《線性代數(shù)》 試卷及答案 共5套

年月日第頁共頁第一套模擬題一、填空題（將正確的答案填在橫線上）（每小題3分，總計18分）1．計算3階行列式.2．設(shè)為三階方陣,且，則.3.設(shè)階方陣滿足關(guān)系式,則=.4．直線與平面的交點為.5.已知4階方陣，且，若，，，則非齊次線性方程組的通解為.6.設(shè)三階方陣滿足=0,則的特征值為.二、單項選擇題（將正確的選項填在括號內(nèi)）（每小題3分，總計18分）1．下列命題中，正確的是（）.（A）如果矩陣，那么可逆，且；（B）如果階方陣，均可逆，那么必可逆；（C）如果階方陣，均不可逆，那么必不可逆；（D）如果階方陣，均不可逆，那么必不可逆.2．已知三階方陣，，，，則必有（）.（A）；（B）；（C）；（D）.3．設(shè)向量組線性無關(guān)，向量組線性相關(guān)，則（）.（A）必可由線性表示；（B）必不可由線性表示；（C）必可由線性表示；（D）必不可由線性表示.4．設(shè)有向量組，，，，,則該向量組極大無關(guān)組是（）.（A）；（B）；（C）；（D）.5．設(shè)是矩陣，是矩陣,則線性方程組（）.（A）當時,僅有零解；（B）當時,必有非零解；（C）當時,僅有零解；（D）當時,必有非零解.6．設(shè)為階可逆矩陣，是的一個特征值,則的伴隨矩陣的特征值之一是（）.（A）；（B）；（C）；（D）.三、解答下列各題（每小題10分，總計50分）1．計算4階行列式：.2．已知矩陣，矩陣，其中為三階可逆矩陣，求.3．設(shè)的兩個子空間為求與的基與維數(shù).4．設(shè)3階方陣()的每一個列向量均是方程組的解，(1)求;(2)設(shè)為此線性方程組的系數(shù)矩陣，求.5．若三階方陣，求一個正交陣,使為對角陣.四、證明題（每小題7分，總計14分）１．已知是矩陣，是矩陣，如果，且，證明矩陣.２．若向量可由線性表示,且表法唯一,證明線性無關(guān)．第一套模擬題答案一、1．2000；2．108；3．；4．；5.;6..二、1．D；2．C；3．C；4．B；5．D；6.B.三、1．解：D==……………10分2．解：因為，……………10分3．解：可取作為子空間的一組基，則，故它的一組基為；，，它的基為.……10分4．解：（1）由于3階方陣(至少有兩列不相同)的每一個列向量都是方程組的解，即方程組的解不唯一，則，解得.(2)記則.則…………………10分5．解：因為的特征多項式為,于是的特征值為，對于，解方程組得基礎(chǔ)解系為，對于，解方程組得基礎(chǔ)解系為，利用施密特正交化方法對正交化.令，，再對單位化，得，，，記,則為正交陣且滿足……………10分四、證明：1.因為，所以，又，所以，即………………7分2．向量可由線性表示，且表示方法唯一，所以有解且解唯一.則，那么線性無關(guān)……………7分第二套模擬題一、填空題（將正確的答案填在橫線上）（每小題4分，總計32分）1．設(shè)是的伴隨矩陣，則.2．過點且垂直于直線的平面為.3.設(shè)維向量為階單位矩陣，矩陣其中的逆矩陣為則.4.設(shè)階矩陣三維列向量已知與線性相關(guān)，則.5.設(shè)向量則向量與的夾角為.6.設(shè)是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則也是的基礎(chǔ)解系的充要條件是.7.設(shè)矩陣則.8.設(shè)矩陣則的伴隨矩陣..其中為元素的代數(shù)余子式.二、計算題（每小題8分，總計40分）1.求某多項式空間中基到基的過渡矩陣；并求元素在這兩組基下的坐標。2.已知4階方陣且若求線性方程組的通解.已知三階方陣的特征值為求.4．化二次型為標準形.5.判斷二次型是否正定.三、解答下列各題（每小題11分，總計22分）1.設(shè)矩陣與相似，且（1）求的值.（2）求可逆矩陣使.2．設(shè)（1）計算行列式（2）當實數(shù)為何值時，方程組有無窮多解，并求其通解.四、證明題（每小題6分，總計6分）設(shè)為階正交矩陣,證明矩陣的伴隨矩陣為正交矩陣.第二套模擬題答案一、填空題（每小題4分，總計32分）1．2．；3．-1；4．；5.；6.7.8.0.二、計算題（每小題8分，總計40分）1．