高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心專題講練：解析幾何第1講 直線與圓綜合問題解析版

第1講直線與圓綜合問題目錄第一部分：知識強(qiáng)化第二部分：重難點題型突破突破一：直線傾斜角與斜率突破二：兩條直線平行與垂直突破三：直線方程突破四：距離問題突破五：圓的方程突破六：與圓上點有關(guān)的距離最值問題突破七：圓的切線問題突破八：兩圓的公共弦問題突破九：圓的弦長問題第三部分：沖刺重難點特訓(xùn)第一部分：知識強(qiáng)化1、直線斜率的坐標(biāo)公式如果直線經(jīng)過兩點，（），那么可得到如下斜率公式：（1）當(dāng)時，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式與兩點坐標(biāo)的順序無關(guān)，橫縱坐標(biāo)的次序可以同時調(diào)換；（3）當(dāng)時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行。2、兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：或，斜率都不存在.3、兩條直線垂直的一般結(jié)論為：或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零．4、直線方程①直線過點和斜率（已知一點+斜率）：②直線的斜率為且在軸上的縱截距為（已知斜率+縱截距）：③直線在軸上的截距為，在軸上的截距為：④直線的一般式方程：5、直線系方程（1）平行直線系方程把平面內(nèi)具有相同方向的直線的全體稱為平行直線系.一般地，與直線平行的直線系方程都可表示為(其中為參數(shù)且≠C)，然后依據(jù)題設(shè)中另一個條件來確定的值.（2）垂直直線系方程一般地，與直線垂直的直線系方程都可表示為(其中為參數(shù)），然后依據(jù)題設(shè)中的另一個條件來確定的值.6、點到直線的距離平面上任意一點到直線：的距離.7、對稱問題（1）點關(guān)于點對稱問題(方法：中點坐標(biāo)公式)求點關(guān)于點的對稱點由：（2）點關(guān)于直線對稱問題（聯(lián)立兩個方程）求點關(guān)于直線：的對稱點①設(shè)中點為利用中點坐標(biāo)公式得，將代入直線：中；②整理得：（3）直線關(guān)于點對稱問題(求關(guān)于點的對稱直線，則）方法一：在直線上找一點，求點關(guān)于點對稱的點，根據(jù)，再由點斜式求解；方法二：由，設(shè)出的直線方程，由點到兩直線的距離相等求參數(shù).方法三：在直線任意一點，求該點關(guān)于點對稱的點，則該點在直線上.（4）直線關(guān)于直線對稱問題4.1直線：（）和：（）相交,求關(guān)于直線的對稱直線①求出與的交點②在上任意取一點(非點），求出關(guān)于直線的對稱點③根據(jù)，兩點求出直線4.2直線：（）和：（）平行,求關(guān)于直線的對稱直線①②在直線上任取一點，求點關(guān)于直線的對稱點，利用點斜式求直線.8、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程我們把方程稱為圓心為半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.9、圓上的點到定點的最大、最小距離設(shè)的方程，圓心，點是上的動點，點為平面內(nèi)一點；記;①若點在外，則;②若點在上，則;③若點在內(nèi)，則;10、圓的一般方程對于方程（為常數(shù)），當(dāng)時，方程叫做圓的一般方程.①當(dāng)時，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；②當(dāng)時，方程表示一個點③當(dāng)時，方程不表示任何圖形說明：圓的一般式方程特點：①和前系數(shù)相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項；③.11、直線與圓相交記直線被圓截得的弦長為的常用方法（1）幾何法（優(yōu)先推薦）①弦心距（圓心到直線的距離）②弦長公式：（2）代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)弦長公式：12、圓上點到直線的最大（?。┚嚯x設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為①當(dāng)直線與圓相離時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；②當(dāng)直線與圓相切時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；③當(dāng)直線與圓相交時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；13、圓與圓的公共弦（1）圓與圓的公共弦圓與圓相交得到的兩個交點，這兩點之間的線段就是兩圓的公共弦.（2）公共弦所在直線的方程設(shè)::聯(lián)立作差得到：即為兩圓共線方程（3）公共弦長的求法代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求其長．幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．第二部分：重難點題型突破突破一：直線傾斜角與斜率1．（2022·湖南·懷化市湖天中學(xué)高二階段練習(xí)）已知、，直線過點，且與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)直線交線段于點，記點，如下圖所示：當(dāng)直線從點運動到點（不包括點）時，直線的傾斜角逐漸減小，且為鈍角，此時直線的斜率；當(dāng)直線從點運動到點（不包括點）時直線的傾斜角逐漸增大，且為銳角，此時直線的斜率.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.故選：C.2．（2022·遼寧·大連市第二十三中學(xué)高二期中）已知直線和以，為端點的線段相交，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【詳解】直線恒過定點，且，，由圖可知，或.故選：C.3．（2022·廣東·深圳中學(xué)高二期中）已知點，，若點在線段AB上，則的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，則，因為點在線段上，所以的取值范圍是，故選：A.4．（2022·四川省瀘縣第四中學(xué)高二期中（文））已知直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【詳解】由題意，將已知轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個不同的交點，直線過定點，曲線表示圓心為原點，半徑為2的圓的上半部分（包括與軸的交點），畫出圖形如下圖所示．當(dāng)直線，即直線與圓相切時，則有，解得，．結(jié)合圖形可得當(dāng)直線與圓有兩個不同的交點時，則有，∴實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．突破二：兩條直線平行與垂直1．（2022·江蘇南通·高二期中）是直線與直線平行的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既非充分又非必要【答案】A【詳解】若直線與直線平行，則有解得或，故當(dāng)直線與直線平行時，或.所以是直線與直線平行的充分不必要條件.故選：A2．（2022·湖北宜昌·高二期中）若直線：與：平行，則實數(shù)（

