數(shù)字電子技術(shù)第1章 數(shù)字邏輯基礎(chǔ)

數(shù)字電子技術(shù)第1章數(shù)字邏輯基礎(chǔ)1.1數(shù)制1.2幾種常用的編碼1.3邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.4邏輯函數(shù)的化簡1.1數(shù)制1.1.1十進(jìn)制數(shù)1.1.2二進(jìn)制數(shù)1.1.3八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)1.1.4不同數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換1.1.1十進(jìn)制數(shù)數(shù)制就是人們計(jì)數(shù)的方式十進(jìn)制數(shù)是由0~9十個(gè)不同的數(shù)碼組成的，所以計(jì)數(shù)的基數(shù)數(shù)是10，超過9的數(shù)必須用多位數(shù)碼表示，其計(jì)數(shù)規(guī)律是“逢十進(jìn)一”。例如，十進(jìn)制數(shù)369.12可以表示為上式等號(hào)的右邊為該數(shù)的按權(quán)展開，102、101、100、10-1和10-2分別為百位、十位、個(gè)位、十分位和百分位的權(quán)，位數(shù)越高權(quán)值越大。任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)，都可按其權(quán)位展成多項(xiàng)式的形式。(N)D=(Kn-1

K1K0.K-1

K-m)D=Kn-110n-1++K1101+K0100+K-110-1++K-m

10-m下標(biāo)D表示十進(jìn)制任意R進(jìn)制只由0~（R-1）R個(gè)數(shù)碼和小數(shù)點(diǎn)組成，不同數(shù)位上的數(shù)具有不同的權(quán)值Ri，基數(shù)R，逢R進(jìn)一。(N)R=(Kn-1

K1K0.K-1

K-m)R=Kn-1Rn-1++K1R1+K0R0+K-1R-1++K-m

R-m任意一個(gè)R進(jìn)制數(shù)，都可按其權(quán)位展成多項(xiàng)式的形式。1.1.2二進(jìn)制數(shù)只由0、1兩個(gè)數(shù)碼和小數(shù)點(diǎn)組成，不同數(shù)位上的數(shù)具有不同的權(quán)值2i?；鶖?shù)2，逢二進(jìn)一任意一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，都可按其權(quán)位展成多項(xiàng)式的形式。(N)B=(Kn-1

K1K0.K-1

K-m)B=Kn-12n-1++K121+K020+K-12-1++K-m

2-m下標(biāo)B表示二進(jìn)制1.1.3八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)1.八進(jìn)制數(shù)

八進(jìn)制數(shù)中只有0,1,2,3,4,5,6,7八個(gè)數(shù)碼，進(jìn)位規(guī)律是“逢八進(jìn)一”。各位的權(quán)都是8的冪。一般表達(dá)式八進(jìn)制就是以8為基數(shù)的計(jì)數(shù)體制。式中下標(biāo)O表示八進(jìn)制數(shù)，Ki代表第i位的數(shù)碼（0~7），8i表示第i位的權(quán)值；m和n為正整數(shù)，分別表示八進(jìn)制數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分的位數(shù)。則八進(jìn)制數(shù)5703.6可表示為

