2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-數(shù)式規(guī)律(解析版)

類型一數(shù)式規(guī)律1．探究數(shù)字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天體，它的體積小，密度大，吸引力強，任何物體到它那里都別想再“爬出來”，無獨有偶，數(shù)字中也有類似的“黑洞”，滿足某種條件的所有數(shù)，通過一種運算，都能被它“吸”進去，無一能逃脫它的魔掌．譬如：任意找一個3的倍數(shù)的數(shù)，先把這個數(shù)的每個數(shù)位上的數(shù)字都立方，再相加，得到一個新的數(shù)，然后把這個新數(shù)每個數(shù)位上的數(shù)字再立方，求和…，重復(fù)運算下去，就能得到一個固定的數(shù)T=，我們稱它為數(shù)字“黑洞”，T為何具有如此魔力通過認(rèn)真的觀察、分析，你一定能發(fā)現(xiàn)它的奧秘！此短文中的丁是（）A．363B．153C．159D．456【答案】B;【解析】把6代入計算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；開始重復(fù)，則T=153.故選B.【點評】此題只需根據(jù)題意，任意找一個符合條件的數(shù)進行計算，直至計算得到重復(fù)的數(shù)值，即是所求的黑洞數(shù).可以任意找一個3的倍數(shù)，如6.第一次立方后得到216；第二次得到225；…；第十次得到153；開始重復(fù)，則可知T=153.12 342.（1）有一列數(shù)—-,-,- ,—，…，那么依此規(guī)律，第7個數(shù)是；251017（2）已知1 12 1 13 1 14 1a- 1—=一,a- 1—=一,a- 1—=—,a一-；二二11X2X3 23 2 2X3義4 38 3 3義4義5 415 4 4義5*615+————,…,524依據(jù)上述規(guī)律，則a-997【答案】（1）—50（2）1009999【解析】（1）符號：單數(shù)為負(fù)，雙數(shù)為正，所以第7個為負(fù).分子規(guī)律：第幾個數(shù)就是幾，即第7個數(shù)分子就是7，分母規(guī)律：分子的平方加1，第7個數(shù)分母就是50.所以第77個數(shù)是一501 1 100（2）a- + - .9999X100X1011009999【點評】(1)規(guī)律：(－1)(2)規(guī)律：nn? n2+11(n為正整數(shù)); 1

n(n+1)(n+2)n+1n+1(n為正整數(shù)).n(n+2)13．(1)先找規(guī)律，再填數(shù)：11 1111—+——1=—，—+——12 23421111 1111 1 ,—+———= ,—+———= ,

1256330784561則需+上2011x2012Iab(a>b,a豐0)(2)對實數(shù)a、b,定義運算★如下：a*b=<Ia-b(a<b,a豐0)1例如2^3=2-3=-.計算[2*(-4)]X[(-4)^(-2)]=81【答案】⑴1006(2)1；【解析】(1)規(guī)律為：11一+ nn+1n+1 n(n+1)r(n為正整數(shù)).(2)[2^(-4)]X[(-4)^(-2)]=2-4X(-4)2=1.1114.a是不為1的有理數(shù)，我們把—1—a稱為a的差倒數(shù).如：2的差倒數(shù)是—=—1,—1．．．1-2113，的差倒數(shù)是1-(-1) 2-.已知a=-a2是a1的差倒數(shù),a3是a2的差倒數(shù)a是a的43差倒數(shù)，…，依此類推，則〃2009【答案】因為a=—111T-11