）A．2 B．－2 C． D．【答案】C【詳解】因為，：的斜率存在且，所以：的斜率存在且，即.故選：C3．（2022·福建省福州第十一中學(xué)高三期中）已知，，直線與直線垂直，則的最小值是___________.【答案】【詳解】的法向量的法向量兩直線垂直得，即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為：.4．（2022·浙江·元濟(jì)高級中學(xué)高二期中）已知直線：，：，若，則實數(shù)_________．【答案】－3或0【詳解】當(dāng)時，直線：，：，此時顯然，符合題意；當(dāng)時，整理可得直線：，：，由，則，解得.故答案為：－3或0突破三：直線方程1．（2022·北京四中高二期中）與直線平行，且與圓相切的直線方程為______.【答案】或【詳解】由圓的方程知：圓心為，半徑；設(shè)所求直線方程為：，則圓心到直線距離，解得：或，所求直線方程為：或.故答案為：或.2．（2022·福建·晉江市季延中學(xué)高二期中）直線被圓截得的弦長為定值，則直線l的方程為_________________________．【答案】【詳解】圓的圓心，半徑，顯然點C的軌跡是直線，直線，由解得，即直線l過定點，因直線l被圓C截得的弦長為定值，則圓心C到直線l的距離為定值，因此直線l平行于圓心C的軌跡，設(shè)直線l的方程為：，有，解得，此時直線l與圓心C的軌跡的距離為，即直線l與圓C相交，所以直線l的方程為.故答案為：3．（2022·遼寧沈陽·高二期中）直線l過點，若點到直線的距離為3，則直線的方程為______.【答案】或【詳解】解：當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時點到直線的距離為3，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，所以此時點到直線的距離為，解得，所以直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為：或.故答案為：或.4．（2022·廣東湛江·高三階段練習(xí)）寫出與直線垂直且和圓相切的一條直線的方程：__________．【答案】或【詳解】圓的圓心，半徑，設(shè)與直線垂直的直線方程為：，依題意，，解得或，所以所求的直線方程是或.故答案為：或突破四：距離問題1．（2022·浙江·高二期中）點到直線的距離的最大值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【詳解】由直線，整理可得，令，解得，點到直線距離的最大值為點到定點的距離，則，故選：D.2．（2022·湖北宜昌·高二期中）函數(shù)的最小值是（

