空間向量及空間角練習題

.word.word..6622解析】—?—?AB=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3),6622解析】—?—?AB=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3),—?—?.?.cos〈AB,CD〉Ab?Cd5|AB||CD|3人評66課時作業(yè)（二十）［學業(yè)水平層次］一、選擇題1假設異面直線I的方向向量與I的方向向量的夾角為150。,12那么I與I所成的角為（）12A．30。B．150。C.30°或150。D.以上均不對【解析】I與I所成的角與其方向向量的夾角相等或互補，且12異面直線所成角的X圍為p,應選A.【答案】A2.A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),那么直線AB與直線CD所成角的余弦值為（）A.

.?.直線AB、CD所成角的余弦值為譬.66【答案】A3.正方形ABCD所在平面外-點P,PA丄平面ABCD,假設PA=AB,那么平面PAB與平面PCD的夾角為()A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】如下圖，建立空間直角坐標系，設PA=AB=1，i么取PD中點為取PD中點為E,那么E0(1那么E0(11]，2，2'丿HYPERLINK/.AE=(ii]0——u，2,2，V丿—?—?易知AD是平面PAB—?的法向量，AE是平面PCD的法向量，.??cosAd,Ae平面PAB與平面PCD的夾角為45°.【答案】B4.(2021?XX師大附中高二檢測)如圖3229，在空間直角坐標3.word3.word..系Dxyz中，四棱柱ABCD—ABCD為長方體，AA二AB=2AD,點E、11111F分別為CD.AB的中點，那么二面角BABE的余弦值為()11111A．3B．DiECl圖3229D.A．3B．DiECl圖3229D.2解析】設AD=1,f么A(1,0,2),B(1,2,0)，因為E、F分別解析】1—?—?為CD、AB的中點，所以E(0,1,2),F(1,1,1),所以AE=(-1,1J0),AB11111=(0,2,-2)，設m=(x,y,z)是平面ABE的法向量，那么1—?AE?m=0,1—?AE?m=0,1—?、AB■m=0,1所以-x+y=0,2y-2z=0,[y=x所以」y=z,取x=1,f么y1余弦值為應選C.1余弦值為應選C.=z=1,所以平面ABE的一個法向量為m=(1,1,1),又DA丄平面ABB,111—?ffm?DA所以DA=(1,0,0)是平面ABB的一個法向量，所以co〈m,DA〉=——11f|m||DA|又二面角B1A1BE為銳二面角,所以二面角B1A1BE的答案】C.word.word..二、填空題5?棱長為1的正方體ABCDABCD中，M、N分別為AB、BB1111111的中點，那么異面直線AM與所成角的余弦值是.解析】依題意，建立如下圖的坐標系，那么A(1,0,0)，M1,f.?.AM=Fl,1)1,“M1,f.?.AM=Fl,1)1,“丿1,C(0,1,0),N1,丿I0,0，1)2，丿ff.?.cos〈AM,〉23=5'2故異面直線AM與所成角的余弦值為5?【答案】556.(2021-XX高二檢測)在空間直角坐標系0xyz中,A(1,-2,0).—?B(2,1,.;6)，那么向量AB與平面xOz的法向量的夾角的正弦值為f解析】設平面xOz的法向量為n=(O,t,O)(t^O),AB=(1,3,

解析】—?所以cos〈n，AB〉—?n—?所以cos〈n，AB〉—?n?AB3t-4|tT,|n|?|AB|411—?因為〈n,AB>e[0,n],答案】4—?所以sin〈n,AB〉4'7.點E,F分別在正方體ABCDABCD的棱BB,CC上，且BE1111111=2EB,CF=2FC,那么平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值1等于．【解析】如圖,建立空間直角坐標系．設正方體的棱長為X平面ABC設正方體的棱長為X平面ABC的法向量為丫（0血），平面AEF的法向量為n2=(x,y,z)．1)(2)所以A(1,0,0),E1,1,3，F0,1,3V丿V丿—?1)所以ae=0,1,V3丿,EF=V1,0,3‘丿—?n?AE=0,—?n?AE=0,那打2-、n?EF=0,2y+3z=o,1-X+3Z=0.取x=1,那么y=JZ=3.故叮(1,-1,3)?所以cos〈n1，n2〉品常12所以平面AEF與平面ABC所成的二面角的平面角a滿足cosa二11sina=善，所以tan11sina=善，所以tana二3'【答案】#三、解答題8.如圖3230所示，在四面體ABCD中，0,E分別是BD，BC的中點，CA=CB=CD=BD=2,AB二AD=、2圖3230圖3230⑴求證：A0丄平面BCD；(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值.

