等比數列的概念

5.3.1等比數列的概念動手做游戲：把紙對折1次，2次，3次，4次，5次，分別列出每次對折后紙的層數：2（21）4（22）8（23）16（24）32（25）繼續(xù)對折，想想紙的層數是如何變化的？折1次折2次折3次折4次．．．折28次

2（21）4（22）8（23）16（24）．．.228

情景導入請觀察：(1)2，10，50，250，···(2)1，1/3，1/9，1/27···

-3，9，-27，81···(4)36，36×0.9，36×0.92,36×0.93,…(5)9，92，93，94，95，96，97共同特點從第2項起，每1項與前1項的比都等于同一常數。?1.定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比。通常用字母q表示。注：（1）等比數列的所有項不為0；（2）公比不為0(q≠0）.

等比數列的定義即：

練習一下列數列是否為等比數列？是的話，算出公比？①8，16，32，64，128，256，…；②1，1，1，1，1，1，1，…；③243，81，27，9，3，1，…；④16，8，4，2，0，－2，…；⑤1，－1，1，－1，1，－1，1，…；

1，10，－100，－1000，…．１,2,4,16,64,…√√√√任一項不能為0q=2q=1q=-1q=13常數列

等比數列的通項公式由此可知，等比數列的通項公式為等比數列{an}中,有:(q不為0)n為正整數

等比數列的通項公式例1求等比數列8，4，2，1，···的第5項和第8項．12an=a1qn-1=8×（

）n-1解a1=8，q

===，則

a2

a1481212a5=a1qn-1=8×（

）4=1212a8=a1qn-1=8×（

）7=116

等比數列的通項公式例2已知一個等比數列的第3項和第4項分別是12和18，求它的第1項和第2項．解設這個數列的第一項是a1，公比是q

，則a1·

q2

＝12，①a1·

q3

＝

18．②解①②所組成的方程組，得q＝，a1＝，a2

＝a1·

q

＝×＝

8．即這個數列的第1項是，第2項是8．1633216332163

等比數列的等比中項公式例3：在2與8之間插入G，使得2，G

，8成等比數列，求G的值．一般地，如果a

，G，b

成等比數列，那么G

叫做a與b的等比中項．

G

2＝ab，即G

＝±容易看出，一個等比數列從第2項起，每一項（有窮等比數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等比中項．

等比數列的等差中項公式觀察如下的兩個數之間，插入一個什么數后，三個數就會成為一個等比數列：（1）1，，9（2）-1，，-4（3）-12，，-3（4）1，，1±3±2±6±1

等比數列的等差中項公式

解：解得a=4或a=-4

反饋練習1．如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列叫做________數列，這個常數叫做等比數列的________，公比通常用字母q表示(q≠0)．答案：等比公比2．如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的________．答案：等比中項3．等比數列的通項公式為________．答案：an＝a1qn－1

反饋練習1．等比數列的公比能否為0，首項能否為0?答案：等比數列的首項，公比都不為0。2.1,3,9，（），81,243，……

27,q=32,-4,(),-16,32,……

8,q=-23.等比數列1,2,4,8,16,……，求a6和a10

a6=32,a10=5122023/9/29例4：將20，50，100三個數分別加上相同的常數，使這三個數依次成等比數列，求該等比數列的公比。

等比數列的等差中項公式

反饋練習A．an＝a3qn－2 B．an＝a3qn－1C．an＝a3qn－3 D．an＝a3qn－4解析：∵a3qn－3＝a1·q2·qn－3＝a1qn－1＝an.答案：C

反饋練習

反饋練習

反饋練習探索規(guī)律在等比數列｛an｝中，根據等差中項的定義可知a22＝a1·a3，

即類似地，有由此啟發(fā)我們想到：若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），則應有