高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性第一冊課件1-1-3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系

1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系第一章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)核心素養(yǎng)思維脈絡(luò)1.在理解空間向量基本定理的基礎(chǔ)上掌握空間向量正交分解的原理及坐標(biāo)表示.(數(shù)學(xué)抽象)2.能正確地運(yùn)用空間向量的坐標(biāo),進(jìn)行向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.初步學(xué)會用坐標(biāo)的方法解決立體幾何中的簡單幾何問題.(邏輯推理、直觀想象)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思我們所在的教室是一個立體圖形,即是一個三維立體圖,如果以教室的一個墻角為坐標(biāo)原點(diǎn),沿著三條墻縫作射線可以得到三條坐標(biāo)軸,有了這三條坐標(biāo)軸,就可以形成一個可以度量的三維空間,也就是建立了空間直角坐標(biāo)系(類比平面直角坐標(biāo)系).如果將圖中的小鳥所在的樹枝看成“向量”,平行移動這個“向量”,那么它的坐標(biāo)有變化嗎?樹枝的端點(diǎn)坐標(biāo)有變化嗎?知識點(diǎn)撥1.空間中向量的坐標(biāo)

一般地,如果空間向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是單位向量,而且這三個向量兩兩垂直,就稱這組基底為單位正交基底;在單位正交基底下向量的分解稱為向量的單位正交分解,而且,如果p=xe1+ye2+ze3,則稱有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)為向量p的坐標(biāo),記作p=(x,y,z),其中x,y,z都稱為p的坐標(biāo)分量.微練習(xí)

已知在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱DD1,BC的中點(diǎn),2.空間向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系空間向量a,b,其坐標(biāo)形式為a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a+ba+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)減法a-ba-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)數(shù)乘λaλa=(λx1,λy1,λz1)數(shù)量積a·ba·b=x1x2+y1y2+z1z2特別地,(1)如果μ,v是兩個實(shí)數(shù),那么μa+vb=(μx1+vx2,μy1+vy2,μz1+vz2).微練習(xí)

(1)已知向量a=(2,-3,5),b=(-2,4,5),則a+b=

,b-a=

.答案

(0,1,10)

(-4,7,0)(2)已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),則4a+2b等于(

)A.(16,0,4)

B.(8,-16,4)C.(8,16,4) D.(8,0,4)答案

D解析

4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4).(3)向量a=(2,-3,),b=(1,0,0),則cos<a,b>=

.3.空間向量的坐標(biāo)與空間向量的平行、垂直

設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則有a∥b?

(其中x1,y1,z1均不為0);a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2+z1z2=0.要點(diǎn)筆記若不明確x1y1z1≠0,則可以用以下結(jié)論進(jìn)行求解,即a∥b(a≠0)?b=λa?(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)?微練習(xí)(1)已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,則(

)答案

D(2)已知向量a=(1,-2,-1),b=(3,m,-1),若a⊥b,則m=

.答案

2解析

∵a⊥b,∴a·b=3-2m+1=0,∴m=2.4.空間直角坐標(biāo)系為了確定空間點(diǎn)的位置,在平面直角坐標(biāo)系xOy的基礎(chǔ)上,通過原點(diǎn)O,再作一條數(shù)軸z,使它與x軸,y軸都垂直,這樣它們中的任意兩條都互相垂直.軸的方向通常這樣選擇:從z軸的正方向看,x軸的正半軸沿逆時針方向轉(zhuǎn)90°能與y軸的正半軸重合,這樣就在空間建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz,O叫做坐標(biāo)原點(diǎn).每兩條坐標(biāo)軸分別確定的平面xOy,yOz,zOx叫做坐標(biāo)平面,三個坐標(biāo)平面把不在坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)分成八個卦限,如圖所示.名師點(diǎn)析(1)空間中的點(diǎn)與三個實(shí)數(shù)組成的有序?qū)崝?shù)組之間,有了一一對應(yīng)關(guān)系,空間一點(diǎn)M的位置完全由有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)確定,因此將(x,y,z)稱為點(diǎn)M的坐標(biāo),記作M(x,y,z).此時,x,y,z都稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)分量,且x稱為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)(或x坐標(biāo)),y稱為點(diǎn)M的縱坐標(biāo)(或y坐標(biāo)),z稱為點(diǎn)M的豎坐標(biāo)(或z坐標(biāo)).(2)八個卦限中的點(diǎn)的坐標(biāo)符號也有一定的特點(diǎn):Ⅰ:(+,+,+);Ⅱ:(-,+,+);Ⅲ:(-,-,+);Ⅳ:(+,-,+);Ⅴ:(+,+,-);Ⅵ:(-,+,-);Ⅶ:(-,-,-);Ⅷ:(+,-,-).(3)在空間中建立了空間直角坐標(biāo)系之后,向量

的坐標(biāo)與P點(diǎn)的坐標(biāo)相同,即

=xe1+ye2+ze3=(x,y,z)?P(x,y,z).微練習(xí)(1)點(diǎn)P(1,2,1)關(guān)于xOz平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)A.(1,-2,1)

B.(-1,-2,1)C.(1,2,-1) D.(-1,-2,-1)答案

A(2)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,取D點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,O,M分別是AC,DD1的中點(diǎn),寫出下列向量的坐標(biāo):答案

(-2,0,1)

(1,1,2)解析

DA=DC=DD1=2,且DA,DC,DD1兩兩互相垂直,5.空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)為空間直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn),微練習(xí)已知點(diǎn)A(-3,1,5)與點(diǎn)B(4,3,1),則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(

)答案

B課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一空間向量坐標(biāo)的計(jì)算例1(1)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),則(2a+3b)·(a-2b)=

.

