第2章 電力系統(tǒng)計(jì)算基礎(chǔ)知識(shí)

《現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析》第2章電力系統(tǒng)計(jì)算基礎(chǔ)知識(shí)本章主要內(nèi)容圖論的基本知識(shí)

電力網(wǎng)絡(luò)方程線性方程組的解法

電力網(wǎng)絡(luò)求解的稀疏技術(shù)

大型電力網(wǎng)絡(luò)的分塊計(jì)算

常微分方程的數(shù)值解法2.1圖論的基本知識(shí)

圖論的術(shù)語和定義點(diǎn)和邊的集合，邊連于兩點(diǎn)圖孤點(diǎn)自環(huán)圖G

為線形圖、拓?fù)鋱D或稱線圖邊集點(diǎn)集

2.1圖論的基本知識(shí)

圖論的術(shù)語和定義路徑，…，

回路子圖若圖的點(diǎn)和邊是圖的子集

樹(1)包含全部節(jié)點(diǎn)；(2)不包含回路；(3)連通①②④③123456樹補(bǔ)樹樹支1，2，3連支4，5，6基本回路：只包含一條連支的回路圖G的基本回路數(shù)等于圖G的連支數(shù)2.1圖論的基本知識(shí)

圖論的術(shù)語和定義割集(1)移走這些支路后圖G分為兩個(gè)部分(2)少移走其中任一條支路圖G仍連通單樹支割集①②③④123456CS1CS2CS3基本割集：只包含一條樹支的割集2.1圖論的基本知識(shí)

圖論的術(shù)語和定義

對(duì)于N+1個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支路的圖，定義一個(gè)矩陣(行號(hào)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)號(hào)，列號(hào)對(duì)應(yīng)支路號(hào)),矩陣中第i行第j列元素定義為節(jié)點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)矩陣A2.1圖論的基本知識(shí)

以節(jié)點(diǎn)④為參考節(jié)點(diǎn)回路矩陣B2.1圖論的基本知識(shí)

關(guān)于邊和回路的連接信息割集矩陣Q2.1圖論的基本知識(shí)關(guān)于邊和割集的連接信息關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣之間的關(guān)系2.1圖論的基本知識(shí)對(duì)上圖的節(jié)點(diǎn)，列KCL方程并寫成矩陣形式為此方程組的系數(shù)矩陣就是該圖的關(guān)聯(lián)矩陣A推廣到一般情況：將b個(gè)支路電流寫成支路電流向量，則基爾霍夫電流定律的關(guān)聯(lián)矩陣形式為

KCL的關(guān)聯(lián)矩陣形式2.1圖論的基本知識(shí)KVL的關(guān)聯(lián)矩陣形式此方程的系數(shù)矩陣等于圖的關(guān)聯(lián)矩陣的轉(zhuǎn)置選上圖為例，用節(jié)點(diǎn)電壓之差表示支路電壓，并寫成矩陣形式：推廣到一般情況：設(shè)網(wǎng)絡(luò)有b條支路，n個(gè)節(jié)點(diǎn)，第n號(hào)節(jié)點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn)支路電壓和節(jié)點(diǎn)電壓向量分別記作：

則節(jié)點(diǎn)電壓與支路電壓的關(guān)系即KVL：T21][buuuL=VbT1,21][-=nnnnuuuLnVVbVA=nTQfQfIb=0Ub

=Qf

TUtUl=-BtUtABfAIb=0Ib=BfTIlKCLKVLUb=ATUnBfUb=02.1圖論的基本知識(shí)

