安徽省江南十校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月階段聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

江南十校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月階段聯(lián)考數(shù)學(xué)滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整?筆跡清晰.3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙?試題卷上的答題無效.4.保持答題卡卡面清潔，不要折疊?不要弄破?弄波，不準(zhǔn)使用涂改液?修正帶?刮紙刀.5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為（）A.B.C.D.2.已知隨機(jī)變量，其正態(tài)曲線如圖所示，若，則（）A.B.C.D.3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家提出的“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，它是世界數(shù)學(xué)史上光輝的一頁(yè)，定理涉及的是整除問題.現(xiàn)有如下一個(gè)整除問題：將1至2023這2023個(gè)數(shù)中，能被3除余1且被5除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）A.133項(xiàng)B.134項(xiàng)C.135項(xiàng)D.136項(xiàng)4.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切5.隨機(jī)變量滿足，且，則與的值分別為（）A.B.3，4C.4，3D.6.2023年亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在中國(guó)浙江杭州舉行，杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物是一組承載深厚底蘊(yùn)和充滿活力的機(jī)器人，組合名為“江南憶”，出自唐朝詩(shī)人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，融合了杭州的歷史人文?自然生態(tài)和創(chuàng)新基因.現(xiàn)將編號(hào)為的6個(gè)吉祥物機(jī)器人贈(zèng)送給3名亞運(yùn)會(huì)志愿者留作紀(jì)念，若要求每名志愿者至少獲得1個(gè)吉祥物且1號(hào)和2號(hào)吉祥物被贈(zèng)送給同一名志愿者，則不同的贈(zèng)送方法數(shù)為（）A.36B.72C.114D.1507.如圖，三棱錐中，所成的角為，則（）A.B.C.D.8.函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4二?多選題：共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于及其展開式，下列說法正確的是（）A.展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為1B.展開式中第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C.展開式中第16項(xiàng)為D.當(dāng)時(shí)，除以3的余數(shù)是110.設(shè)雙曲線，其離心率為，虛軸長(zhǎng)為，則（）A.上任意一點(diǎn)到的距離之差的絕對(duì)值為定值B.雙曲線與雙曲線：共漸近線C.上的任意一點(diǎn)（不在軸上）與兩頂點(diǎn)所成的直線的斜率之積為D.過點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)，不可能是弦中點(diǎn)11.已知數(shù)列和滿足：，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.數(shù)列是等差數(shù)列C.D.數(shù)列最小項(xiàng)是第2項(xiàng)12.集合（為正整數(shù)），集合是的非空子集，定義：中的最大元素與最小元素的差稱為集合的長(zhǎng)度，則（）A.當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度為2的集合的所有元素之和為10B.當(dāng)時(shí)，含有元素1和53且長(zhǎng)度為52的四元集合的個(gè)數(shù)為720C.當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度為51的所有集合的元素的個(gè)數(shù)之和為D.集合的所有子集的元素之和為三?填空題：共4小題，每小題5分，共20分.13.已知是平面的法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為__________.14.某大學(xué)有兩個(gè)圖書館，學(xué)生小李周六隨機(jī)選擇一圖書館閱讀，如果周六去圖書館，那么周日去圖書館的概率為0.4；如果周六去圖書館，那么周日去圖書館的概率為0.6.小李周日去圖書館的概率為__________.15.已知函數(shù)，若，則函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率為__________，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.16.已知拋物線上的點(diǎn)到軸的距離比到焦點(diǎn)的距離小1，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.17.（10分）已知圓過三個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的切線，求：（1）圓的一般方程；（2）圓過點(diǎn)的切線方程.18.（12分）2022年新修訂的《中華人民共和國(guó)體育法》于2023年1月1日正式施行，其中明確要求國(guó)家優(yōu)先發(fā)展青少年和學(xué)校體育，推進(jìn)體育強(qiáng)國(guó)和健康中國(guó)建設(shè).