答案

(1)-244

(2)C解析

(1)(2a+3b)·(a-2b)=2a2+3a·b-4a·b-6b2=2×62-22-6×72=-244.反思感悟?qū)τ诳臻g向量坐標(biāo)的計(jì)算有以下兩種途徑:(1)直接計(jì)算問題首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來,然后準(zhǔn)確運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算.本探究中例題就是用給出的向量坐標(biāo)直接套用數(shù)量積相關(guān)公式求解.對于(1)問中運(yùn)算方法還可以先求出2a+3b與a-2b的坐標(biāo)再計(jì)算.(2)由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)首先把向量按坐標(biāo)形式設(shè)出來,然后通過建立方程組,解方程組求出其坐標(biāo).變式中的求參問題便屬于這一類型題目.變式訓(xùn)練1若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且滿足條件(c-a)·(2b)=-2,則x=

.

答案

2解析

據(jù)題意,有c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),故(c-a)·2b=2(1-x)=-2,解得x=2.探究二空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求k.解得λ=±1.即c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).又因?yàn)?ka+b)⊥(ka-2b),所以(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0.反思感悟1.判斷空間向量垂直或平行的步驟.(1)向量化:將空間中的垂直與平行轉(zhuǎn)化為向量的垂直與平行.(2)對于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根據(jù)兩向量坐標(biāo)間的關(guān)系判斷兩向量是否垂直;根據(jù)x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)或

(x2,y2,z2都不為0)判斷兩向量是否平行.2.求出參數(shù)值后還要再回歸到原題檢驗(yàn)解的可行性,解決平行或垂直時用的坐標(biāo),含參數(shù)的還要注意分類討論思想的應(yīng)用.延伸探究若將本例改為“若ka-b與ka+2b互相垂直”,求k的值.解

由題意知ka-b=(k+1,k,-2),ka+2b=(k-2,k,4),∵(ka-b)⊥(ka+2b),∴(ka-b)·(ka+2b)=0,解

如圖所示,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)正方體棱長為1,則A(1,0,0),E(0,0,),B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),由題意,可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,a,1),探究三空間向量的夾角與長度的計(jì)算例3棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是DD1,BD,BB1的中點(diǎn).(1)求證:EF⊥CF;(2)求cos<>;(3)求CE的長.(1)證明

以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,反思感悟通過分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,以便寫點(diǎn)的坐標(biāo)時便捷.對于正方體載體常用的建系方法一般如例題中所述.建立坐標(biāo)系后,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),然后再寫出相應(yīng)向量的坐標(biāo)表示,把向量坐標(biāo)化,然后再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解夾角和距離問題.變式訓(xùn)練3

如圖,在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,N為A1A的中點(diǎn).解

如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.(1)依題意得B(0,1,0),N(1,0,1),素養(yǎng)形成思想方法——用坐標(biāo)法解決向量的平行或垂直問題案例1設(shè)向量a=(1,x,1-x),b=(1-x2,-3x,x+1),求滿足下列條件時,實(shí)數(shù)x的值.(1)a∥b;(2)a⊥b.【規(guī)范答題】

解

(1)①當(dāng)x=0時,a=(1,0,1),b=(1,0,1),a=b,滿足a∥b.②當(dāng)x=1時,a=(1,1,0),b=(0,-3,2),不滿足a∥b,∴x≠1.綜上所述,當(dāng)x=0,或x=2時,a∥b.案例2如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.求證:(1)AF∥平面BDE;(2)CF⊥平面BDE;【規(guī)范答題】

證明

(1)如圖,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G,連接EG.∵EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,∴四邊形AGEF為平行四邊形,∴AF∥EG.∵EG?平面BDE,AF?平面BDE,∴AF∥平面BDE.(2)∵正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,且CE⊥AC,∴CE⊥平面ABCD.如圖,以C為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz,則∴CF⊥BE,CF⊥DE.又BE∩DE=E,∴CF⊥平面BDE.歸納提升1.解決此類問題要熟練掌握向量平行和垂直的條件,借助此條件可將立體幾何中的平行、垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算.在應(yīng)用坐標(biāo)形式下的平行條件時,一定注意結(jié)論成立的前提條件,在條件不明確時要分類討論.2.這兩個案例滲透了分類討論、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等多種數(shù)學(xué)思想.當(dāng)堂檢測1.已知M(5,-1,2),A(4,2,-1),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(

)A.(-1,3,-3) B.(9,1,1)C.(1,-3,3) D.(-9,-1,-1)答案

B2.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(-2,1,4)關(guān)于點(diǎn)M(2,-1,-4)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)A.(0,0,0) B.(2,-1,-4)C.(6,-3,-12) D.(-2,3,12)答案

C解析

設(shè)對稱點(diǎn)為P3,則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn),設(shè)P3(x,y,z),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12).3.(多選)已知a=(2,-3,1),