十六進(jìn)制數(shù)中只有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A、B、C、D、E、F十六個(gè)數(shù)碼，進(jìn)位規(guī)律是“逢十六進(jìn)一”。各位的權(quán)均為16的冪。2.十六進(jìn)制一般表達(dá)式：式中下標(biāo)H表示十六進(jìn)制數(shù)，Ki代表第i位的數(shù)碼（0~9和A、B、C、D、E、F），16i表示第i位的權(quán)值；m和n為正整數(shù)，分別表示十六進(jìn)制數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分的位數(shù)。則十六進(jìn)制數(shù)FB8.A可表示為常用數(shù)制對(duì)照表十進(jìn)制二進(jìn)制八進(jìn)制十六進(jìn)制十進(jìn)制二進(jìn)制八進(jìn)制十六進(jìn)制012345678910111213141500000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110123456701234567101112131415161789ABCDEF1.1.4不同數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換一、二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)1．二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)利用二進(jìn)制數(shù)的一般表達(dá)式即可將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。例如2．八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)利用八進(jìn)制數(shù)的一般表達(dá)式即可將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。例如3．十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)利用二進(jìn)制數(shù)的一般表達(dá)式即可將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。例如二、十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)1．十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)：整數(shù)部分小數(shù)部分整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換除2取余法：用二進(jìn)制數(shù)的基數(shù)2去除十進(jìn)制數(shù)，第一次相除所得余數(shù)為目的數(shù)的最低位K0，將所得商再除以基數(shù)，反復(fù)執(zhí)行上述過程，直到商為“0”，所得余數(shù)為目的數(shù)的最高位Kn-1。解：根據(jù)上述原理，可將(173)D按如下的步驟轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)由上得例1.1.1

將十進(jìn)制數(shù)(173)D轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)。小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換乘2取整法：十進(jìn)制小數(shù)乘以二進(jìn)制數(shù)的基數(shù)2，第一次相乘結(jié)果的整數(shù)部分為目的數(shù)的最高位K-1，將其小數(shù)部分再乘基數(shù)依次記下整數(shù)部分，反復(fù)進(jìn)行下去，直到小數(shù)部分為“0”，或滿足要求的精度為止（即根據(jù)設(shè)備字長限制，取有限位的近似值）。例1.1.2將十進(jìn)制小數(shù)0.8125轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。解：根據(jù)“乘2取整法”3．二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)相互轉(zhuǎn)換從低位到高位將整數(shù)部分每4位二進(jìn)制數(shù)分為一組并代之以等值的十六進(jìn)制數(shù)，同時(shí)從高位到低位將小數(shù)部分每4位數(shù)分為一組并代之以等值的十六進(jìn)制數(shù)。若不足4位時(shí)，可在整數(shù)的最高位前和小數(shù)的最低位后補(bǔ)0構(gòu)成4位。即可得到十六進(jìn)制數(shù)。例1.1.3將二進(jìn)制數(shù)111110.101011轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)。解：若將十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，只需將十六進(jìn)制數(shù)的每一位用等值的4位二進(jìn)制數(shù)代替即可。例1.1.4將十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。解：4．二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)相互轉(zhuǎn)換將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)，可將二進(jìn)制數(shù)分為3位一組，再將每組的3位二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成等值的1位八進(jìn)制數(shù)即可。例1.1.5將二進(jìn)制數(shù)11110.10101轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)。解：若將八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，只需將八進(jìn)制數(shù)的每一位用等值的3位二進(jìn)制數(shù)代替即可。例1.1.6將八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。解：5.十六進(jìn)制的優(yōu)點(diǎn)1）與二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換容易；

2）計(jì)數(shù)容量較其它進(jìn)制都大。假如同樣采用四位數(shù)碼，二進(jìn)制最多可計(jì)至(1111)B=(15)D；八進(jìn)制可計(jì)至(7777)O=(2800)D；十進(jìn)制可計(jì)至(9999)D；十六進(jìn)制可計(jì)至(FFFF)H=(65535)D，即64K。其容量最大。3）書寫簡潔。1.2幾種常用的編碼1.2.1二進(jìn)制編碼1.2.2二—十進(jìn)制編碼（BCD）1.2.3其他編碼1.2.1二進(jìn)制編碼

若所需編碼的信息有N項(xiàng)，則需要的二進(jìn)制數(shù)碼的位數(shù)n應(yīng)滿足如下關(guān)系

例如4位二進(jìn)制碼可以表示16個(gè)不同的數(shù)碼，如表所示,常用的按8421權(quán)位排列的4位二進(jìn)制編碼表示的16個(gè)十進(jìn)制數(shù)。1.2.2二—十進(jìn)制編碼（BCD）