由題意知BO=DO,AB=AD,.?.AO丄BD.又BO=DO,BC=CD,.?.CO丄BD.在厶AOC中，由可得AO=1,CO=、；'3,又AC=2，.AO2＋CO2=AC2，.?.乙AOC=90°，即AO丄OC.?/BDnOC=O,.AO丄平面BCD.(2)以O為坐標原點建立空間直角坐標系,那么B(1,0,0)，D(-1,0,0),C(0,0),A(0,0,1),型,01—?—?.?.BA=(一W),CD=(-〔，-、：3,O),—?—?—?—?.cos〈BA,CD〉BA?Cd—?—?|BA|?|CD|4.??異面直線AB與CD所成角的余弦值為斗2.9■四棱錐PABCD的底面是正方形，PD丄底面ABCD,點E在棱PB上.⑴求證：平面AEC丄平面PDB；(2)當PD-J2AB且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小.【解】如圖，以D為原點建立空間直角坐標系Dxyz,設AB=a,

PD小那么APD小那么A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，(1)tAC—?—?(1)tAC=(-a,a,0),DP=(0,0,h),DB=(a,a,0),.?.AC?DP=0,AC?DB=0,.?.AC丄DP,AC丄DB,又DPnDB=D,.?.AC丄平面PDB,又AC平面AEC,.?.平面AEC丄平面PDB.⑵當PD⑵當PD=J2AB且E為PB的中點時,[1[12a,1述2a，滬[aa)設ACnBD=O,O2,2,0,連結0E,由⑴知AC丄平面PDB于I丿0,.?.乙AE0為AE與平面PDB所成的角，f?/EA=f?/EA=[11篩Eo=丿0,0,2，2，EA?Eo.coszAEO=———|EA|?|EO|

.?.乙AE0=45。，即AE與平面PDB所成的角的大小為45［能力提升層次］1在長方體ABCDABCD中，AB=BC=1,AA=2,E是側棱11111BB的中點，那么直線AE與平面AED所成角的大小為（）111A．60°B．90°C.45°D.以上都不對解析】以點D為原點，分別以DA，DC，C.45°D.以上都不對解析】1軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖.—?由題意知,A(1,0,2),E(1,1,1),D(0,0,2),A(1,0,0),所以AE=(0,1,111—?—?-1),DE=(1,1,-1),EA=(0,-1,-1).1設平面AED的一個法向量為n=(x,y,z),那么—?n那么—?n?AE=0,<1—?、n?DE=01y-z=o,x+y-z=O.令z=1,得y=1,x=0,所以n=(0,1,1).—?fn?EA-21.cos〈n,EA〉==■—產1.|n||EA|W

—?所以〈n,EA〉=180。.所以直線AE與平面AED所成的角為90°.11【答案】B2?在空間中，平面a過(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(0,0,a)(a>0),如果平面a與平面xOy的夾角為45°，那么a二.【解析】平面xOy的法向量為n二(0,0,1)，設平面a的法向量為u為u=(x,y,z),那么-3x+4y=0,-3x+az=0,(aa)即3x=4y=az,取z=i,那么u=3,4,1I丿而cos〈n,u〉=1諾,他a22\打+16+1又va>0,12a=.5【答案】叮3.三棱柱ABCABC,CA=CC=2CB,那么直線BC與直線AB111111夾角的余弦值為()圖3231

圖3231【解析】不妨設CA=CC=2CB=2,【解析】i—?—?那么AB=(-221),CB=(0,-2,1),11—?—?所以cos〈AB,CB〉Ab?cb11

Ab?cb11

—?—?

|AB||CB|11-2x0+2x-2+1x1=-5'5'圖32325'圖3232因為直線BC與直線AB夾角為銳角，所以所求角的余弦值為11【答案】A4.如圖，在直三棱柱ABCABC中，AB丄AC,AB=AC=2,AA1111=4,點D是BC的中點.求異面直線AB與CD所成角的余弦值；11求平面ADC與平面ABA所成二面角的正弦值.11

【解】⑴以A為坐標原點，建立如下圖的空間直角坐標系Axyz,，C1(°24)，所那么A(OQO),B(2Q0),C(O2O),，C1(°24)，所—?—?以AB=(2,0,-4),CD=(1,-1,-4).11AB?CD二11—?—?AB?CD二11—?—?|AB||CD|1118因為cos〈AB，CD〉113\：；1010(2)設平面ADC的法向量為n=(x,y,z),因為Ad=(1,1