1-413,11-(一!=4,……..三個一循環(huán)，因此13，1，．a(chǎn)5a23—,a4 31口4.=4,a=一3—,a461.44一a2a200911—(—―)3345．在快速計算法中，法國的“小九九”從“一一得一”到“五五二十五”和我國的“小九九”是一樣的，后面的就改用手勢了.下面兩個圖框是用法國“小九九”計算8X9和6X7的兩個示例.SXO=?左手II右手;兩手伸出的手揩數(shù)的和為7,未伸出的手指數(shù)的積為2』Sx9=72.I座x9=lClx?+4)+2xl=72)，|右手！■「兩手伸出的手指數(shù)的和為一未伸出的手指數(shù)的積為二,Sx7=42.x7=iax(l+2)+4x3=(1)用法國“小九九”計算7X8,左、右手依次伸出手指的個數(shù)是多少?(2)設(shè)a、b都是大于5且小于10的整數(shù)，請你說明用題中給出的規(guī)則計算aXb的正確性?【答案】2,3【解析】(1)按照題中示例可知：要計算7X8,左手應(yīng)伸出7-5=2個手指，右手應(yīng)伸出8-5=3個手指；(2)按照題中示例可知：要計算aXb,左手應(yīng)伸出(a-5)個手指，未伸出的手指數(shù)為5-(a-5)=10-a；右手應(yīng)伸出(b-5)個手指，未伸出的手指數(shù)為5-(b-5)=10-b兩手伸出的手指數(shù)的和為(a-5)+(b-5)=a+b-10,未伸出的手指數(shù)的積為(10-a)X(10-b)=100-10a-10b+aXb根據(jù)題中的規(guī)則，aXb的結(jié)果為10X(a+b-10)+(100-10a-10b+aXb)而10X(a+b-10)+(100-10a-10b+aXb)=10a+10b-100+100-10a-10b+aXb=aXb所以用題中給出的規(guī)則計算aXb是正確的..將正偶數(shù)按下表排列：第1列第2列第3列第4列第1行 2第2行 4 6第3行 8 10 12第4行 14 16 18 20根據(jù)上面的規(guī)律，則2006所在行、列分別是【答案】第45行第13列【解析】觀察數(shù)列2,4,6,8,10,...每個比前一個增大2,2006是這列數(shù)字第1003個.每行數(shù)字的個數(shù)按照1,2,3,4,5,n遞增，根據(jù)等差數(shù)列求和公式，第n行（包括n行）以前的所有數(shù)字的個數(shù)一（n+l）n如果2006在第n行，那么'/21。。3（n+1）n設(shè)=1003，解得n約為44.5,n取整數(shù)，因此n=45。44到第44行（含44行）共有數(shù)字（44+1）乂-=990個；45到第45行（含45行）共有數(shù)字（45+1）乂-=1035個；2006是第1003個，在45行13列..在數(shù)學(xué)活動中，小明為了求1+1-+1-+1-+…+1-的值（結(jié)果用n表示），設(shè)22223 24 2n計如圖（1）所示的幾何圖形.（1）請你利用這個幾何圖形求三+—+—+—+---+—的值為 .222 2324 2n（2）請你利用圖（2）再設(shè)計一個能求1+1-+1-+1-+…+1-的值的幾何圖形.22223 24 2n(1) C2)【答案】.細心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題(l)+1=2,S二包

1 25)+1=3,S2=今(；3)+1=4,S=邑3 2(1)請用含有n(n是正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律;(2)推算出0Al0的長；(3)求出Sj+S22+S32+…+S/的值.【答案】(1)由題意可知，圖形滿足勾股定理，(1+1=n+1,S=①n2(2)因為0A1=1,0A2=、2,OA3=f3…，所以O(shè)A10=,:10(3)S12+S22+S32+…+S102八1、2八2、2不、2 /<10=(—)2+(—)2+(—)2+...+(——