矩陣形式的KCL和KVL2.2電力網(wǎng)絡(luò)方程電力網(wǎng)絡(luò)的概念電力網(wǎng)絡(luò)是指將輸電配電線路、變壓器等電氣元件按一定形式連接而成的一個(gè)整體，達(dá)到輸送和分配電能的目的。兩個(gè)要素：電氣元件及其連接方式。元件特性約束——?dú)W姆定律網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束——基爾霍夫定律基爾霍夫電流定律（KCL）基爾霍夫電壓定律（KVL）2.2電力網(wǎng)絡(luò)方程電力網(wǎng)絡(luò)的描述方法基于基爾霍夫電流定律：節(jié)點(diǎn)電壓方程基于基爾霍夫電壓定律：回路電流方程用節(jié)點(diǎn)電壓方程描述電力網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)例子上式為電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)方程。在求出節(jié)點(diǎn)電壓后，就可以求出各支路電流，從而使網(wǎng)絡(luò)變量得以求解。節(jié)點(diǎn)方程反映了各節(jié)點(diǎn)電壓與注入電流間的關(guān)系。在此例中，除節(jié)點(diǎn)4、5外，其余節(jié)點(diǎn)注入電流均為0。一般情況下，如果電力網(wǎng)絡(luò)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，則有節(jié)點(diǎn)方程：式中：Y是導(dǎo)納矩陣，對(duì)角元是節(jié)點(diǎn)i的自導(dǎo)納，非對(duì)角元是節(jié)點(diǎn)間的互導(dǎo)納。分別是節(jié)點(diǎn)注入電流列向量及節(jié)點(diǎn)電壓列向量第k條廣義支路的方程可以表示成(k=1,…b)b條支路的支路方程矩陣形式是(省略了復(fù)變量s)：簡寫為+-)(sUsk)(sIsk)(sIk)(sZk+-)(sUk)(),(sIsUkk)a()b()()()()()()()]()()[()(sUsIsZsIsZsUsIsIsZsUSkSkkkkSkSkkkk+-=+-=úúúú?ùêêêê?é+úúúú?ùêêêê?éúúúú?ùêêêê?é-úúúú?ùêêêê?éúúúú?ùêêêê?é=úúúú?ùêêêê?éSbSSSbSSbbbbUUUIIIZZZIIIZZZUUUMMLMOMMLLMLMOMMLLM212121212121000000000000SSVZbIZbIbVb+-=如何表示支路特性約束——?dú)W姆定律19其中Vb：支路電壓向量

Ib

：支路電流向量：支路電壓源向量：支路阻抗矩陣：支路電流源向量：支路導(dǎo)納矩陣若矩陣Zb存在逆矩陣，令并乘在兩端，得bSSIYbVYbVbIb+-=20令(稱節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣)節(jié)點(diǎn)電壓方程簡化為AIb＝0移項(xiàng)后得節(jié)點(diǎn)電壓方程VbVA=nT0=+-SSnTAIAYbVVAYbASSnAIAYbVVAYbA-=TSSSnAIAYbVI-=TAYbAY=nSnnnIVY=矩陣A反映了網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浼s束，Yb反映了網(wǎng)絡(luò)的支路特性約束，所以節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣集中了網(wǎng)絡(luò)兩種約束的全部信息。邊界條件如何表示整個(gè)網(wǎng)絡(luò)——節(jié)點(diǎn)電壓方程SSIYbVYbVbIb+-=SIs)=0YbVA(YbVbAIb+-=2023/9/28高等電力網(wǎng)絡(luò)分析21

關(guān)聯(lián)矢量的引入一般串聯(lián)支路22廣義關(guān)聯(lián)矢量和變壓器/移相器支路的數(shù)學(xué)描述變壓器/移相器支路的節(jié)點(diǎn)方程：2.2電力網(wǎng)絡(luò)方程：節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣反映了電力網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)及接線情況由導(dǎo)納矩陣所構(gòu)成的節(jié)點(diǎn)方程式是電力網(wǎng)絡(luò)廣泛應(yīng)用的一種數(shù)學(xué)模型。節(jié)點(diǎn)方程式節(jié)點(diǎn)自導(dǎo)納Yii

＝節(jié)點(diǎn)i加單位電壓，其它節(jié)點(diǎn)接地時(shí)，節(jié)點(diǎn)i向電網(wǎng)注入的電流。節(jié)點(diǎn)互導(dǎo)納Yji＝節(jié)點(diǎn)i加單位電壓，其它節(jié)點(diǎn)接地時(shí)，節(jié)點(diǎn)j向電網(wǎng)注入的電流。節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣特點(diǎn)：當(dāng)不含移相器時(shí)，導(dǎo)納陣為對(duì)稱矩陣導(dǎo)納矩陣為稀疏矩陣出線數(shù)2－4條，每行非對(duì)角元中僅有2－4個(gè)非零元例如，節(jié)點(diǎn)數(shù)分別10、1000的兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)，平均出線為3前者非零元40個(gè)，占總數(shù)40％。后者非零元4000個(gè)，占總數(shù)0.4％。計(jì)算時(shí)充分利用對(duì)稱及稀疏性2.2電力網(wǎng)絡(luò)方程：節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Y——以地為參考點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣A——Nxb階節(jié)點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)矩陣Ml——A的第l個(gè)列矢量按支路掃描，累加每條支路對(duì)導(dǎo)納矩陣的貢獻(xiàn)，最后就得到Y(jié)矩陣。

節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的形成2.2電力網(wǎng)絡(luò)方程：節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣=ipjq對(duì)互感支路，應(yīng)將互感支路組成一組，共同考慮它們對(duì)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的貢獻(xiàn)。1、支路的移去和添加2、節(jié)點(diǎn)合并pqP’導(dǎo)納矩陣中相應(yīng)的行列相加，網(wǎng)絡(luò)方程降低一階

