集合的基本運(yùn)算

集合的基本運(yùn)算一、交集1、文字語言：對于兩個給定的集合A，B，由屬于A又屬于B的所有元素構(gòu)成的集合，叫做A，B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”2、符號語言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}3、圖形語言：陰影部分為A∩B4、交集常用的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)定義滿足交換律空集與任何集合的交集都是空集集合與集合本身的交集仍為集合本身多個集合的交集滿足結(jié)合律若，則交集關(guān)系與子集關(guān)系的轉(zhuǎn)化兩個集合的交集是其中任一集合的子集5、解題思路：單個數(shù)字交集找相同，不等式的交集畫數(shù)軸，不同集合高度畫不同。二、并集1、文字語言：對于兩個給定的集合A，B，由兩個集合的所有的元素組成的集合，叫做A與B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”2、符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}3、符號語言：陰影部分為A∪B4、并集的常用運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)定義滿足交換律任何集合與其本身的并集等于這個集合本身任何集合與空集的并集等于這個集合本身多個集合的并集滿足結(jié)合律,任何集合都是該集合與另一個集合并集的子集任何集合與它子集的并集都是它本身，反之亦然5、解題思路：兩個集合所有元素集中在一起，但重復(fù)元素只寫一次，要滿足集合中的互異性三、補(bǔ)集1、全集：在研究集合與集合之間的關(guān)系時，如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個給定的集合為全集．記法：全集通常記作U.2、補(bǔ)集（1）文字語言：如果給定集合A是全集U的一個子集，由U中不屬于A的所有元素構(gòu)成的集合，叫做A在U中的補(bǔ)集，記作.（2）符號語言：（3）符號語言：（4）補(bǔ)集的常用運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)定義任何集合與其補(bǔ)集的并集為全集任何集合與其補(bǔ)集的交集為空集任何集合補(bǔ)集的補(bǔ)集為集合本身全集的補(bǔ)集為空集，空集的補(bǔ)集為全集【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看題目的。四、德摩根律與容斥原理1、德摩根定律：設(shè)集合U為全集，A、B為U的子集，則有（1）（2）2、容斥原理：在部分有限集中，我們經(jīng)常遇到有關(guān)集合中元素的個數(shù)問題，常用Venn圖表示兩集合的交、并、補(bǔ)。如果用card表示有限集合元素的個數(shù)，即card（A）表示有限集A的元素個數(shù)，則有如下結(jié)論：（1）（2）五、交集、并集、補(bǔ)集的基本運(yùn)算方法1、進(jìn)行集合運(yùn)算時，可按照如下口訣進(jìn)行：交集元素仔細(xì)找，屬于且屬于；并集元素勿遺漏，切忌重復(fù)僅取一；全集是大范圍，去掉中元素，剩余元素成補(bǔ)集。2、解決集合的混合運(yùn)算問題時，一般先算括號內(nèi)的部分；3、當(dāng)集合是用列舉法表示時（如數(shù)集），可以通過列舉集合的元素分別得到所求的集合；當(dāng)集合用描述法表示時（如不等式行事表示的集合），則可運(yùn)用數(shù)軸求解。六、利用交并補(bǔ)求參數(shù)范圍的解題思路1、根據(jù)并集求參數(shù)范圍：，若A有參數(shù)，則需要討論A是否為空集；若B有參數(shù)，則2、根據(jù)交集求參數(shù)范圍：若A有參數(shù)，則需要討論A是否為空集；若B有參數(shù)，則七、運(yùn)用補(bǔ)集思想解題的步驟當(dāng)從正面考慮情況較多、問題較復(fù)雜時，往往考慮運(yùn)用補(bǔ)集思想，其解題步驟為：第一步：否定已知條件，考慮反面問題；第二步：求解反面問題對應(yīng)的參數(shù)范圍；第三步：取反面問題對應(yīng)的參數(shù)范圍的補(bǔ)集。題型一交集的概念與運(yùn)算【例1】（2022秋·湖北黃岡·高一校考期中）已知集合，集合，則A∩B是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為集合，集合，則A∩B.故選：B.【變式11】（2023秋·江蘇南通·高一校考開學(xué)考試）已知集合，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，所以；由已知，所以；又，所以.故選：C.【變式12】（2023春·江西宜春·高一上高中學(xué)?？计谥校┤艏?，或，則集合等于（）A．或B．C．D．【答案】C【解析】，或，則.故選：C.【變式13】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合則=________．【答案】【解析】由題意可得，解方程可得，故．故答案為：題型二根據(jù)交集運(yùn)算求參數(shù)【例2】（2023·全國·高一課堂例題）已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，，．∴．故選：A.【變式21】（2022秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）若，則實數(shù)等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，且，則，解得，此時，，合乎題意.