）A．5 B．4 C． D．【答案】A【詳解】，則其幾何意義為點到兩定點的距離和，點表示為橫坐標(biāo)上的點，作出如圖所示：根據(jù)將軍飲馬模型，作出點關(guān)于軸對稱點，連接，交軸于點，則，此時直線的直線方程為令，則，故當(dāng)時，.故選：A.3．（2022·北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微.”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點與點的距離.結(jié)合上述觀點，可得的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，記點、、，則，當(dāng)且僅當(dāng)點為線段與軸的交點時，等號成立，即的最小值為.故選：C.4．（2022·福建省廈門第二中學(xué)高二階段練習(xí)）點到直線（為任意實數(shù)）的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】將直線方程整理為：，由得：，直線恒過點，當(dāng)時，點到直線的距離最大，最大值為.故選：B.5．（2022·山東青島·高二期中）直線過點，和兩點到直線l的距離相等，則直線l的方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【詳解】依題意，得當(dāng)直線斜率不存在時，直線為，此時到直線的距離為，到直線的距離為，不滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線為，即，因為和兩點到直線l的距離相等，所以，即，解得或，所以直線為或，即或.故選：B.6．（2022·遼寧省康平縣高級中學(xué)高二期中）若圓M：上至少有3個點到直線l：的距離為，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】圓M：的圓心，半徑顯然一條直線過圓M的某條半徑的中點并垂直于該半徑時，圓M上恰有3點到該直線距離為圓M半徑的一半，即，因此圓M上至少有3個點到直線l：的距離為，等價于圓心M到直線l的距離，則有，解得或，所以k的取值范圍是.故選：C7．（2022·河北·石家莊市第十八中學(xué)高二階段練習(xí)）若第一象限內(nèi)的點關(guān)于直線的對稱點在直線上，則的最小值是（

）A．25 B． C．17 D．【答案】B【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，依據(jù)題意可得：，解方程組得，又對稱點在直線上，代入可得，且在第一象限，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立.故選：B8．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中有點，，直線經(jīng)過點，且點到直線的距離是，則直線的方程是__________．【答案】或【詳解】由直線經(jīng)過點，且點，，當(dāng)直線斜率不存在時，此時直線的方程為，滿足點到直線的距離是；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，轉(zhuǎn)化為，因為點到直線的距離是，所以，解得，此時直線的方程為．故答案為：或.9．（2022·河南·宜陽縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線與平行，則，間的距離為___________.【答案】【詳解】因為，所以且，解得，所以，即，所以，間的距離為.故答案為：10．（2022·黑龍江省饒河縣高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線，，則直線與之間的距離最大值為______.【答案】5【詳解】直線化簡為：，令且，解得，，所以直線過定點，直線化簡為：，令且，解得，，所以直線過定點，，當(dāng)與直線，垂直時，直線，的距離最大，且最大值為，故答案為：5．11．（2022·江蘇·蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué)高二階段練習(xí)）實數(shù)滿足：，則的最小值為________【答案】##4.5【詳解】由題設(shè)可得，，故，設(shè)，，則，即函數(shù)的圖象的點與直線上的點的連線段的平方，而，令，則，此時對應(yīng)的函數(shù)值為1，故函數(shù)的圖象在處的切線為，的最小值即為平行線，之間的距離，此距離為，故的最小值為，故答案為：12．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校高二階段練習(xí)）若實數(shù)，，，滿足，則的最小值為______.【答案】2【詳解】由，，故可理解為曲線上一點與直線上一點間的距離的平方，對于函數(shù)，令，故可得，即函數(shù)在處的切線方程為，切線方程與直線平行，則函數(shù)在處的切線方程與直線之間的距離，故的最小值為.故答案為：2.13．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高二期中）已知為直線上的動點，，則m的最小值為___________.【答案】【詳解】由表示到和的距離之和，又關(guān)于直線的對稱點為，∴到和的距離之和的最小值為與之間的距離，∴.故答案為：.突破五：圓的方程1．（2022·北京豐臺二中高三階段練習(xí)）若直線截取圓所得弦長為2，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【詳解】因為圓的半徑為1，直徑為2，故直線過的圓心，故，解得.故選：C2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線恒過定點P，則與圓C：有公共的圓心且過點P的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】直線，即，由解得，即，圓C：的圓心，，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B3．（2022·安徽·合肥市第七中學(xué)高二期中）已知方程表示圓，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為表示圓，所以，解得，得的取值范圍是.故選：C4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知，則的外接圓的方程是___________．【答案】【詳解】解：設(shè)外接圓的方程為，由題意得，解得，所以的外接圓方程為.故答案為：.5．（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））設(shè)圓心在直線與直線上，點在上，則的方程為______．【答案】【詳解】由題意解得，設(shè)的方程為，將代入得，即，所以的方程為，故答案為：.突破六：與圓上點有關(guān)的距離最值問題1．（2022·黑龍江·綏棱縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓C：上的點到直線l：的最大距離為M?最小距離為m，若，則實數(shù)k的值是（