節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的修改3、節(jié)點(diǎn)消去消去節(jié)點(diǎn)p，只需對(duì)Y陣中和p有支路相連的節(jié)點(diǎn)之間的元素進(jìn)行修正，其他節(jié)點(diǎn)之間的元素不需要修正?；蛘邔懗?、節(jié)點(diǎn)電壓給定的情況展開得：5、變壓器變比發(fā)生變化的情況（略）6、一條支路導(dǎo)納參數(shù)發(fā)生變化的情況（略）7、移去和添加帶互感支路的情況添加一條和原網(wǎng)絡(luò)中支路k有互感的連支支路l時(shí)，可分兩步進(jìn)行修正：1）將支路k移出；2）將支路l和k成組追加進(jìn)去。2.3線性方程組的解法常用方法有高斯消去法和因子表法1、高斯消去法設(shè)有n階線性方程組a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2...(1)an1x1+an2x2+…+annxn=bn或縮記為：

AX=B

(2)按列消元按行回代的算法增廣A陣AB求解的具體步驟如下：第一步：按列消去。消去第1列第1行規(guī)格化：

得：消去第1列下三角元素：則變成A1B1第k行規(guī)格化：

消去第k列下三角元素：則變成一般地，消去第k列：最后可得：AnBn寫成方程組形式：它與原方程同解第二步：按行回代第n行

將結(jié)果代入第n-1行，得一般地，將代入第i個(gè)方程，得設(shè)有n階線性方程組a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2...(1)an1x1+an2x2+…+annxn=bn或縮記為：AX=B

(2)在實(shí)際計(jì)算中，經(jīng)常遇到這種情況：對(duì)于方程組需要多次求解，每次僅改變其常數(shù)項(xiàng)B，而系數(shù)矩陣A是不變的。這時(shí)，為了提高計(jì)算速度，可以利用因子表求解。2.3線性方程組的解法2、因子表法因子表法的基本概念因子表可以理解為高斯消去法解線性方程組的過程中對(duì)常數(shù)項(xiàng)B全部運(yùn)算的一種記錄表格。高斯消去法分為消去過程和回代過程。回代過程的運(yùn)算由對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行消去運(yùn)算后得到的上三角矩陣元素確定，公式：為了對(duì)常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行消去運(yùn)算（又叫前代過程），還必須記錄消去過程運(yùn)算所需要的運(yùn)算因子。第k行規(guī)格化：

消去第k列下三角元素：則變成消去過程中的運(yùn)算又分為規(guī)格化運(yùn)算和消去運(yùn)算，以按列消去過程為例，消去第k列第n+1列：規(guī)格化：（i=1,2,…,n）將上式中的運(yùn)算因子及

逐行放在下三角部分，和消去過程得到的上三角矩陣元素合在一起，就得到了因子表。消去：(k=1,2,…,i-1)

（i<j）(j<i)因子表中下三角部分的元素就是系數(shù)矩陣在消去過程中曾用以進(jìn)行運(yùn)算的元素，因此只要把它們保留在原來的位置，并把對(duì)角元素取倒數(shù)就可以得到因子表的下三角部分。而因子表中上三角部分的元素就是系數(shù)矩陣在消去過程完成后的結(jié)果。下三角上三角陣對(duì)角陣記即則因子分解迭代格式：用因子表法求解線性方程組對(duì)于方程組，需要多次求解，每次僅改變其常數(shù)項(xiàng)B而系數(shù)矩陣A是不變的情況，應(yīng)首先對(duì)其系數(shù)矩陣A進(jìn)行消去運(yùn)算，形成因子表。有了因子表，就可以對(duì)不同的常數(shù)項(xiàng)B求解。這時(shí)，可以直接應(yīng)用因子表中的元素。消去:

（i=k+1,…,n）回代:1、由于電力網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)僅與3~5個(gè)節(jié)點(diǎn)相連，因此描述網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的矩陣是稀疏矩陣。

n*m的矩陣，非零元τ個(gè)，稀疏度等于τ/(n*m)