二—十進(jìn)制碼就是用4位二進(jìn)制數(shù)來表示1位十進(jìn)制數(shù)中的0～9這10個(gè)數(shù)碼，簡稱BCD碼。十進(jìn)制8421BCD碼012345678900000001001000110100010101100111100010012421BCD碼5421BCD碼余三碼8421b3b2b1b0位權(quán)0000000100100011010010111100110111101111000000010010001101001000100110101011110000110100010101100111100010011010101111002421b3b2b1b05421b3b2b1b0無權(quán)（2）各種編碼的特點(diǎn)余３碼的特點(diǎn):a.當(dāng)兩個(gè)十進(jìn)制的和是10時(shí)，相應(yīng)的二進(jìn)制正好是16，于是可自動(dòng)產(chǎn)生進(jìn)位信號(hào),而不需修正。b.0和9,1和8,…..6和4的余３碼互為反碼,這對(duì)在求對(duì)于10的補(bǔ)碼很方便。有權(quán)碼：編碼與所表示的十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)算容易如(10010000)8421BCD=(90)Ｄ對(duì)于有權(quán)BCD碼，可以根據(jù)位權(quán)展開求得所代表的十進(jìn)制數(shù)。例如：[]BCD8421

0111()D

7=11214180+++=

[]()D

BCD2421

7112041211101=+++=

（3）求BCD代碼表示的十進(jìn)制數(shù)對(duì)于一個(gè)多位的十進(jìn)制數(shù)，需要有與十進(jìn)制位數(shù)相同的幾組BCD代碼來表示。例如：不能省略！不能省略！（4）用BCD代碼表示十進(jìn)制數(shù)1.2.3其他編碼1.格雷碼

格雷碼又稱循環(huán)碼。從表中的4位格雷碼編碼表中可以看出格雷碼的每一位的狀態(tài)變化都按一定的順序循環(huán)。如果從0000開始，最右邊一位的狀態(tài)按0110順序循環(huán)變化，右邊第二位的狀態(tài)按00111100順序循環(huán)變化，右邊第三位按0000111111110000順序循環(huán)變化?？梢姡杂蚁蜃?，每一位狀態(tài)循環(huán)中連續(xù)的0、1數(shù)目增加一倍。由于4位格雷碼只有16個(gè)，所以最左邊一位的狀態(tài)只有半個(gè)循環(huán)，即0000000011111111。

與普通的二進(jìn)制代碼相比，格雷碼的最大優(yōu)點(diǎn)就在于當(dāng)它按照編碼順序依次變化時(shí)，相鄰兩個(gè)代碼之間只有一位發(fā)生變化。這樣在代碼轉(zhuǎn)換的過程中就不會(huì)產(chǎn)生過渡“噪聲”。而在普通二進(jìn)制代碼的轉(zhuǎn)換過程中，則有時(shí)會(huì)產(chǎn)生過渡噪聲。例如，二進(jìn)制代碼0011轉(zhuǎn)換為0100過程中，如果最右邊一位的變化比其他兩位的變化慢，就會(huì)在一個(gè)極短的瞬間出現(xiàn)0101狀態(tài)，這個(gè)狀態(tài)將成為轉(zhuǎn)換過程中出現(xiàn)的噪聲。而格雷碼0010向0110轉(zhuǎn)換過程中則不會(huì)出現(xiàn)過渡噪聲。2．美國信息交換標(biāo)準(zhǔn)代碼（ASCⅡ）

美國信息交換標(biāo)準(zhǔn)代碼（AmericanStandardCodeforInformationInterchange，簡稱ASCⅡ碼）是由美國國家標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)會(huì)（ANSI）制定的一種信息代碼，廣泛地用于計(jì)算機(jī)和通信領(lǐng)域中。ASCⅡ碼巳經(jīng)由國際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）認(rèn)定為國際通用的標(biāo)準(zhǔn)代碼。