）A． B．1 C．或1 D．或1【答案】D【詳解】圓C：的圓心坐標(biāo)為，半徑為；直線l：化為一般式是.由點到直線的距離公式可知，圓心到直線l：的距離為，易知當(dāng)l與圓C相切時；當(dāng)l與圓相交時，，均不合題意，故直線l與圓C必相離，此時圓C上的點到直線l的最大距離為，最小距離為.因為，所以，得，即，解得或.經(jīng)檢驗直線l與圓C相離，符合題意.綜上，或.故選：D.2．（2022·貴州貴陽·高二階段練習(xí)）直線被圓截得的最短弦長為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】圓，直線恒過點，點在圓內(nèi)，當(dāng)點是圓的弦中點時，弦長最短，圓心和點的距離，所以最短弦長.故選：D3．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知點P是曲線上的動點，則點P到直線的距離的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由得，所以曲線C是以為圓心，的圓，因為點到直線的距離為，所以點P到直線的距離的最大值為.故選：B．4．（2022·吉林吉林·高二期中）已知是圓上的一點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】表示圓上的點到點的距離，由可化為，則圓心為，半徑為，點到圓心的距離為，所以點到點的距離的最小值為，即的最小值是.故答案為：.5．（2022·安徽省泗縣第一中學(xué)高二期中）直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】直線，令，得，令，得，，點到直線的距離為的高，又圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為：，所以點到直線的距離的最大值為，最小值為，則面積為，最大值為，最小值為，所以面積的取值范圍為，故A，B，C錯誤.故選：D.6．（2022·河南·民權(quán)縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知圓的方程為，是圓上一動點，點，為線段的中點，則的最小值為__________.【答案】##【詳解】設(shè)，，點為線段的中點，有，得，在圓上，滿足圓的方程，則有，化簡得點軌跡方程為，點軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，如圖所示，，所以的最小值為.故答案為：7．（2022·北京市第五十七中學(xué)高三階段練習(xí)）若點在半徑為1，且圓心為坐標(biāo)原點的圓上，過點作圓的切線，切點為，則的最小值為___________.【答案】【詳解】原點，而點，有，圓O與圓C半徑分別為1，2，顯然圓O與圓C外離，因PQ切圓C于點Q，有，因此，當(dāng)且僅當(dāng)最小時，取得最小值，而點P在圓上，于是得，所以.故答案為：8．（2022·湖南·衡陽市一中高二期中）已知是曲線上兩個不同的點，，則的最大值與最小值的比值是__________．【答案】【詳解】由，得，，或．當(dāng)時，原方程化為，當(dāng)時，原方程化為．所以方程表示的曲線為圓P：的左半部分和圓Q：的右半部分．畫出方程所表示的曲線如圖：有，，，，，，，，當(dāng)、分別與圖中、兩點重合時，取最大值為6，當(dāng)、分別與圖中、、、四點中的某兩點重合時，取最小值為，的最大值與最小值的比值是．故答案為：9．（2022·上海市青浦高級中學(xué)高二階段練習(xí)）一束光線從點射出，經(jīng)軸上一點反射后到達(dá)圓上一點，則的最小值為_____．【答案】【詳解】解：由題知：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，如圖，設(shè)關(guān)于軸對稱的點為，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線，，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，三點共線，三點共線時等號成立，所以，的最小值為故答案為：10．（2022·貴州·高三階段練習(xí)（文））已知O是坐標(biāo)原點，A，B是圓O：上兩點，且，若弦的中點為，則的最小值為___________.【答案】【詳解】設(shè)點，因此表示，由，因為，所以，因為是弦的中點，所以，所以，當(dāng)點在線段上時，最小，最小值為，所以的最小值為，故答案為：突破七：圓的切線問題1．（2022·江蘇連云港·高二期末）從圓外一點向圓引切線，則此切線的長為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【詳解】的圓心為，設(shè)切點為A，半徑，如圖所示，由切線性質(zhì)知，，則切線長．故選:C．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線是圓：的對稱軸，過點作圓的一條切線，切點為，則等于（

）A．2 B． C． D．【答案】B【詳解】解：圓即，圓心為，半徑為，由題意可知過圓的圓心，則，解得，點的坐標(biāo)為，作示意圖如圖所示：，切點為，則，所以．故選：B．3．（2022·遼寧鞍山·高二期中）過點引圓的切線，則切線的方程為（

