13.4最短路徑問(wèn)題(用)

八年級(jí)上冊(cè)13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題如下圖，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？

兩點(diǎn)之間,線段最短①②③

如圖，點(diǎn)A、B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離的和最短？?jī)牲c(diǎn)之間，線段最短.lACB作法：連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)〔1〕兩點(diǎn)一線：異側(cè)〔1〕這兩個(gè)問(wèn)題之間，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？〔2〕我們能否把左圖A、B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線l的異側(cè)呢？

〔3〕利用什么知識(shí)可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標(biāo)？分析：lABClABC同側(cè)異側(cè)軸對(duì)稱

引例：牧馬人從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后，再回到B點(diǎn)宿營(yíng)。請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使走的路程最短？ABllABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，AC與BC的和最??？ABl〔1〕兩點(diǎn)一線：同側(cè)lABCB′如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′.當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，AC與CB′的和最小？在連接AB′兩點(diǎn)的線中，線段AB′最短.因此，線段AB′與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求.作法：〔1〕作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；〔2〕連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．那么點(diǎn)C即為所求．在直線l上任取另一點(diǎn)C′，連接AC′、BC′、B′C′．∵直線l是點(diǎn)B、B′的對(duì)稱軸，點(diǎn)C、C′在對(duì)稱軸上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，

∴AC+BC<AC′+B′C′，即AC+BC最?。甽ABCB′C′證明：如圖.歸納lAB′ClABCB′lABC抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題用舊知解決新知軸對(duì)稱解決實(shí)際問(wèn)題ABl解決“兩點(diǎn)一線〞型最短路徑問(wèn)題的方法：異側(cè):連接兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；同側(cè):作其中某一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．BlA·B′C(中考)如圖，直線l外不重合的兩點(diǎn)A、B，在直線l上求作一點(diǎn)C，使得AC＋BC的長(zhǎng)度最短，作法為：①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；②連接AB′與直線l相交于點(diǎn)C，那么點(diǎn)C為所求作的點(diǎn)．在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)沒(méi)有運(yùn)用到的知識(shí)或方法是()A．轉(zhuǎn)化思想B．三角形的兩邊之和大于第三邊C．兩點(diǎn)之間，線段最短D．三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角D

如圖，A、B是兩個(gè)蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個(gè)抽水站，將河水送到A、B兩地，問(wèn)該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)。A.B.aB1C知2－練如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(－2，4)，B(4，2)，在x軸上取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和最小，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(－2，0)B．(4，0)C．(2，0)D．(0，0)CB′

如圖13.4--5，牧馬營(yíng)地在點(diǎn)P處，每天牧馬人要趕著馬群先到草地a上吃草，再到河邊b飲水，最后回到營(yíng)地．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條放牧路線，使其所走的總路程最短．〔2〕兩線一點(diǎn)圖13.4--5ab.p解決“兩線一點(diǎn)〞型最短路徑問(wèn)題:要作兩次軸對(duì)稱，從而構(gòu)造出最短路徑．PabP1P2MN.解決“兩線一點(diǎn)〞型最短路徑問(wèn)題:PabP1P2MN.解決“兩線一點(diǎn)〞型最短路徑問(wèn)題:要作兩次軸對(duì)稱，從而構(gòu)造出最短路徑．作法：1.作點(diǎn)P關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)P1;2.作點(diǎn)P關(guān)于直線b的對(duì)稱點(diǎn)P2;3.連接P1P2，分別交直線a，b于點(diǎn)M,N;4.依次連接PM,MN,NP,即所求最短路徑。PabP1P2MN.〔3〕兩線兩點(diǎn).A.B草地河

牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請(qǐng)畫(huà)出最短路徑。l1l2ABA1B1PQ解決“兩線兩點(diǎn)〞型最短路徑問(wèn)題:1.先作出第一個(gè)點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)A1;2.再作出第二個(gè)點(diǎn)B關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)B1;3.連接A1B1，分別交直線l1,l2于點(diǎn)P,Q;4.依次連接AP,PQ,QB,從而構(gòu)造出最短路徑。..〔4〕造橋選址問(wèn)題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.喬造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？〔假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直〕BA思維分析BA如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接ＡＭ和ＢＮ，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？ＭＮ問(wèn)題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時(shí)路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由線段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１

≥AM+MN+BN問(wèn)題2歸納抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實(shí)際問(wèn)題lA