支出萬(wàn)元，從第二年起，每年都比上一年增加支出萬(wàn)元，假定該車每年的運(yùn)輸收入均為萬(wàn)元.小張?jiān)谠撥囘\(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第年年底出售，其銷售收入為萬(wàn)元（國(guó)家規(guī)定大貨車的報(bào)廢年限為10年）.（1）大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑?，該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出？（2）在第幾年年底將大貨車出售，能使小張獲得的年平均利潤(rùn)最大？（利潤(rùn)=累積收入+銷售收入總支出）【答案】（1）第三年；（2）第5年.【解析】【分析】（1）求出第x年年底，該車運(yùn)輸累計(jì)收入與總支出的差，令其大于0，即可得到結(jié)論；（2）利用利潤(rùn)＝累計(jì)收入+銷售收入﹣總支出，可得平均利潤(rùn)，利用基本不等式，可得結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)大貨車運(yùn)輸?shù)降趚年年底，該車運(yùn)輸累計(jì)收入與總支出的差為y萬(wàn)元，則y＝25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50＝﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5，∵2＜10﹣5＜3，故從第3年，該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出；（2）∵利潤(rùn)＝累計(jì)收入+銷售收入﹣總支出，∴二手車出售后，小張的年平均利潤(rùn)為＝19﹣（x+）≤19﹣10＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時(shí)，等號(hào)成立，∴小張應(yīng)當(dāng)在第5年年底將大貨車出售，能使小張獲得的年平均利潤(rùn)最大．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：首先構(gòu)建函數(shù)的模型一元二次函數(shù)，再解一元二次不等式，再利用基本不等式求最值.22.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求整數(shù)a的最小值；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，求證：.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為（2）2（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)增區(qū)間；（2）先利用分離參數(shù)法得到對(duì)，求導(dǎo)得到，再令，判斷出，使，得到在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，求出，得到.由，求出整數(shù)a的最小值；（3）用分析法證明：當(dāng)時(shí)，把題意轉(zhuǎn)化為只需證.先整理化簡(jiǎn)得到，只需證.令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出.即證.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，則，定義域?yàn)?令，解得：.所以的單調(diào)增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】依題意對(duì)恒成立，等價(jià)于對(duì)恒成立.令，則令在上是增函數(shù)，，所以，使即對(duì)，，，所以在上單調(diào)遞增；對(duì)，，，所以在上單調(diào)遞減.所以