ASCⅡ碼是一組7位二進(jìn)制代碼（b7b6b5b4b3b2b1b0），共128個(gè)，其中包括表示0?9的十個(gè)代碼，表示大、小寫英文字母的52個(gè)代碼，32個(gè)表示各種符號(hào)的代碼以及34個(gè)控制碼。1.3邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.3.1基本邏輯運(yùn)算1.3.2復(fù)合邏輯運(yùn)算1.3.3邏輯函數(shù)的表達(dá)形式1.3.4邏輯代數(shù)的運(yùn)算公式和規(guī)則1.3.1基本邏輯運(yùn)算（一）邏輯變量取值：邏輯0、邏輯1。邏輯0和邏輯1不代表數(shù)值大小，僅表示相互矛盾、相互對(duì)立的兩種邏輯狀態(tài)。（二）基本邏輯運(yùn)算邏輯與

邏輯或

邏輯非

邏輯符號(hào)邏輯表達(dá)式F=A

B=AB與邏輯真值表與邏輯關(guān)系表與邏輯運(yùn)算開關(guān)A開關(guān)B燈F斷斷斷合合斷合合滅滅滅亮ABF101101000010ABF

只有決定某一事件的所有條件全部具備，這一事件才能發(fā)生。UABF

與邏輯運(yùn)算規(guī)則為邏輯符號(hào)或邏輯真值表或邏輯關(guān)系表或邏輯運(yùn)算開關(guān)A開關(guān)B燈F斷斷斷合合斷合合亮亮亮滅ABF101101001110決定某一事件的條件有一個(gè)或一個(gè)以上具備，這一事件才能發(fā)生。邏輯表達(dá)式F=A+BABFUFAB≥1

或邏輯運(yùn)算規(guī)則為非邏輯真值表非邏輯關(guān)系表非邏輯運(yùn)算開關(guān)A燈FAF當(dāng)決定某一事件的條件滿足時(shí)，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生。邏輯表達(dá)式F=AUFAR斷合亮滅1001邏輯符號(hào)ABF1非邏輯運(yùn)算規(guī)則為與非邏輯運(yùn)算F1=AB或非邏輯運(yùn)算F2=A+B與或非邏輯運(yùn)算F3=AB+CDABF1

ABF2≥1ABF3CD≥1

1.3.2復(fù)合邏輯運(yùn)算ABF101101001100邏輯表達(dá)式F=A

B=AB+AB

ABF=1邏輯符號(hào)邏輯表達(dá)式F=ABABF101101000011

異或運(yùn)算

同或運(yùn)算“

”異或邏輯運(yùn)算符=A

BABF=1邏輯符號(hào)ABF=1“⊙”同或邏輯運(yùn)算符1.3.3邏輯函數(shù)的表達(dá)形式

如果以邏輯變量作為輸入，以運(yùn)箅結(jié)果作為輸出，那么當(dāng)輸入變量的取值確定之后，輸出的取值便隨之而定。因此，輸出與輸入之間是一種函數(shù)關(guān)系。這種函數(shù)關(guān)系稱為邏輯函數(shù)，寫作一、邏輯真值表

對(duì)于邏輯函數(shù)將輸入變量所有的取值下對(duì)應(yīng)的輸出值找出來，列成表格，即為邏輯真值表，簡稱真值表。例1.3.1用真值表描述三個(gè)人表決，原則是少數(shù)服從多數(shù)。解：設(shè)三個(gè)人為A、B、C，同意為1，反對(duì)為0；表決結(jié)果為Y，通過為1，否決為0。真值表如表所示。ABCY00000100110111100101011111011000若有N個(gè)輸入變量，則應(yīng)有個(gè)對(duì)應(yīng)狀態(tài)，應(yīng)有個(gè)輸出狀態(tài)。

