4.3角提高知識講解

-.z.角（提高）【學(xué)習(xí)目標】1．掌握角的概念及角的幾種表示方法，并能進行角度的互換；2.借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法；3.掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會進行有關(guān)計算；4.掌握互為余角和互為補角的概念及性質(zhì)，會用余角、補角及性質(zhì)進行有關(guān)計算；5．了解方位角的概念，并會用方位角解決簡單的實際問題．【要點梳理】【要點梳理】【高清課堂：角397364角的概念：】知識點一、角的概念角的定義：（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的部．如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．要點詮釋：（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：要點詮釋：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母．3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角；（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角；（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角．知識點二、角的比較與運算1.角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要點詮釋：在進行有關(guān)度分秒的計算時，要按級進行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進行運算，在相乘或相加時，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時要向高一位進位．2.角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3.角的和、差關(guān)系如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．要點詮釋：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4.角平分線從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．要點詮釋：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣．知識點三、余角和補角1.定義：一般地，如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角．類似地，如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角．2．性質(zhì)：（1）等角的余角相等．（2）等角的補角相等．要點詮釋：(1)互余互補指的是兩個角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補的兩個角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)．(2)一般地，銳角α的余角可以表示為(90°-α)，一個角α的補角可以表示為(180°-α)．顯然一個銳角的補角比它的余角大90°．知識點四、方位角在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要點詮釋：（1）正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示；（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”；（3）在同一問題中觀察點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點的正東、正西、正南、正北的方向；（4）圖中的點O是觀測點，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點．知識點五、鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．【典型例題】類型一、角的比較與運算1.利用一副三角板上的角，能畫出多少個小于180°的角，試一一畫出來．【思路點撥】首先發(fā)現(xiàn)一副三角板上有30°，45°，60°，90°這樣4個不相等的角，利用這些角進行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案與解析】解：除了可以畫30°，45°，60°，90°外，還可畫15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七個度數(shù)的角，畫法如圖所示．【點評】利用一副三角板共可以畫出11個度數(shù)的角，分別是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．2.計算下列各題：(1)152°49′12″+20.18°；(2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9；(4)41°37′÷3．【答案與解析】解：(1)解法一：∵20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵152°49′12″＝152.82°，∴152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)將82°化為81°59′60″，則∴82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″，324′+7′＝5°31′，∴35°36′47″×9＝320°31′3″．