）A．或 B．C．或 D．【答案】C【詳解】若切線與軸垂直，則切線方程為，此時圓心到直線的距離為，合乎題意；當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線的方程為，即，由題意可得，解得，此時，所求切線的方程為.綜上所述，所求切線方程為或.故選：C.4．（2022·四川省南充高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））若圓C:上任意一點關(guān)于直線的對稱點都在圓上，由點向圓作切線，則切線段長的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【詳解】圓，化簡為:，圓的圓心坐標(biāo):，半徑為，圓關(guān)于直線對稱，在直線上，可得，即，點與圓心的距離為，點向圓所作切線長為當(dāng)且僅當(dāng)時切線長最小，最小值為4.故選：C.5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）過點作圓的切線，則切線的方程為_________．【答案】或【詳解】由已知圓心，半徑.又，所以，點在圓外.當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為.此時，圓心到直線的距離，所以直線不是圓的切線；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)斜率為，則直線的方程為，整理可得，.因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，即，整理得，，解得，或.當(dāng)時，直線方程為；當(dāng)時，直線方程為，化為一般式方程為.所以切線的方程為或.故答案為：或.6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）曲線與直線l：y＝k（x－2）＋4有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是________．【答案】【詳解】直線l過點A（2，4），又曲線的圖象是以（0，1）為圓心，2為半徑的半圓，如圖，當(dāng)直線l與半圓相切，C為切點時，圓心到直線l的距離d＝r，即，解得.當(dāng)直線l過點B（－2，1）時，直線l的斜率為，則直線l與半圓有兩個不同的交點時，實數(shù)k的取值范圍為.故答案為：突破八：兩圓的公共弦問題1．（2022·四川·成都七中高二期中（文））圓?與圓?公共弦所在直線方程為___________．【答案】【詳解】解法一：設(shè)、為公共弦上兩點，則，得，同理得，∴兩圓的公共弦方程為．解法二：直接把兩圓方程相減得為公共弦方程．故答案為：．2．（2022·四川成都·高二期中（文））圓與圓的公共弦長為______．【答案】【詳解】圓與圓的方程相減可得公共弦長所在直線的方程，即，圓的圓心為，半徑為2，圓心到的距離，∴兩圓公共弦長，故答案為：.3．（2022·天津·耀華中學(xué)高二期中）兩圓和相交于兩點，則公共弦的長為__________.【答案】##【詳解】由，解得，或，所以不妨取兩圓的交點為，所以.故答案為：.4．（2022·四川省綿陽南山中學(xué)高二階段練習(xí)（理））過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為_____．（請用直線方程的一般式作答）【答案】【詳解】由題設(shè)，圓心為、，則以為直徑的圓為，所以為和的公共弦，故直線的方程，將兩圓方程相減可得：.故答案為：突破九：圓的弦長問題1．（2022·天津市第二耀華中學(xué)高三階段練習(xí)）若直線被圓截得線段的長為6，則實數(shù)的值為__________.【答案】25【詳解】，圓心又根據(jù)弦長公式可得：故答案為：252．（2022·四川省綿陽江油中學(xué)模擬預(yù)測（理））若直線過，且被圓截得的弦長為，則直線方程為______【答案】或【詳解】由，得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，因為直線被圓截得的弦長為，所以圓心到直線的距離為，當(dāng)斜率不存在時，直線的方程為，也符合題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，因為圓心到直線：的距離為，所以，解得，所以直線方程為．即所求直線的方程為或．故答案為：或．3．（2022·廣東·模擬預(yù)測）若斜率為的直線與軸交于點，與圓相交于點兩點，若，則______．【答案】【詳解】設(shè)點，則直線的方程為，即，因為，的半徑為2，故弦的弦心距為，即圓心到直線的距離為，故，解得，即,故,故答案為：.4．（2022·河南·高二階段練習(xí)（文））過點作一條直線與圓分別交于M，N兩點.若弦MN的長為，則直線MN的方程為______.【答案】或（其他形式，只要正確亦可）【詳解】由題意可知，直線MN的斜率存在，設(shè)其斜率為k，則直線MN的方程為，即.若弦MN的長為，則圓心到直線MN的距離為，所以，解得.故直線MN的方程為或，即或.故答案為：或.5．（2022·山西運城·高二階段練習(xí)）已知圓過平面內(nèi)三點，，．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點B也在圓上，且弦AB長為，求直線AB的方程．