2 2 2 2)2=4(1+2+3+…+10)55了9.根據(jù)以下10個乘積，回答問題：11義29； 12義28； 13義27； 14義26；16義24； 17X23； 18義22； 19義21；15義25；20X20.(1)試將以上各乘積分別寫成一個“口2-02”(兩數(shù)平方差)的形式，并寫出其中一個的思考過程；(2)將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；(3)試由(1)、(2)猜想一個一般性的結(jié)論.(不要求證明)【答案】(1)11X29=202-92；12X28=202-82；13X27=202-72；14X26=202-62；15X25=202-52；16X24=202-42；17X23=202-32；18X22=202-22；19X21=202-12；20X20=202-02；例如：11X29；假設(shè)HX29二口2-0；因為口?-?？?口+。)(口-。)所以，可以令口-OH,0+0=29解得，口:20,0=9,故nX29=2O9?(或11X29=(20-9)(20+9)=202-92)(2)這10個乘積按照從小到大的順序依次是：11X29<12X28<13X27<14X26<15X25<16X24<17X23<18X22<19X21<20X20.(3)①若a+b=40,a,b是自然數(shù),則ab<202=400.②若a+b=40,則ab<202=400.③若a+b=m,a,b是自然數(shù)，則?ab<(-f④若a+b=m,則2⑤若a]+b]=a2+b2=a3+b3=,-=a+b=40,且|a1-b11三|a2-b21三la.bj三…三|a-b|,則a1b1<a2b2<a3b3<-<anbn-⑥若ai+bi=a2+b2=a3+b3=".=an+bn=m，且1aJbj三1a2-3三1a3-b31三…三H-bj，則WWa2b2^a3b3<?Wa”10、有一組數(shù)：1,2,5,10,17,26,……，請觀察這組數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定第8個數(shù)為.【答案】：50【解析】仔細觀察這一數(shù)列中的各個數(shù)字的構(gòu)成特點，不難發(fā)現(xiàn)如下；第一個數(shù)是1,第二個數(shù)數(shù)1+1,第三個數(shù)是1+1+3,第四個數(shù)是1+1+3+5,第五個數(shù)是1+1+3+5+7,第六個數(shù)是1+1+3+5+7+9,為了使規(guī)律凸顯的明顯，我們不妨把第一個數(shù)1也寫成兩個數(shù)的和的形式，為1+0,這樣，就發(fā)現(xiàn)數(shù)字1是固定不變的，規(guī)律就蘊藏在新數(shù)列0,1,4,9,16中，而0,1,4,9,16 這些數(shù)都是完全平方數(shù)，并且底數(shù)恰好等于這個數(shù)字對應(yīng)的序號與1的差，即1=1+(1-1)2,2=1+(2-1)2,5=1+(3-1)2,10=1+(4-1)2,17=1+(5-1)%26=1+(5-1)3這樣，第n個數(shù)為1+(n-1) 找到數(shù)列變化的一般規(guī)律后，就很容易求得任何一個序號的數(shù)字了。因此，第八個數(shù)就是當(dāng)n=8時，代數(shù)式1+(n-1)2的值，此時，代數(shù)式1+(n-1)z的值為1+(8-1)2=50o所以，本空填50。H.古希臘數(shù)學(xué)家把1,3,6,10,15,21,……，叫做三角形數(shù)，根據(jù)它的規(guī)律,則第100個三角形數(shù)與第98個三角形數(shù)的差為.【答案】：199【解析工本題中數(shù)列的數(shù)字，不容易發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律。我們不妨利用函數(shù)的思想去試一試。當(dāng)序號為1時，對應(yīng)的值是1,有序號和對應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點設(shè)為A,則A(1,1)；當(dāng)序號為2時，對應(yīng)的值是3,有序號和對應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點設(shè)為B,則B(2,3)；當(dāng)序號為3時，對應(yīng)的值是6,有序號和對應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點設(shè)為C,則C(3,6)；3-1-6-3- 3-16-3—=2——=3 「W成立，所以，對應(yīng)的數(shù)值y是序—— —— —— —號n的二次函數(shù)，因此，我們不妨設(shè)y=an2+bn+c,把A(1，1)，B(2，3)，C(3，6)分別代入丫=2必+匕9+。中，得：a+b+c=1，4a+2b+c=3，9a+3b+c=6，解得：a=—，b=—，c=0，11所以，y=T-n2+yn，因此，當(dāng)n=100時，y=-X1002+2X100，11 11 11當(dāng)n=98時，y=2X982+2X98,因此(-X1002+2X100)-(2X982+2X98)=199，所以該空應(yīng)該填199。12、為慶祝“六U一"兒童節(jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”比賽.如圖所示:按照上面的規(guī)律，擺吊個“金魚”需用火柴棒的根數(shù)為( )A.2+3B.日+6- c.4+4"D,%【答案1A【解析工第一個圖需要火柴的根數(shù)是8,有序號和對應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點設(shè)為A,則A(l,8)；第二個圖需要火柴的根數(shù)是14,有序號和對應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點設(shè)為B,則B(2,14)；第三個圖需要火柴的根數(shù)是20,有序號和對應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點設(shè)為C,則C(3,20)；14—8,20—14,=6,―——=6,所以有:—— 3—214—820—14成立，所以，每個圖形2—1 3—2中所需要的火柴的總根數(shù)y是這個圖形的序號n的一次函數(shù)，因此，我們不妨設(shè)y=kn+b，把A(1，8)，B(2，14)分別代入丫二圓+匕中得：k+b=8，2k+b=14，解得：k=6，b=2,所以，y=6n+2。因此選A。13、下列圖案是由邊長為單位長度的小正方形按一定的規(guī)律拼接而成。依此規(guī)律，第5個圖案中小正方形的個數(shù)為【答案】50【解析】仔細觀察第一個圖，正方形的個數(shù)為1,第二個圖形中正方形的特點是中間是3個，左右兩邊各一個，即為1+3+1個，第三個圖形中正方形的特點是中間是5個，左右分別是1+3個，即為1+3+5+3+1,分析到這里，相信你一定想到了這里面的變化規(guī)律了吧。是的，第n個圖形中正方形的個數(shù)為1+3+5++(2n-1)+ +5+3+1=2n2-2n+1,這樣，第5個圖形中正方形的個數(shù)，也就是當(dāng)n=5時，代數(shù)式2n2-2n+1的值，所以，代數(shù)式的值為：2n2-2n+1=2X52-2X5+1=41個。所以，本空填50。14、按如下規(guī)律擺放三角形：△△△△△△△△⑵△△△△△則第(4)堆三角形的個數(shù)為；第(n)堆三角形的個數(shù)為.【答案】：14,3n+2【解析工仔細觀察第一個圖形，三角形排列的特點是中間3二(1+2)個,左右各1個,即圖1中三角