∴41°37′÷3=13°52′20″．【點評】在角度的和、差運算中應(yīng)先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后進行計算；在進行乘法運算時，往往先把度、分、秒分別乘以倍數(shù)，將結(jié)果滿60″進1′，滿60′進1°；對于除法運算則是從度開始除，將余數(shù)化為分和以前的分數(shù)相加再除，將余數(shù)再化成秒和以前的秒數(shù)相加再除，若除不盡往往四舍五入．舉一反三：【變式】計算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3；(4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．3.如圖所示表示兩塊三角板．(1)用疊合法比較∠1，∠α，∠2的大?。?2)量出圖中各角的度數(shù)，并把圖中的6個角從小到大排列，然后用“＜”或“＝”連接．【答案與解析】解：(1)如圖所示，把兩塊三角板疊在一起，可得∠1＞∠α，用同樣的方法，可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．(2)用量角器量出圖中各個角的度數(shù)，分別是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它們從小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．【點評】比較角的大小有疊合法和度量法兩種：①先將兩個角的頂點與頂點重合，一條邊與一條邊重合再比較．②先量出每個角的度數(shù)，然后按它們的度數(shù)來比較．舉一反三：【變式】如圖，∠AOB的平分線OM,ON為∠MOA的一條射線，OG為∠AOB外的一條射線。*同學(xué)經(jīng)過認真分析，得到一個關(guān)系式是∠MON=（∠BON－∠AON），你認為這個同學(xué)得到的關(guān)系式正確嗎？若正確，請把得到這個結(jié)論的過程寫出來?！敬鸢浮拷猓赫_，理由如下：∵∠AOB的平分線OM，∴∠AOM=∠MOB又∵∠MON=∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON)－∠AON即有∠MON=∠BON－∠MON－∠AON∴2∠MON=∠BON－∠AON∴∠MON=（∠BON－∠AON）類型二、余角與補角4.(武昌區(qū)期末調(diào)研考試)已知點O是直線AB上的一點，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分線．(1)當(dāng)點C、E、F在直線AB的同側(cè)(如圖①所示)時．試說明∠BOE＝2∠COF；(2)當(dāng)點C與點E、F在直線AB的兩旁(如圖②所示)時(1)中的結(jié)論是否仍然成立"請給出你的結(jié)論并說明理由；(3)將如圖②中的射線OF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)m°(0＜m＜180)，得到射線OD，設(shè)∠AOC＝n°，若∠BOD＝，則∠DOE的度數(shù)是多少"(用含n的式子表示)【思路點撥】由于本題中涉及角的數(shù)量關(guān)系，故可以選擇代數(shù)的方法來說明理由．【答案與解析】解：(1)如圖①，設(shè)∠COF＝α，則∠EOF＝90°-α因為OF是∠AOE的平分線所以∠AOF＝90°-α所以∠AOC＝(90°-α)-α＝90°-2α∠BOE＝180°-∠COE-∠AOC＝180°-90°-(90°-2α)＝2α即∠BOE＝2∠COF(2)成立．如圖2設(shè)∠AOC＝β，則所以∠BOE＝180°-∠AOE＝180°-(90°-β)＝90°+β所以∠BOE＝2∠COF(3)因為∠DOE＝180°-∠AOE-∠BOD故的度數(shù)是【點評】根據(jù)角平分線，互余及互補的定義，進行有關(guān)角的計算．有一定的綜合性和代表性，主要培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力．【高清課堂：角397364角的有關(guān)計算例4】舉一反三：【變式】如圖，已知O是直線AC上一點，OD平分AOB，OE在BOC，且BOE＝EOC，DOE＝70°，求EOC的度數(shù).【答案】解：設(shè)∠EOC=°，則BOE＝EOC＝°，根據(jù)題意可得：解得：EOC＝2BOE＝80°5.輪船在海面上以每小時15海里的速度向正北方向航行，上午8時到達A處，測得燈塔C在北偏西45°方向，上午10時到達B處，又測得燈塔C在北偏西60°方向．(1)根據(jù)題設(shè)條件，選用適當(dāng)?shù)谋壤弋嫵鰣D形；(2)量出BC的圖上距離，并推算出BC的實際距離；輪船繼續(xù)向北航行到達D處，這時燈塔C在輪船的正西方向，這時CD的實際距離是多少"(3)你能確定輪船到達D處時的時間嗎"【答案與解析】解：(1)如圖所示．作圖步驟如下：①從點A引南北、東西方向的兩條直線，并畫出∠DAC＝45°；②輪船從8時到10時共航行了30海里，在南北方向上截取AB＝7mm(這時圖距7mm表示30海里)；③畫∠DBC＝60°，射線AC、BC的交點C就是燈塔C的實際位置；④在圖上作∠CDA＝90°，CD與AD交于點D．(2)從圖中依次量出BC≈22mm，BD≈11mm，CD≈19mm，則BC的實際距離為≈94(海里)，CD的實際距離為19×≈81(海里)．(3)BD的實際距離為≈47(海里)，輪船船速為15海里／時，所以，輪船到達D處所需時間為≈3.14(小時)，即3小時8分24秒．3小時8分24秒+10小時＝13小時8分24秒．答：輪船到達D處時的時間是13時8分24秒．【點評】以A點作為南北方向所構(gòu)成的平角的頂點，由觀察點A、B的位置以及它們與燈塔C的夾角，由此可確定燈塔C的位置，然后根據(jù)比例尺和草圖準確地畫圖，并計算即可．類型三、鐘表上有關(guān)夾角問題6.在7時到7時10分之間的什么時刻，時針與分針成一條直線"【答案與解析】解：設(shè)7時*分鐘，時針與分針成一條直線，由題意得：，．答：7時分鐘時針與分針成一條直線．【點評】