如果系統(tǒng)有N=500個(gè)節(jié)點(diǎn)，平均每個(gè)節(jié)點(diǎn)與5條支路相連，則稀疏度=6*500/（500*500）=1.2%2、計(jì)算中，我們僅關(guān)心一部分的變量：稀疏矢量。3、與稀疏矩陣和稀疏矢量相關(guān)的運(yùn)算中，零元素不參與存儲(chǔ)和計(jì)算——排零存儲(chǔ)和排零計(jì)算2.4電力網(wǎng)絡(luò)求解的稀疏技術(shù)特點(diǎn)：排零存儲(chǔ)，即只存儲(chǔ)其中的非零元和有關(guān)的檢索信息。要求：節(jié)省內(nèi)存方便地檢索和存取考慮網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變化時(shí)能方便地對(duì)存儲(chǔ)的信息加以修改稀疏矢量：存儲(chǔ)矢量中的非零元值和相應(yīng)的下標(biāo)稀疏矩陣：考慮稀疏結(jié)構(gòu)和所采用的算法2.4電力網(wǎng)絡(luò)求解的稀疏技術(shù)：稀疏存儲(chǔ)VAa11a12a14a21a22a23a33a42a43a44IA1112223444JA1241233234散居格式a1313

常用存儲(chǔ)方式散居格式按行（列）存儲(chǔ)格式三角檢索存儲(chǔ)格式鏈表存儲(chǔ)格式例：VAa11a12a14a21a22a23a33a42a43a44JA1241233234IA1478按行存儲(chǔ)格式VAa11a12a13a14a21a22a23a33a42a43a44JA12341233234IA1589修改后三角檢索存儲(chǔ)格式Ua12a14a23JU243IU1344La21a42a43IL244JL1234Da11a22a33a44Ua12a13a14a23JU2343IU1455La21a42a43IL244JL1234Da11a22a33a44修改后鏈表存儲(chǔ)格式（按行存儲(chǔ)）VAa11a12a14a21a22a23a33a42a43a44JA1241233234LINK23056009100IA1478VAa11a12a14a21a22a23a33a42a43a44a13JA12412332343LINK2110560091003IA1478修改后存儲(chǔ)單元檢索修改散居格式3τ工作量大易按行存儲(chǔ)格式2τ+n按行檢索難三角檢索存儲(chǔ)格式2τ+n按行（列）檢索難鏈表格式3τ+n按行檢索易1、稀疏矩陣的因子分解采用高斯消去法進(jìn)行計(jì)算1）按行規(guī)格化2）消去運(yùn)算2.4電力網(wǎng)絡(luò)求解的稀疏技術(shù)：排零計(jì)算非稀疏存儲(chǔ)格式采用三角檢索存儲(chǔ)格式時(shí)例U7-3JU24IU1333L5-2IL24JL1233D2456U3.5-1.57.5JU244IU1344L5-2IL24JL1233D2-13.556U3.5-1.5-0.555JU244IU1344L5-2IL24JL1233D2-13.554.889U3.5-1.5-0.555JU244IU1344L5-2IL24JL1233D2-13.554.8893=p2、利用稀疏矩陣因子表求解稀疏線性代數(shù)方程組1）前代過程計(jì)算流程除法運(yùn)算回代運(yùn)算計(jì)算流程采用三角檢索存儲(chǔ)格式時(shí)采用按列存儲(chǔ)格式Uu12u24u34u15u25u45IU123124JU122471、注入元素的多少與消去節(jié)點(diǎn)的順序或節(jié)點(diǎn)編號(hào)有關(guān)2.5電力網(wǎng)絡(luò)求解的稀疏技術(shù)：節(jié)點(diǎn)優(yōu)化編號(hào)所謂節(jié)點(diǎn)優(yōu)化編號(hào)，就是尋找一種使注入元素?cái)?shù)目最少的節(jié)點(diǎn)編號(hào)方式。2、三類節(jié)點(diǎn)編號(hào)優(yōu)化方法靜態(tài)按最少出線支路數(shù)編號(hào)——靜態(tài)優(yōu)化法（Tinney-1編號(hào)方法）編號(hào)之前，首先統(tǒng)計(jì)電力網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)的出線支路數(shù)，然后按出線支路數(shù)少的節(jié)點(diǎn)順序編號(hào)，當(dāng)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的出線支路數(shù)相同時(shí)，則可以按任意次序?qū)@n個(gè)節(jié)點(diǎn)編號(hào)。依據(jù)：在導(dǎo)納矩陣中，出線支路數(shù)最少的節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的行中非零元素也最少，因此在消去過程中產(chǎn)生注入元素的可能性也最小。缺點(diǎn)：未考慮節(jié)點(diǎn)消去過程中，每消去一個(gè)節(jié)點(diǎn)，與該節(jié)點(diǎn)相連的各節(jié)點(diǎn)的出線支路數(shù)將發(fā)生變化。

