第七節(jié) 重積分

主要內(nèi)容二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的計算法二重積分的應(yīng)用三重積分的概念及其計算法利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計算三重積分

重積分

第七節(jié)二重積分二重積分的引入二重積分的概念二重積分的性質(zhì)=底面積×高特點：平頂.=？特點：曲頂.2．曲頂柱體的體積問題的提出1．平頂柱體的體積一、二重積分的概念（1）．曲頂柱體的體積？顯然，平頂柱體的體積=底面積×高，而曲頂柱體的體積不能直接用上式計算，那么怎樣來計算呢？

以xoy平面的有界閉區(qū)域D為底、側(cè)面是以D的邊界曲線C作準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面，頂是曲面這里且在D上連續(xù)所形成的立體稱為曲頂柱體（如上圖）。

由第五章求曲邊梯形面積的方法就不難想到下面的解決辦法：

用一組曲線網(wǎng)將xoy面上的區(qū)域D劃分為n個小區(qū)域也同時記為它們的面積，分別以各小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于z軸的柱面，這些柱面把原曲頂柱體分為n個小曲頂柱體．當(dāng)這些小閉區(qū)域的直徑很小時，連續(xù)函數(shù)

的變化不大，這時小曲頂柱體可近似看作平頂柱體．在每個中各任取一點為高而底為的小平頂柱體體積為這n個平頂柱體體積之和可作為整個曲頂柱體體積的近似值．令n個小閉區(qū)域的直徑中的最大值（記作λ）趨于零，取上述和的極限，所得的極限就定義為所論曲頂柱體的體積綜合起來，即所謂“分割、近似、作和、取極限”四步。

求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．步驟如下：(3)用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，(4)取極限：曲頂柱體的體積(1)先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域（２）．求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量（極限）二重積分的定義積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素D(4)面積元素為二重積分可寫為注：表示以曲面z=f(x,y)為頂,D為底的曲頂柱體的體積.

二重積分的幾何意義(1)設(shè)z=f(x,y)0,

(x,y)

D(2)設(shè)z=f(x,y)0,

(x,y)

D表示曲頂柱體體積的負(fù)值.(3)若z=f(x,y)在D上若干部分區(qū)域是正的,在其它部分區(qū)域是負(fù)的.例如:

設(shè)

f(x,y)

1,

(x,y)

D,

為D的面積則:解:

表示以原點O為圓心,半徑為R的上半球面.上半球體的體積RRyzxRo例性質(zhì)１性質(zhì)２（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）二重積分的性質(zhì)性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性性質(zhì)4（保號性）在區(qū)域D上有

f(x,y)

g(x,y),(x,y)

D,則推論:性質(zhì)6（估值定理）

設(shè)m

f(x,y)

M.(x,y)

D,D的面積為

.則性質(zhì)5

性質(zhì)7（二重積分中值定理）解解

二重積分的計算可以按照定義來進(jìn)行，同定積分按照定義進(jìn)行計算一樣，能夠按照定義進(jìn)行計算的二重積分很少，對少數(shù)特別簡單的被積函數(shù)和積分區(qū)域來說是可行的，但對于一般的函數(shù)和積分區(qū)域卻不可行。本節(jié)介紹一種計算二重積分的方法——把二重積分化為二次單積分（定積分）來計算。二、二重積分的計算(一)、利用直角坐標(biāo)計算二重積分

在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為

當(dāng)函數(shù)在區(qū)域D上連續(xù)時，我們可以用特定的分割來解決定積分的計算。如果積分區(qū)域為：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).［X－型］如果積分區(qū)域為：［Y－型］若區(qū)域如圖，則必須分割.例

將化為二次積分。其中

D

由直線圍成。解1：先畫出積分區(qū)域D

。D

是Y－型。將D

向y

軸投影。于是，解2：D

也是X－型。將D

向x

軸投影。于是，解積分區(qū)域為于是，解如圖解原式練習(xí)變換下列二次積分的次序：解積分區(qū)域如圖，則可改寫為例

計算其中

D

由直線圍成。解先畫出積分區(qū)域D

。D

是X－型。于是，于是，例計算其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域.解一如圖,將積分區(qū)域視為型,解二將積分區(qū)域視為型,例計算其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域.解一將積分區(qū)域視為型,解二將積分區(qū)域視為型,解解

由以上各例可以看出，化為兩次積分來計算二重積分：1、確定積分限是關(guān)鍵（畫圖）。2、既要考慮積分區(qū)域的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性。例解X-型例解先去掉絕對值符號，如圖

設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,D1為D在第一象限中的部分,如果函數(shù)f(x,y)關(guān)于y為偶函數(shù),則如果f(x,y)關(guān)于y為奇函數(shù),則zyxoxyzo例求其中解因為關(guān)于軸和軸對稱,且于為偶函數(shù)注:則要繁瑣很多.若直接在上求二重積分,關(guān)于或關(guān)二重積分在直角坐標(biāo)下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）小結(jié)［Y－型］［X－型］(二)、極坐標(biāo)系下計算二重積分

有些二重積分，積分區(qū)域的邊界曲線或被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量來表示比較簡單，則可以考慮