【ch04】輻射場的量子化及其與物質(zhì)的相互作用

高等量子力學(xué)輻射場的量子化及其與物質(zhì)的相互作用第四章普通高等教育“十三五”規(guī)劃教材天津工業(yè)大學(xué)學(xué)位與研究生教育改革項目資助01輻射場的量子化01經(jīng)典輻射場01經(jīng)典輻射場首先對經(jīng)典電動力學(xué)做一個簡單回顧。我們知道，自由電磁場(場中沒有電荷、電流存在)服從麥克斯韋方程組：引入矢勢

和標(biāo)勢

來表示電磁場E和B為式中，

滿足如下條件：對于自由電磁場，我們首先關(guān)心的是橫場。忽略縱場，取庫侖規(guī)范這時

完全由矢勢

決定，

滿足波動方程可見，對于自由電磁場，可以將矢勢

作為處理的對象，此時有這時，自由電磁場的拉氏密度可以表示為電磁場系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)取為

是參量。與此對應(yīng)，廣義動量為01經(jīng)典輻射場自由電磁場的哈密頓量密度為由式(4.6)和式(4.8)可知，式(4.9)也可以表示為這正是經(jīng)典電動力學(xué)中給出的電磁場能量密度。因此場的總能量為應(yīng)當(dāng)注意，電磁場是矢量場，廣義坐標(biāo)現(xiàn)在取為矢勢

,所以描述它的變化還應(yīng)包括其廣義速度

、散度

和旋度

。02量子化電磁場使經(jīng)典電磁場轉(zhuǎn)化為量子場的出發(fā)點(diǎn)是使廣義坐標(biāo)A與廣義動量P=A滿足不對易關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為算符。(1)考慮光子是玻色子，所以取如下同時性對易關(guān)系：01經(jīng)典輻射場其中，i,j=1,2,3,表示空間分量指標(biāo)。場算符和動量算符的海森伯動力學(xué)方程為其中，量子場的哈密頓算符由式(4.11)給出，但由于現(xiàn)在A和F已轉(zhuǎn)化為算符，所以H也轉(zhuǎn)化為了算符?？梢宰C明，算符動力學(xué)方程式(4.13)和式(4.14)就是經(jīng)典哈密頓方程的二次量子化形式。(2)在前面建立的自由電磁場量子化理論的基礎(chǔ)上，現(xiàn)在進(jìn)一步將場算符分解為簡正模式。

的分解不是唯一的，我們采取常用的按平面波分解的方法，為此將算符A表示為01經(jīng)典輻射場式中，V是腔的體積。由于矢勢

的厄密性，所以第二項是第一項的厄密共軛。這是因為經(jīng)典電磁場是實(shí)數(shù)矢量場，所以矢勢

也應(yīng)是實(shí)數(shù)矢量場，在二次量子化形式中它應(yīng)轉(zhuǎn)化為厄密算符：

。將展開式(4.15)代入動力學(xué)方程式(4.5),并令

,可得式(4.16)的解為現(xiàn)在令其中，

是為了描寫場算符

分量

的方向性而引進(jìn)的一組實(shí)正交基矢集。由于橫波條件

,有所以

三個單位矢量可張成一右手直角坐標(biāo)系，我們就是在這個空間中描述電磁場的極化性質(zhì)的。實(shí)基矢滿足如下正交條件01經(jīng)典輻射場和完全性條件為了能得到簡潔的量子化電磁場的能量和動量表達(dá)式，令則場算符

和廣義動量算符

的展開式為利用

的對易關(guān)系式(4.12)可以導(dǎo)出關(guān)于

的同時性對易關(guān)系為01經(jīng)典輻射場電場強(qiáng)度算符的簡正模式展開式可表示為將式(4.23)和式(4.24)代入量子場哈密頓算符式(4.11),得到另外，也可以計算出電磁場的動量為上述結(jié)果表明，量子化電磁場明顯體現(xiàn)出電磁場的粒子性。與量子化電磁場相聯(lián)系的基本粒子稱為光子，動量為