故選：B.【變式22】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知m是實數(shù)，集合，，若，則m=.【答案】1【解析】因為集合，，，所以，對比即得，因此解得.故答案為：1.【變式23】（2023春·安徽·高一安徽省潁上第一中學(xué)校聯(lián)考）已知集合，，若，則實數(shù)a取值集合為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，知，因為，，若，則方程無解，所以；若，，則，因為，所以，則；故實數(shù)取值集合為.故選：D.題型三并集的概念與運(yùn)算【例3】（2022秋·甘肅武威·高一?？计谥校┤艏?，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以，故選：A【變式31】（2023春·廣東汕頭·高一金山中學(xué)?？计谥校┮阎?，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，因為，所以，故選：B【變式32】（2022秋·廣東梅州·高一?？计谥校┰O(shè)集合，，則等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故選：C【變式33】（2023秋·高一課時練習(xí)）若集合，或，則集合等于（）A．或B．C．D．【答案】A【解析】利用數(shù)軸如圖所示，則或．故選：A.題型四根據(jù)并集運(yùn)算求參數(shù)【例4】（2022秋·山東東營·高一利津縣高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）集合，若，的值組成的集合為【答案】【解析】若，則，即，由，則有或，若，解得或，當(dāng)時，與集合中元素的互異性矛盾，∴．若，解得.所以的值組成的集合為.故答案為：．【變式41】（2022秋·陜西·高一渭南市瑞泉中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．（2022秋·陜西·高一渭南市瑞泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，所以，因為，，所以，解得，所以，實數(shù)的取值范圍是，故選：D【變式42】（2023·全國·高一課堂例題）設(shè)集合，其中t為實數(shù)．令，．若C的所有元素之和為6，則C的所有元素之積為（）A．1B．C．8D．【答案】D【解析】由條件知，1，2，4，，（允許有重復(fù)）為C的全部元素．因為（恒成立），，所以與其余幾個數(shù)重復(fù)，故只可能是，且，于是（經(jīng)檢驗符合題意），此時C的所有元素之積為．故選：D.【變式43】（2022秋·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，，或.（1）若，求的取值范圍．（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以.當(dāng)時，滿足，此時解得；當(dāng)時，要使，則解得.綜上，的取值范圍為.（2）因為，所以解得.題型五補(bǔ)集的概念與運(yùn)算【例5】（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┰O(shè)全集，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，，所以，故選：C.【變式51】（2022秋·浙江紹興·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，又，∴．故選：C．【變式52】（2023秋·重慶北碚·高一統(tǒng)考期末）已知全集，，則（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】因為全集，，所以或.故選：B【變式53】（2023秋·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）已知集合則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為,所以，故選:A.題型六根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算求參數(shù)【例6】（2023秋·江蘇南通·高一?？奸_學(xué)考試）設(shè)全集，集合，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意集合，，又因為，且全集，所以，解得，但當(dāng)時，集合違背了元素之間的互異性，而當(dāng)時，集合，，滿足題意,綜上所述：.故選：A.【變式61】（2022秋·湖北十堰·高一?？计谥校ǘ噙x）若全集，集合滿足，則的值可能為（）A．B．C．D．0【答案】AB【解析】因為，所以根據(jù)元素互異性可知，所以，顯然，則或.故選：AB【變式62】（2022秋·全國·高一專題練習(xí)）已知全集，集合，，則實數(shù)的值為．【答案】【解析】由集合，可得，解得，又由且，可得，解得，經(jīng)驗證滿足條件，所以實數(shù)的值為.【變式63】（2023秋·高一課時練習(xí)）設(shè)集合，，，若，則，．【答案】1【解析】因為，則，注意到，可得，解得.故答案為：1；.題型七交并補(bǔ)綜合運(yùn)算【例7】（2023春·湖南株洲·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，而，所以.