解：所以過度矩陣為在基下坐標為在基下坐標為……………………8分2．解：因為所以是的解，又所以是的解，由所以是的解，所以是的解，且線性無關(guān)，而的解空間是2維的，所以是的解.…………8分3.解：因為的特征值為1,，-4，所以故可逆，所以進而的特征值為，所以………………8分4．解：令，所以………………8分5．解：二次型的系數(shù)矩陣為的各階順序主子式于是二次型不是正定的.………………8分三、解答題（每小題11分，總計22分）1.解：（1）因為矩陣與相似，所以且得……5分(2)因為的特征值為解線性方程組得基礎(chǔ)解系解線性方程組得基礎(chǔ)解系取則……………………11分2.解：(1)………………5分(2)對增廣矩陣作初等行變換得當實數(shù)且時，即時，方程組有無窮多解.此時，所以的通解為其中為任意常數(shù).…………………11分四、證明題（每小題6分，總計6分）證明：因為為正交矩陣，所以且可逆，所以進而所以是正交矩陣.…………6分第三套模擬題一、填空題（將正確的答案填在橫線上）（每小題3分，總計15分）1．點到平面的距離為.2．設(shè),是的伴隨矩陣,則=.3.設(shè)是4階方陣,且,,則=.4．已知4階方陣=,其中線性無關(guān),.如果,則線性方程組的通解是.5.設(shè)為階方陣且有非零解,則必有一個特征值為.二、單項選擇題（將正確的選項填在括號內(nèi)）（每小題3分，總計15分）1．設(shè)均為階方陣,為階單位矩陣,若，,則為（）.（A）；（B）；（C）；（D）.2．設(shè)均為維列向量,是矩陣,下列選項正確的是（）.（A）若線性相關(guān),則線性相關(guān)；（B）若線性相關(guān),則線性無關(guān)；（C）若線性無關(guān),則線性相關(guān)；（D）若線性無關(guān),則線性無關(guān).3．設(shè)為階方陣,若,則的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)是（）.（A）0個；（B）1個；（C）2個；（D）個.4．設(shè)是非奇異矩陣的一個特征值,則矩陣有一個特征值（）.（A）；（B）；（C）；（D）.5．設(shè)矩陣，,則與（）.（A）合同且相似；（B）合同,但不相似；（C）不合同,但相似；（D）既不合同,也不相似.三、解答下列各題（每小題10分，總計60分）1．計算4階行列式：.2．已知矩陣，矩陣滿足,其中是的伴隨矩陣,求.3．設(shè)四個函數(shù)，，，的所有實系數(shù)線性組合構(gòu)成實數(shù)域上一個4維線性空間，求微分變換在基下的矩陣.4．確定常數(shù),使向量組,,可由向量組,,線性表示,但向量組不能由向量組線性表示.5．若三階方陣與相似,矩陣的特征值為,求.6．用正交變換化二次型為標準形,并求出所用的正交變換．四、證明題（每小題5分，總計10分）１．若，且．證明是不可逆矩陣.２．設(shè)為實矩陣，且，證明為正定的充要條件是．第三套模擬題答案一、1．；2．=；3．3；4．其中為任意常數(shù)；5.0.二、1．A；2．A；3．C；4．B；5．B.三、1．解：原式=…=……………………10分2．解：由,用矩陣左乘方程的兩端,有得.由于,故……10分3．解：所以基下矩陣為……10分4．解：由題意,向量組:可由向量組:線性表示,則有;由向量組不能由向量組線性表示,必有,即.于是.解得或.另一方面當時,,.即線性無關(guān),顯然向量組可由線性表示,而向量組不能由線性表示,即是符合題意要求的.當時,,.不滿足,所以不符合題意,應(yīng)舍去.綜上所述.……………………10分5．解：因為與相似,所以存在可逆矩陣使.易知,又存在可逆矩陣,使,故,所以……………10分6．解：二次型的矩陣，的特征值為5，（二重），對應(yīng)5的一個基礎(chǔ)解系為，對應(yīng)的一個基礎(chǔ)解系為，，現(xiàn)將正交化，.將單位化后，可得的一組標準正交基，，.故所求正交陣為且正交變換化二次型為標準形.………………10分四、證明：1.因(1)(2)由(1),(2)可知,得即(3)又因得(4)將(4)代入(3)可知,因,所以可逆,即,代入上式可知,故不是可逆陣.………5分2．()若正定,則對均有即，即只有零解,故()若,則齊次方程組只有零解.