的光子的能量為

。有兩種極化狀態(tài)的光子，它們分別對應(yīng)于

和

=2。

是動量為

、極化方向為

的光子數(shù)算符，

就是這種狀態(tài)光子的產(chǎn)生算符和湮滅算符。不存在光子的狀態(tài)稱為光子真空態(tài)。光子真空態(tài)的能量為由于電磁場的自由度為無窮大，所以E。也為無窮大，可以認(rèn)為關(guān)于電磁相互作用問題的討論都是在這個背景下進(jìn)行的。01經(jīng)典輻射場02原子和電磁場的相互作用01電磁場中帶電粒子的哈密頓量01電磁場中帶電粒子的哈密頓量設(shè)一個電子的質(zhì)量和電荷分別為m和e,不考慮電子的自旋，當(dāng)電子在電磁場中運(yùn)動時，其哈密頓量為式中，是電子的廣義動量，

和

分別是電磁場的矢勢和標(biāo)勢，V(r)是原子的束縛勢。則電子的運(yùn)動由薛定諤方程描述為我們現(xiàn)在考察一個電子被勢V(r)束縛于力心(核)

后的問題。若電磁場的波長遠(yuǎn)大于原子限度(在量子光學(xué)范圍內(nèi)普遍成立),此時場可看成在原子范圍內(nèi)不變，則存在所謂的偶極近似，這時矢勢可以表示為

,由此薛定諤方程為式(4.30)的得出利用了規(guī)范式(4.4)。令將式(4.31)代入方程式(4.30),則得“”其中總哈密頓量為這個哈密頓量將被用于下面原子一場相互作用的研究中。01電磁場中帶電粒子的哈密頓量02原子一場相互作用的一個簡單模型首先假設(shè)一個單電子原子處于場強(qiáng)E的電磁場中，在偶極近似下系統(tǒng)的哈密頓量為式中，

分別為原子和輻射場在不存在相互作用情況下的能量，

為電子的位置矢量。自由電磁場的能量算符

由式(4.27)的形式給出。原子的哈密頓算符在只考慮兩能級原子時可以如下求得。假設(shè)兩能級原子的上、下能級分別表示為事實(shí)上，它們分別是哈密頓算符HA對應(yīng)于本征值

的本征矢，有利用兩維粒子系統(tǒng)的完備性關(guān)系：

,以及態(tài)矢量

的正交歸一性，得到01電磁場中帶電粒子的哈密頓量0202原子一場相互作用的一個簡單模型取原子哈密頓算符的矩陣表示為其中，

。忽略不起作用的常數(shù)能量，則有式中，我們用到了泡利矩陣

。下面我們用完備性關(guān)系來考察

,即

。由于能量本征態(tài)的宇稱性，使得對角元消失，即有而非對角元為因此，偶極算符er可取如下形式：02由式(4.37)容易得到所以偶極算符

表示為現(xiàn)在再來看二次量子化后的腔中單模場。在初始時刻(t=0)和原子中心處由式(4.26)有其中，

表示真空電場值，v為單模場的頻率；

為模函數(shù)。因此相互作用哈密頓算符為令

,則式中已令02原子一場相互作用的一個簡單模型02式(4.42)中包含一個不確定的相角，當(dāng)我們?nèi)ˇ?π/2時，有將上述結(jié)果結(jié)合，得到原子一場系統(tǒng)總哈密頓量為其中，自由電磁場的能量算符我們忽略了零點(diǎn)能取為

。下面對相互作用項式(4.43)做進(jìn)一步簡化。式(4.43)首先可以化為我們注意到，其中σ-a和σa?兩項違反能量守恒定律。因為σ-a表示消除一個激發(fā)態(tài)原子使其在變?yōu)榛鶓B(tài)的同時又使一個場粒子消失；類似地，σ+a?表示在產(chǎn)生一個場粒子的同時使原子由基態(tài)變?yōu)榧ぐl(fā)態(tài)。因此，在相互作用哈密頓算符H?中我們忽略這兩項，則有上述做法稱作旋波近似。事實(shí)上在旋波近似下，我們可以推導(dǎo)出一個普遍的兩能級原子與多模場相互作用的哈密頓量為上述單個兩能級原子與多模場的相互作用形式是量子光學(xué)領(lǐng)域眾多計算問題的出發(fā)點(diǎn)。顯然，單個兩能級原子與單模場相互作用系統(tǒng)哈密頓量是式(4.46)的特例。02原子一場相互作用的一個簡單模型0203JC模型及其求解由上面的討論，我們得到頻率為v的單模量子化場與一個兩能級原子相互作用的系統(tǒng)的哈密頓算符為其中式(4.47)稱作Jaynes-Cummings哈密頓量，相應(yīng)的模型稱作JC模型。這個哈密頓量所支配的系統(tǒng)盡管簡單，但是可以描述許多有意義的物理現(xiàn)象。為方便我們選擇相互作用繪景，在相互作用繪景下哈密頓算符為利用式(1.4),可得如下結(jié)果所以，相互作用繪景下哈密頓算符式(4.50)化為02JC模型及其求解02下面我們將用三種不同的方法求解JC模型。1.概率幅方法我們現(xiàn)在在JC模型下求解系統(tǒng)態(tài)矢