形的總數(shù)為1+(1+2)+1,第二個圖形中三角形形的特點是中間是4二(2+2)個，左右兩邊各2

個，即為2+(2+2)+2個，第三個圖形中三角形的特點是中間是5二(3+2)個，左右分別是3個,

即為3+(3+2)+3,分析到這里，相信你一定想到了這里面的變化規(guī)律了吧。是的，第n個圖

形中三角形的個數(shù)為n+(n+2)+n=3n+2,這樣，第4個圖形中三角形正方形的個數(shù)，也就

是當(dāng)"4時，代數(shù)式3n+2的值，所以，代數(shù)式的值為：3ri+2=3X4+2=14個。所以，本題的

兩個空分別填14和3n+2o15、下列圖中有大小不同的菱形，第1幅圖中有1個，第2幅圖中有3個，第3幅圖中

有5個，則第〃幅圖中共有個。O<<€><380…<30…O12 3 n【答案】2n+1【解析】仔細觀察第一個圖形，有一個菱形，第二個圖形中有3個菱形，第三個圖形中有5個菱

形，仔細觀察這些數(shù)的特點，恰好是奇數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，由此，就清楚了變化的規(guī)律了。

所以，第n個圖形中有2n+1個菱形。16、試觀察下列各式的規(guī)律，然后填空:(二一1)(元+1)=/-1(X-1)(/+X+1)=X3-1(二一1)(元*+1+元+1)=x4-1貝 +/+……+工+1)=o【答案】：Xll-1【解析工要想找到式子的變化規(guī)律，同學(xué)們應(yīng)該仔細觀察式子的特點，找出式子中，哪些量是在固定不變的，哪些量是在不斷變化。這對解題很關(guān)鍵。仔細觀察式子，不難發(fā)現(xiàn)等式左邊中的(X-1)是個固定不變的量。左邊式子中第二個括號中多項式的次數(shù)是不斷變化的，且多項式的次數(shù)等于對應(yīng)等式的序號數(shù)，即第一個等式中的多項式的次數(shù)是1,第二個等式中的多項式的次數(shù)為2,所以，第n個等式中的多項式的次數(shù)為n,這是等式左邊的變化規(guī)律；等式右邊的規(guī)律，容易找些，多項式中的常數(shù)項是保持不變的，字母x的指數(shù)隨等式的序號變化而變化，且滿足字母x的指數(shù)等于等式的序號加1。所以，第10個等式的結(jié)果為xii-1o17、觀察下列各式：153=lx(l+l)xlOO+53=225252=2x(2+l>100+52=625=3x(3+1>100+=1225……依此規(guī)律，第n個等式(n為正整數(shù))為?！敬鸢浮浚?10n+5)2=n(n+1)X100+52?！窘馕觥恳胝业绞阶拥淖兓?guī)律，同學(xué)們應(yīng)該仔細觀察式子的特點，找出式子中，哪些量是在固定不變的，哪些量是在不斷變化。這對解題很關(guān)鍵。等式左邊底數(shù)的特點是，個位數(shù)字都5,是個不變的量，十位數(shù)字與對應(yīng)的序號一致，分別是1、2、3、4 ；等式右邊的特點是：第一個數(shù)字與對應(yīng)的序號是一致的，括號里的數(shù)字的特點是對應(yīng)的序號與常數(shù)1的和；第三個數(shù)字又是一個固定的常數(shù)100；第四個數(shù)字是常數(shù)5的平方，也是固定不變的。通過分析，我們知道在這里對應(yīng)的序號是問題的根本。而第n個等式的序號為n,所以第n個等式應(yīng)該是：(10n+5)2=n(n+1)X100+52。18、觀察下列等式:第一行 3=4-1第二行 5=9-4第三行 7=16-9第四行 9=25-16… …按照上述規(guī)律，第n行的等式為【答案工2n+l=(n+1)2-rp。【解析工等式的左邊的特點是：奇數(shù)3、5、7、9…，這些奇數(shù)可以用對應(yīng)的序號表示，3=2X1+1,5=2X2+1,7=2X3+1,9=2X4+1,其中1、2、3、4等恰好是對應(yīng)的序號，所以，第n個奇數(shù)為2n+l,這樣，我們就把等式左邊的規(guī)律找出來了；等式右邊的特點是：被減數(shù)為4、9、16、25、…恰好是22,32,42,52,…等對應(yīng)的幕,幕的底數(shù)與對應(yīng)的序號的關(guān)系是：底數(shù)二對應(yīng)序號+1,這樣，我們就又找到了