理論力學(xué)習(xí)題選講

習(xí)題選講一個(gè)長(zhǎng)為pa的輕桿左右兩端各連接一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量分別為2m和m，用手將它的中點(diǎn)放于一個(gè)固定的半徑為a的半圓柱體正頂端，再沿圓柱表面純滾動(dòng)到平衡位置才放手。限制它的運(yùn)動(dòng)在垂直平面內(nèi)且只做純滾動(dòng)（靜摩擦力足夠大）。問(wèn)：（1）平衡時(shí)，它與水平面的夾角為多少？（2）平衡點(diǎn)處它受小擾動(dòng)后做小振動(dòng)，其周期是什么？2mam解答（1）平衡時(shí),力臂之比為1:2,支點(diǎn)距中點(diǎn)(pa)/6，轉(zhuǎn)過(guò)角度為p/6。或從質(zhì)心平衡在支點(diǎn)，同樣得。從勢(shì)能最小得

解答（2）因轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心在支點(diǎn)，故

解答（2）或?qū)?shì)能作2階泰勒展開(kāi)，如圖是一個(gè)單缸發(fā)動(dòng)機(jī)模型，長(zhǎng)為的連桿與活塞連接于T點(diǎn)，與半徑為繞固定軸Q轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤相連于S點(diǎn)。連接以鉸鏈或軸承實(shí)現(xiàn)?；钊鶑?fù)運(yùn)動(dòng)于TQ連線上。當(dāng)∠SQT=60°時(shí)：（1）已知圓盤以勻角速度w順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，求此時(shí)活塞的速率。（2）若活塞受力為F，給出圓盤此時(shí)通過(guò)其上的齒輪輸出的力矩（忽略所有物件的質(zhì)量）。TQS解答（1）從幾何約束關(guān)系：解答或從幾何得到此時(shí)x=3。對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，代入已知值，得?；蛉鐖D找到轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心P，使PT垂直于TQ（T運(yùn)動(dòng)方向），且在直線QS上（因S速度與QS垂直），則PS=PQ-QS=2*TQ-a=5a，則VT/PT=VS/PS，315QSTP解答（2）因是理想約束，故力矩為質(zhì)量均為m的兩質(zhì)點(diǎn)用長(zhǎng)為a的輕桿連接，并靜止地置于光滑水平面上。另有單獨(dú)的質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量也為m，從與桿垂直的方向以初速度v0與桿上一質(zhì)點(diǎn)發(fā)生對(duì)心的完全彈性碰撞。（1）求碰撞后單獨(dú)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度。（2）求碰撞后桿的中心平動(dòng)速度和桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。（3）輕桿運(yùn)動(dòng)的空間極跡和本體極跡分別是什么？。解答相同質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)間的對(duì)心彈性碰撞，其速度交換。（1）碰撞后單獨(dú)質(zhì)點(diǎn)的速度為0。（2）桿心平動(dòng)速度為v0/2，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為v0/a。（3）空間極跡為直線，過(guò)靜止時(shí)輕桿的另一端，與單獨(dú)質(zhì)點(diǎn)初始速度方向平行。本體極跡為以輕桿為直徑的圓。一個(gè)管子以恒定角速度w在水平面上繞一固定軸旋轉(zhuǎn)。管子內(nèi)有一個(gè)彈簧，彈性系數(shù)為k,原長(zhǎng)可以忽略，其一端固定于軸上，另一端連接質(zhì)點(diǎn)m，若管壁光滑，（1）寫出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)L。（2）給出系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)H，此時(shí)哈密頓函數(shù)是否等于系統(tǒng)的動(dòng)能加上勢(shì)能？(3）請(qǐng)給出用什么母函數(shù)做正則變換可使系統(tǒng)函數(shù)H變?yōu)?？解答

（1）（2）（3）質(zhì)量為m的勻質(zhì)正方體邊長(zhǎng)2a，其下底面中心軸線處有長(zhǎng)為2a的輕細(xì)柄。正方體和柄組成的剛體以柄下端O為定點(diǎn)做轉(zhuǎn)動(dòng)?？臻g坐標(biāo)系原點(diǎn)為O點(diǎn)，z軸豎直向上，本體坐標(biāo)z軸是沿柄方向。轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)歐拉角q為30°,進(jìn)動(dòng)角速度為w0，自轉(zhuǎn)角速度為，均為恒定值。求（1）剛體的總角速率。（2）剛體在j=0時(shí)的角動(dòng)量。（3）若剛體轉(zhuǎn)