的運(yùn)動方程，有對于任意時刻t,態(tài)矢量

是|a,n)和|b,n)的線性組合。其中|an)表示原子處于激發(fā)態(tài)|a)并且場處于n光子態(tài)；|b,n)表示原子處于基態(tài)b|)并且場處于n光子態(tài)。由于我們使用相互作用繪景，態(tài)矢量表示為相互作用能式(4.53)只可引起態(tài)

間的轉(zhuǎn)化，因此我們只需考慮振幅

的演化。將式(4.55)和式(4.53)代入方程式(4.54),得到考慮到初始條件，由方程式(4.56)和式(4.57)解得03JC模型及其求解02其中由上述結(jié)果可求得所謂原子的布居反轉(zhuǎn)：

,從中可以發(fā)現(xiàn)原子上下能態(tài)間的振蕩行為，稱為Rabi振蕩。對于上述結(jié)果的其他有意義的討論，我們此處不再進(jìn)行，有興趣的讀者可參閱量子光學(xué)相關(guān)書籍。2.海森伯算符方法下面我們使用海森伯繪景來求解JC模型。特別地，我們將求解原子和場算符

的算符方程。這些解在研究場的譜特性時非常有用。利用原子一場哈密頓算符式(4.47)可以得到算符

的下列海森伯方程：為了便于求解這些耦合方程，我們定義下列運(yùn)動常數(shù)：03JC模型及其求解02即[N,H]=[C,H]=0,其中N代表原子一場系統(tǒng)總激發(fā)算符，C為交換常數(shù)。由方程式(4.62)得容易證明將式(4.65)和式(4.66)代入式(4.64),得到類似可得利用方程式(4.67)和式(4.68)可解得03JC模型及其求解02其中，k為常算符，即上述得到的解(見式(4.71)和式(4.72))可以用來計算所有感興趣的量。3.幺正時間演化算符方法由于JC模型所描述的系統(tǒng)是沒有耗散的，因此我們可以用幺正時間演化算符方法來求解。這里的幺正演化算符為考慮共振情況，△=0,這時有注意到

,利用03JC模型及其求解02得到因此任意時刻t的波矢可如下求得：作為一個例子，假設(shè)初始原子處于激發(fā)態(tài)

,場處于數(shù)態(tài)的線性疊加，即將式(4.78)和式(4.80)代入式(4.79),得到因此，有容易發(fā)現(xiàn)，式(4.82)、式(4.83)與式(4.58)、式(4.59)在△=0時完全一致。03JC模型及其求解0204兩能級原子自發(fā)發(fā)射理論(Weisskopf-Wigner理論)在前面討論單模場的基礎(chǔ)上，現(xiàn)在我們考慮一種更實(shí)際的連續(xù)模場的系統(tǒng)。在相互作用繪景和旋波近似下，系統(tǒng)的哈密頓量為其中，h.c.為前一項的共軛，

,后是原子位置。相互作用繪景的哈密頓量用與4.2.2節(jié)相同的方法得到。假設(shè)t=0時刻，原子處于激發(fā)態(tài)

,場處于真空態(tài)

,則t時刻的態(tài)矢量為并且設(shè)將式(4.85)和式(4.86)代入薛定諤方程得到概率幅

的如下運(yùn)動方程：04兩能級原子自發(fā)發(fā)射理(Weisskopf-Wigner理論)02首先，對方程式(4.89)積分，則得其次，將式(4.90)代入方程式(4.88),得到為了解上述(精確)方程做如下一系列近似(WW近似):假設(shè)場模在頻率空間是近連續(xù)的，則有其中，體積V由下式?jīng)Q定：對θ、