動(dòng)態(tài)地按最少出線支路數(shù)編號(hào)——半動(dòng)態(tài)優(yōu)化法（Tinney-2編號(hào)方法）針對(duì)靜態(tài)優(yōu)化法的缺點(diǎn)，在每消去一個(gè)節(jié)點(diǎn)后，立即修正尚未編號(hào)節(jié)點(diǎn)的出線支路數(shù)，然后選其中出線支路數(shù)最少的一個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)。缺點(diǎn)：只能使消去過程中出現(xiàn)新支路的可能性減少，但并不一定保證在消去這些節(jié)點(diǎn)時(shí)出現(xiàn)的新支路最少。

動(dòng)態(tài)按增加出線數(shù)最少編號(hào)——?jiǎng)討B(tài)優(yōu)化法（Tinney-3編號(hào)方法）針對(duì)上述缺點(diǎn)，采用按消去節(jié)點(diǎn)后增加出線數(shù)最少的原則編號(hào)。具體做法：首先，根據(jù)星網(wǎng)變換原理，按下式分別統(tǒng)計(jì)消去網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)時(shí)增加的出線數(shù)，選其中增加出線數(shù)最少的被消節(jié)點(diǎn)編為第1節(jié)點(diǎn)。如果與節(jié)點(diǎn)k相連的節(jié)點(diǎn)數(shù)為，則網(wǎng)形網(wǎng)絡(luò)的支路數(shù)為，原有支路數(shù)為，則新增支路數(shù)從網(wǎng)絡(luò)消去該節(jié)點(diǎn)，相應(yīng)修改其余節(jié)點(diǎn)的出線數(shù)目。然后重復(fù)以上過程，一直到編完為止。缺點(diǎn)：工作量大。例：

靜態(tài)優(yōu)化法統(tǒng)計(jì)各節(jié)點(diǎn)出線支路數(shù)節(jié)點(diǎn)ABCDEFGH出線數(shù)11322231F點(diǎn)總是編在C和G之前，故CG兩點(diǎn)之間出現(xiàn)新支路難以避免。

半動(dòng)態(tài)優(yōu)化法節(jié)點(diǎn)ABCDEFGH被編節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)號(hào)各節(jié)點(diǎn)出線數(shù)的變化情況(1)111(1)3332222(1)22(1)2(1)222222(1)33332(1)1111(1)AEDBHGFC12345678沒有出現(xiàn)新支路。結(jié)論：對(duì)于樹形網(wǎng)絡(luò)來說，半動(dòng)態(tài)優(yōu)化法永遠(yuǎn)只編出線為1的節(jié)點(diǎn)，因此這種任意性不會(huì)影響優(yōu)化結(jié)果。

動(dòng)態(tài)優(yōu)化法被消節(jié)點(diǎn)ABCDEFGH出現(xiàn)新出線數(shù)00311130A:1被消節(jié)點(diǎn)BCDEFGH出現(xiàn)新出線數(shù)0310130重復(fù)。工作量比半動(dòng)態(tài)優(yōu)化法大得多，但對(duì)于樹形網(wǎng)絡(luò)，效果和半動(dòng)態(tài)優(yōu)化一樣。E:2推廣：網(wǎng)絡(luò)類型靜態(tài)半動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)樹形可能出現(xiàn)新支路無新支路無新支路簡單環(huán)網(wǎng)（m邊形）m-3新支路復(fù)雜環(huán)網(wǎng)無明確的一般性結(jié)論在對(duì)大規(guī)模互聯(lián)電力系統(tǒng)進(jìn)行統(tǒng)一分析時(shí)，分塊計(jì)算是一種提高計(jì)算速度的有效處理手段。電力系統(tǒng)本身所具有的分層分區(qū)結(jié)構(gòu)也特別適合分塊計(jì)算的應(yīng)用。根據(jù)協(xié)調(diào)變量的不同，網(wǎng)絡(luò)分塊計(jì)算主要分為兩類：支路切割法：通過切割原網(wǎng)絡(luò)中的某些支路把原網(wǎng)絡(luò)分解；節(jié)點(diǎn)撕裂法：將原網(wǎng)絡(luò)的部分節(jié)點(diǎn)撕裂開，將網(wǎng)絡(luò)分解2.6大型電力網(wǎng)絡(luò)的分塊計(jì)算1、節(jié)點(diǎn)分裂法在該網(wǎng)絡(luò)中選擇部分節(jié)點(diǎn)，把這些節(jié)點(diǎn)撕裂，則把原網(wǎng)絡(luò)可以分解成幾個(gè)小的獨(dú)立子網(wǎng)絡(luò)，這些節(jié)點(diǎn)稱為分裂點(diǎn)，用下標(biāo)t表示。2.6大型電力網(wǎng)絡(luò)的分塊計(jì)算