二、邏輯函數(shù)表達(dá)式

將輸出與輸入之間的邏輯關(guān)系寫成與、或、非等運(yùn)算的組合式，即邏輯代數(shù)式，就得到了所需的邏輯函數(shù)式。常見的邏輯函數(shù)表達(dá)式有與—或例如

五種常用表達(dá)式“與―或”式“或―與”式“與非―與非”式“或非―或非”式“與―或―非”式=AB+AC基本形式三、邏輯圖將邏輯函數(shù)式中各變量之間的與、或、非等邏輯關(guān)系用圖形符號(hào)表示出來，就可以畫出表示函數(shù)關(guān)系的邏輯圖，如圖所示。Y=A(B+C)四、波形圖如果將邏輯函數(shù)輸人變量每一種可能出現(xiàn)的取值與對(duì)應(yīng)的輸出值按時(shí)間順序依次排列起來，就得到了表示該邏輯函數(shù)的波形圖，如圖所示。這種波形圖也稱為時(shí)序圖。五、各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換1．真值表與邏輯函數(shù)式的相互轉(zhuǎn)換由真值表寫出邏輯函數(shù)式的一般方法：①找出真值表中使邏輯函數(shù)Y=1的那些輸入變量取值的組合。

②每組輸入變量取值的組合對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，其中取值為1的寫為原變量，取值為0的寫為反變量。

③將這些乘積項(xiàng)相加，即得Y的邏輯函數(shù)式。

由邏輯式列出真值表只需將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代入邏輯式求出函數(shù)值，列成表，即可得到真值表。解：先將輸入變量A、B、C取值，然后進(jìn)行或運(yùn)算和與運(yùn)算。真值表如表。例1.3.3將邏輯表達(dá)式寫成真值表。

2．邏輯函數(shù)式與邏輯圖的相互轉(zhuǎn)換

從給定的邏輯函數(shù)式轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的邏輯圖時(shí)，只要用邏輯圖形符號(hào)代替邏輯函數(shù)式中的邏輯運(yùn)算符號(hào)并按運(yùn)算優(yōu)先順序?qū)⑺鼈冞B接起來，就可以得到所求的邏輯圖了。

例1.3.4已知邏輯函數(shù)為，畫出其對(duì)應(yīng)的邏輯圖。

解：將式中所有的與、或、非運(yùn)算符號(hào)用圖形符號(hào)代替，并依據(jù)運(yùn)算優(yōu)先順序?qū)⑦@些圖形符號(hào)連接起來，就得到了圖所示的邏輯圖。

從給定的邏輯圖轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)式時(shí)，只要從邏輯圖的輸入端到輸出端逐級(jí)寫出每個(gè)圖形符號(hào)的輸出邏輯式，就可以在輸出端得到所求的邏輯函數(shù)式了。

例1.3.5已知邏輯函數(shù)的邏輯圖如圖所示，試求它的邏輯函數(shù)表達(dá)式。

解：根據(jù)圖(a)所示邏輯圖從輸入到輸出逐級(jí)逐個(gè)寫出邏輯運(yùn)算圖形符號(hào)的邏輯關(guān)系式，如圖(b)所示，最后可得邏輯函數(shù)表達(dá)式3．波形圖與真值表的相互轉(zhuǎn)換

在從巳知的邏輯函數(shù)波形圖求對(duì)應(yīng)的真值表時(shí)，首先需要從波形圖上找出每個(gè)時(shí)間段里輸入變量與函數(shù)輸出的取值，然后將這些輸入、輸出取值對(duì)應(yīng)列表，就得到了所求的真值表。

真值表ABL0001010111101.3.4邏輯代數(shù)的運(yùn)算公式和規(guī)則一、邏輯代數(shù)基本公式A+0=AA+1=1A0=0A1=AA

A=0

A+A=1A

A=AA+A=AA

B=B

AA+B=B+A

(AB)C=A(BC)(A+B)+C=A