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，，解得即，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）圓心到直線的距離，當(dāng)直線斜率不存在時，方程為：，此時，不符合題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為：，，解得∴直線方程為或．6．（2022·福建·廈門外國語學(xué)校石獅分校高二期中）已知圓:，點坐標(biāo)為，為圓上動點，中點為.(1)當(dāng)點在圓上動時，求點的軌跡方程；(2)過點的直線與的軌跡相交于兩點，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1），所以在圓外.設(shè)，由于的中點是，所以，所以，整理得，所以點的軌跡方程為.（2）點的軌跡方程為，所以是以為圓心，半徑為的圓，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，由，解得或，滿足.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，由于，，，所以圓心到直線的距離為，即，解得，所以直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.7．（2022·北京市師達(dá)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知圓，直線.(1)若直線與圓交于兩點，，求的值.(2)求證：無論取什么實數(shù)，直線與圓恒交于兩點；(3)求直線被圓截得的最短弦長，以及此時直線的方程.【答案】(1)(2)證明見詳解(3)，【詳解】（1）依題意，圓心，根據(jù)圓的弦長公式解之：（2）由直線方程解得定點，又，在圓內(nèi)，無論取什么實數(shù)，直線與圓恒交于兩點得證.（3）由弦長公式此時此時綜上：8．（2022·遼寧·本溪滿族自治縣高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過直線和的交點，且與直線垂直.(1)求直線的方程；(2)若圓過點，且圓心在軸的負(fù)半軸上，直線被圓所截得的弦長為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由已知，得解得兩直線交點為，設(shè)直線的斜率為，因為直線與垂直，所以，解得，所以直線的方程為，即.（2）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則由題意，得解得或（舍去），所以，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.9．（2022·山東省濟(jì)南市萊鋼高級中學(xué)高二期中）已知圓和點．(1)過點M向圓O引切線，求切線的方程；(2)求以點M為圓心，且被直線截得的弦長為8的圓M的方程；【答案】(1)或(2)【詳解】（1）若過點M的直線斜率不存在，直線方程為：，為圓O的切線；當(dāng)切線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為：，即，∴圓心O到切線的距離為：，解得：∴直線方程為：．綜上，切線的方程為：或（2）點到直線的距離為：，又∵圓被直線截得的弦長為8，由垂徑定理得：，∴∴圓M的方程為：10．（2022·貴州貴陽·高二階段練習(xí)）已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點.(1)求圓的方程；(2)若過點的直線被圓截得的弦的長為4，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）解：因為圓的圓心在直線上，所以設(shè)圓心為，又因為圓與直線相切于點，所以，解得，所以圓心為，半徑為，所以圓的方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時：直線方程為，圓心到直線的距離為，所以弦長為，成立；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離為，所以弦長為，解得，所以直線方程為：，所以直線的方程為或.第三部分：沖刺重難點特訓(xùn)一、單選題1．（2022·浙江省杭州第九中學(xué)高二期中）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，且所以，則.故選：B.2．（2022·浙江·杭州市源清中學(xué)高二期中）已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】直線的斜率為1，設(shè)直線的傾斜角為，則，因為，所以.故選:.3．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）已知x，y滿足，若不等式恒成立，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為可化為，表示的是以為圓心，為半徑的圓，可以看作是直線在軸上的截距，當(dāng)直線與圓相切時，縱截距取得最大值或最小值，此時，解得或，所以，又因為不等式恒成立，所以，則c的取值范圍是.故選：B.4．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）若直線與互相垂直，則實數(shù)（