故選：A【變式71】（2022秋·河北保定·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若全集，集合，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意得，所以.故選：B.【變式72】（2023春·安徽阜陽·高一安徽省臨泉第一中學(xué)?？迹┤羧?，，，則集合等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為全集，，，因為，，，，，，則集合，故A、B、C錯誤，D正確.故選：D．【變式73】（2022秋·湖南張家界·高一民族中學(xué)?？迹┮阎希颍?）若全集，求、；（2）若全集，求；【答案】（1）或；或；（2）【解析】（1）由題意可得，或且或，則或（2）根據(jù)題意，且，則可得則題型八根據(jù)交并補(bǔ)運(yùn)算求參數(shù)【例8】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，，且，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由集合，，可得，因為，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【變式81】（2022秋·浙江金華·高一?？迹┯洸坏仁降慕饧癁锳，集合或．（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1），，即，當(dāng)時，，又集合或；（2）由已知，，，.【變式82】（2023秋·江西新余·高一新余第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知集合或，．（1）若，求的取值范圍；（2）若，且，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意知：；，；①當(dāng)，即時，滿足，此時；②當(dāng)時，若，則，解得：；綜上所述：的取值范圍為.（2），，，即，解得：，，；①當(dāng)，即時，，，解得：；②當(dāng)，即時，，，解得：；③當(dāng)，即時，，不合題意；綜上所述：的取值范圍為.【變式83】（2023春·四川眉山·高一?？奸_學(xué)考試）已知集合，.（1）若，，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，且，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵集合，，∴，若，則，若，故解得，綜上：，即實數(shù)m的取值范圍是.（2），由題意得，∴，∴實數(shù)m的取值范圍是．題型九韋恩圖在集合運(yùn)算中的應(yīng)用【例9】（2023春·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)全集，則圖中陰影部分對應(yīng)的集合是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圖中陰影部分表示，，則或，因為，所以，故選：D．【變式91】（2022秋·四川攀枝花·高一攀枝花第三高級中學(xué)月考）（多選）如圖中陰影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】A選項：，則，故A正確；B選項：，則，故B錯誤；C選項：，則，故C錯誤；D選項：，，故D正確.故選：AD.【變式92】（2023秋·河南南陽·高一?？迹┤鐖D所示，用集合A、B及它們的交集、并集、補(bǔ)集表示陰影部分所表示的集合，正確的表達(dá)式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】陰影部分由兩部分構(gòu)成，左邊部分在內(nèi)且在外，轉(zhuǎn)換為集合語言為，右邊部分在內(nèi)且在外，轉(zhuǎn)換為集合語言為，故陰影部分表示的集合為，C正確；其他選項，經(jīng)過驗證均不合要求.故選：C【變式93】（2022秋·湖北·高一華中師大一附中校考期末）如圖，是全集，，，是的子集，則陰影部分表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，陰影部分為集合的外部與集合集合交集內(nèi)部的公共部分，即.故選：C.題型十集合運(yùn)算中的元素個數(shù)問題【例10】（2023秋·重慶南岸·高一第十一中學(xué)校?？计谀┠嘲嘤?0名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外研究小組，每名同學(xué)至多參加兩個小組．已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為，，，同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有人，同時參加物理和化學(xué)小組的有人，則同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的人數(shù)為_______．【答案】4【解析】設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的同學(xué)組成的集合分別為，、，同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的人數(shù)為，因為每名同學(xué)至多參加兩個小組，所以同時參加三個小組的同學(xué)的人數(shù)為，如圖所示：由圖可知：，解得，所以同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組有人.故答案為：4【變式101】（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┪覀?/p>