做運(yùn)算并使k=vk/c,得到令

,下限做替換

,且利用積分，有04兩能級原子自發(fā)發(fā)射理論(Weisskopf-Wigner理論)02因此，得到其中衰減常數(shù)為方程式(4.96)給出解為式(4.98)表示，處于激發(fā)態(tài)|a)的原子在真空中以指數(shù)時間衰減，其壽命為

,期間原子發(fā)射能量子為

。最后，我們得到場態(tài)為04兩能級原子自發(fā)發(fā)射理論(Weisskopf-Wigner理論)0205阻尼的量子理論(密度算符方法)在實(shí)際量子力學(xué)問題中，阻尼起著重要作用。例如，一個原子由激發(fā)態(tài)衰減到基態(tài)，以及場在腔中的衰減等。一般來說，一個系統(tǒng)的阻尼通過它與具有大量自由度的庫相互作用來描述。然而，我們感興趣的僅是與系統(tǒng)相關(guān)的變量的演化。這需要我們獲得跡掉庫變量后的系統(tǒng)的運(yùn)動方程。有幾種不同的方法處理上述問題，這里我們采用密度算符方法。1.一般庫(reservoir)理論考慮一個系統(tǒng)(S)與庫(R)相互作用，這個復(fù)合系統(tǒng)的密度算符定義為PsR,則系統(tǒng)的約化密度算符為0205阻尼的量子理論(密度算符方法)設(shè)系統(tǒng)一庫的相互作用能為V(4),則Psr的動力學(xué)方程為(見式(1.112))形式上對方程式(4.101)積分，得到02式中，

是相互作用的初始時刻。將

代回方程式(4.101),得到如果初始時刻沒有相互作用，即V=0,則系統(tǒng)和庫是獨(dú)立的。此時假設(shè)庫處于平衡態(tài)，則有由于V很小，我們可以將式(4.103)的解表示為如下形式：其中，

是屬于V的高階項。為了滿足式(4.100),我們須使

成立。若將式(4.105)代入式(4.103)并保留至v2階項，則有考慮到阻尼對庫記憶的破壞作用，引入所謂馬爾科夫(Markovian)近似(關(guān)于一般性馬爾科夫近似，讀者可見第5章),即用

,方程式(4.106)化為下面我們就幾個例子具體計算系統(tǒng)一庫相互作用問題。05阻尼的量子理論(密度算符方法)2.原子在熱庫和壓縮真空庫中的衰減一個激發(fā)態(tài)原子的衰變可以通過原子耦合與一個簡諧振子庫模型來獲得理解。類似地，腔中輻射場的衰變可以通過考察腔場中感興趣的模與全體庫模耦合來描述。討論這個問題對于量子光學(xué)多個領(lǐng)域都具有重要意義。下面就來考慮一個兩能級原子系統(tǒng)的衰變問題。設(shè)一個兩能級原子在一個簡諧振子庫中受阻尼產(chǎn)生輻射衰減，在相互作用繪景和旋波近似下哈密頓量為其中，

分別為原子基態(tài)和激發(fā)態(tài)，Vk=ck為簡諧振子頻率分布。先將V(t)代入方程式(4.106)第一項，看到(Ps=Paom)05阻尼的量子理論(密度算符方法)下面我們對方程式(4.109)等式右邊逐項做計算。(1)首先計算第一項。同理可得(2)其次計算V(t)的二階項。為簡化書寫，令

所以相互作用哈密頓量V1和V?分別處于t和t兩個不同時刻，雙對易子給出如下結(jié)果：05阻尼的量子理論(密度算符方法)現(xiàn)在分別計算式(4.114)等式右邊的各項：05阻尼的量子理論(密度算符方法)因此，利用式(4.114)和式(4.119)～式(4.122)可得如下關(guān)系：由定義式(4.112)可知所以05阻尼的量子理論(密度算符方法)先將式(4.125)～式(4.130)代入式(4.123),再代入方程式(4.109),并且也將式(4.110)和式(4.111)同時代入式(4.109),得到式中的期望值與庫的狀態(tài)有關(guān)。下面具體考察一種所謂熱庫狀態(tài)的情況。(3)熱庫(Thermalrese