）A． B． C．或0 D．或0【答案】D【詳解】解：若直線與互相垂直，則，即，解得或.故選：D.5．（2022·河北·任丘市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點，且點在直線上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由圓，圓，兩式相減，得圓與圓的公共弦所在直線方程為：，聯(lián)立，解得，即，，又在直線上，，即．有，得．當(dāng)且僅當(dāng)時取等，的取值范圍是.故選：C．6．（2022·河北·涉縣第一中學(xué)高三期中）過點作圓的切線，則切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題可知點在圓上，，則切線的斜率為，所以切線方程為，化簡可得.故選：B7．（2022·河南·馬店第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知動點M，N分別在拋物線：和圓：上，則的最小值為（

）A． B． C．5 D．6【答案】A【詳解】設(shè)，則，即，由題意可得：，∵，令，則在R上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，，則.故選：A.8．（2022·湖南長沙·高二階段練習(xí)）已知直線：和圓：交于A，B兩點，則弦AB所對的圓心角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以弦長，在中，由余弦定理可得：.故選：C9．（2022·四川·威遠(yuǎn)中學(xué)校高二期中（文））一條光線從點射出，經(jīng)x軸反射后，與圓相切，則反射后光線所在的直線方程為（

）A．或 B．或C．或 D．【答案】A【詳解】點關(guān)于x軸的對稱點為，所以反射光線經(jīng)過，當(dāng)反射光線所在直線與軸垂直時，即，圓到直線的距離為，因為，所以直線與圓相離，故反射光線所在直線的斜率存在，設(shè)為，則反射光線所在直線的方程為，即，因為反射光線與圓相切，所以，解得或，所以反射光線所在直線的方程為，或，整理得或.故選：A.10．（2022·四川省遂寧高級實驗學(xué)校高二期中（理））已知圓，圓，過圓上任意一點作圓的兩條切線、切點分別為、，則的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C【詳解】解：由題意可知，圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心，半徑為2，所以，而，所以兩圓相離，，要使取得最小值，需要和越小，且越大才能取到，設(shè)直線CM和圓交于H，G兩點（如下圖），則的最小值是，，，則，所以，故選：C.11．（2022·江蘇·南京市天印高級中學(xué)高二階段練習(xí)）若圓與圓關(guān)于直線對稱，圓上任意一點均滿足，其中，為坐標(biāo)原點，則圓和圓的公切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【詳解】圓的圓心為，半徑為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點為，則有，解得，所以.又圓的半徑，則圓的半徑，所以圓的方程為.設(shè)，則，.又，則，整理可得，，圓的方程為，圓心，.則圓和圓圓心距，又，則所以，圓和圓外切，所以兩圓的公切線有3條.故選：C.二、多選題12．（2022·浙江·杭州市源清中學(xué)高二期中）已知圓，則下列說法正確的是（

）A．點在圓內(nèi) B．圓M關(guān)于對稱C．直線與截圓M的弦長為 D．直線與圓M相切【答案】BCD【詳解】已知圓，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為，，圓心，將點到圓心的距離，所以，點在圓外，A選項錯誤；將圓心代入直線，得，成立所以直線過圓心，則圓關(guān)于直線對稱，B選項正確；因為圓心直線的距離,可得弦長為,C選項正確；因為圓心直線的距離，所以直線與圓相切，D選項正確；故選：13．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）設(shè)動直線交圓于A，B兩點（C為圓心），則下列說法正確的有（

）A．直線l過定點 B．當(dāng)取得最大值時，C．當(dāng)最小時，其余弦值 D．的取值范圍是【答案】AD【詳解】對于A，由，得，由，得，所以直線過定點，故A正確；對于B，由可知，圓心，半徑，當(dāng)直線經(jīng)過圓心時，取得最大值，所以，解得，故B不正確；對于C，顯然點在圓內(nèi)，設(shè)圓心到直線的距離為，則，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以，因為在單調(diào)遞減，在內(nèi)，所以當(dāng)最小時，最大，最小，因為的最小值為，所以此時，故C不正確；對于D，因為，由B知，，所以，即的取值范圍是，故D正確.故選：AD14．（2022·福建省南安國光中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓（為圓心），直線，點在直線上運動，直線分別與圓切于點．則下列說法正確的是（

）A．四邊形的面積最小值為B．最短時，弦長為C．最短時，弦直線方程為D．直線過定點為【答案】AB【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑；對于AB，，若取得最小值，則取得最小值，，當(dāng)，即為圓心到直線的距離時，最小，即最小，，，，此時，解得：，AB正確；對于CD，設(shè)，，當(dāng)在點處的切線斜率存在時，其斜率為，則切線方程為：，即，，又，在點處的切線方程為：；當(dāng)在點處的切線斜率不存在時，即時，，則切線方程為：，滿足；綜上所述：在點處的切線方程為；同理可得：在點處的切線方程為；又為兩條切線的交點，設(shè)，則滿足，坐標(biāo)滿足方程，當(dāng)過作圓兩條切線，切點分別為時，直線方程為：，當(dāng)最小時，直線方程為：，即，由得：，即；此時直線方程為：，即，且此時直線不過點，C錯誤，D錯誤.故選：AB.三、填空題15．（