于是對于,均有,故,即正定.……………5分第四套模擬題一、填空題（將正確的答案填在橫線上）（每小題3分，總計15分）1．設(shè)為3階方陣,是的伴隨矩陣,,則.2．設(shè)階矩陣滿足,則=.3.設(shè)向量組,,線性無關(guān),則必滿足關(guān)系式.4．平面內(nèi)曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)面方程.5.設(shè)3階方陣滿足,則的特征值為.二、單項選擇題（將正確的選項填在括號內(nèi)）（每小題3分，總計15分）1．設(shè)為3階方陣,表示中的三個列向量,則（）.（A）；（B）；（C）（D）.2．設(shè)是階方陣,且,則（）.（A）；（B）；（C）；（D）.3．設(shè)向量組線性無關(guān),則下列向量組線性相關(guān)的是（）.（A）；（B）；（C）；（D）.4．齊次線性方程組的系數(shù)矩陣記為,若存在3階矩陣,使得,則（）.（A）且；（B）且；（C）且；（D）且.5．設(shè)3階矩陣,已知矩陣相似于矩陣,則（）.（A）2；（B）3；（C）4；（D）5.三、解答下列各題（每小題9分，總計63分）1．計算行列式：.2．設(shè)3階方陣滿足關(guān)系式,且，求.3．考慮向量組,,，,,求此向量組的一個極大線性無關(guān)組，并把其余向量分別用該極大無關(guān)組線性表示.4．求齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系和通解.5．設(shè)矩陣,問是否與對角陣相似?若相似,求對角陣及可逆矩陣,使得.6．利用配方法將二次型化為標準形,并求出所用的非退化線性替換及替換矩陣．7.設(shè)線性變換在的一個基下的矩陣為,求的特征值和對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量.四、證明題（共7分）設(shè)為階方陣，滿足,且．證明是不可逆矩陣.第四套模擬題答案一、1．64；2．；3．；4．；5..二、1．D；2．B；3．A；4．C；5．C.三、1．解：…………………9分2．解：由已知推出,所以………9分3．解：=，可見為一個極大無關(guān)組,且,……………9分4．解：由題對方程組的系數(shù)矩陣作變換得,得基礎(chǔ)解系,,,則通解為其中是任意常數(shù).…………………9分5．解：因為,所以與對角陣相似.因,所以的特征值為.當時,的基礎(chǔ)解系為:,,當時,的基礎(chǔ)解系為:.取,故.…………9分6．解：,于是可得標準形為,可得,即,令,則為所求.………………………9分7.解：故的特征值為當時，的基礎(chǔ)解系為所以的屬于特征值的特征向量為當時，的基礎(chǔ)解系為所以的屬于特征值的特征向量為………………………9分四、證明：因,移項整理得,即,故.…7分第五套模擬題一、填空題（將正確的答案填在橫線上）（每小題4分，總計20分）1．設(shè)4階方陣,則.2．已知,則=.3.已知，，且，則.4．已知向量組,,,,則該向量組的秩是.5.設(shè)方程組有無窮多解,則.二、單項選擇題（將正確的選項填在括號內(nèi)）（每小題4分，總計20分）1．設(shè)均為階方陣,則必有（）.（A）;（B）；（C）;（D）.2．設(shè)是矩陣,是階可逆矩陣,矩陣的秩為，矩陣的秩為，則（）.（A）；（B）；（C）；（D）與的關(guān)系依而定.3．設(shè)均為階矩陣,為階單位陣，若，，則為（）.（A）；（B）；（C）；（D）.4．對任意實數(shù)線性無關(guān)的向量組是（）.（A）,,；（B）,,；（C）,,；（D）,,.5．已知矩陣與相似,則與之和等于（）.（A）2；（B）3；（C）4；（D）5.三、解答下列各題（每小題10分，總計50分）1．已知多項式空間的子空間求與的基與維數(shù).2．設(shè),判斷是否可逆，若可逆，求.3．對于線性方程組，討論取何值時方程組無解、有唯一解和無窮多解，在方程組有無窮多解時，求出其一般解.4．設(shè)向量組A:,；向量組B:,,討論向量組A和B是否等價.5．設(shè)矩陣,問是否與對角陣相似?若相似,求對角陣及可逆矩陣,使得.四、證明題（每小題