某校為此積極開展羽毛球運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，學(xué)生甲和乙經(jīng)過一段時(shí)間訓(xùn)練后進(jìn)行了一場(chǎng)羽毛球友誼賽，比賽采用3局2勝制（即有一名運(yùn)動(dòng)員先勝2局獲勝），已知甲每局獲勝的的概率為，且雙方約定：以取勝的運(yùn)動(dòng)員得3分，負(fù)者得1分；以取勝的運(yùn)動(dòng)員得2分，負(fù)者得1分.（1）求甲獲勝的概率；（2）比賽結(jié)束后，求乙的積分的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.（12分）如圖1，平面圖形是由矩形和等腰梯形組合而成，.將沿折起，得到圖2，其中在上，且平面，連接.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20.（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.21.（12分）如圖，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，圓，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn).（1）求直線的斜率之積；（2）設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，探究是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.22.（12分已知函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的最小值；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：江南十校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月階段聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案1.【答案】A【解析】直線的斜率為-2，所以所求直線的方程為，即，故選A.2.【答案】D【解析】由圖可知，因?yàn)?，所以，故選D.3.【答案】C【解析】能被3除余1且被5除余2的數(shù)就只能是被15除余7的數(shù)，故由題意，可得，故，由，得，又，故此數(shù)列共有135項(xiàng)，故選C.4.【答案】C【解析】?jī)蓤A化為標(biāo)準(zhǔn)形式，可得與圓，可知半徑，，于是，而故兩圓相交，故選.5.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，故選A.6.【答案】D【解析】由題意1號(hào)和2號(hào)吉祥物被贈(zèng)送給同一名志愿者，將1號(hào)和2號(hào)捆綁在一起，然后將5個(gè)吉祥物先分為3組，有兩類：，再將分好的三組分配給3名志愿者，不同的方法數(shù)為，故選D.7.【答案】B【解析】所以，故選B.8.【答案】B【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，，記的導(dǎo)函數(shù)為，則，因?yàn)樵谏?，，所以，所以單調(diào)遞增，注意到，所以必存在使得，于是在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以在區(qū)間上必存在一個(gè)零點(diǎn).綜上，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).9.【答案】BD【解析】令，可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為，故錯(cuò)誤；因?yàn)?0是偶數(shù)，所以展開式中中間項(xiàng)第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故B正確；展開式中的第16項(xiàng)為，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，其中能被3整除，所以除以3的余數(shù)是1，故D正確.10.【答案】AB【解析】雙曲線的離心率為，虛軸長(zhǎng)為，所以，解得，所以雙曲線，所以兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，由雙曲線定義知，故A正確；雙曲線的漸近線方程是，雙曲線：的漸近線方程也是，故B正確；上的任意一點(diǎn)（不在軸上）設(shè)為，則，即，又兩頂點(diǎn)為，所以斜率之積為，故C錯(cuò)誤；易知點(diǎn)在雙曲線的右側(cè)，此區(qū)域內(nèi)存在一條直線交于兩點(diǎn)，使是弦中點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.11.【答案】ACD【解析】代入首項(xiàng)，易知，故A正確；由題意知，兩式相減，可得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；由數(shù)列是等比數(shù)列，可得，所以，故C正確；，前4項(xiàng)分別為：，當(dāng)時(shí)，的分子增加的速度比分母快，，所以最小項(xiàng)為第2項(xiàng)，故D正確.12.【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度為2的集合為，所以和為10，故A正確；當(dāng)時(shí)，含有元素1和53且長(zhǎng)度為52的四元集合，則集合為，易知有種，故B錯(cuò)誤；集合的長(zhǎng)度為51，先考慮最小元素1，最大元素52的集合，分為以下幾類：集合含有2個(gè)元素：，有種，集合含有3個(gè)元素：，有種，，依次類推，集合含有52個(gè)元素：，有種，所以滿足要求的子集元素個(gè)數(shù)之和為，運(yùn)用倒序相加法可得，所以，改變最小值元素與最大元素，同理可得，所有子集的元素的個(gè)數(shù)之和都是，所以長(zhǎng)度為51的所有集合的元素的個(gè)數(shù)之和為，故C正確；元集合的子集個(gè)數(shù)為，以元素1為例，其中一半的子集中出現(xiàn)1，另外一半的集合中不出現(xiàn)1，所以1共出現(xiàn)次，同理其他元素也是這種情形，所以集合的所有子集的元素之和為，故D正確.13.【答案】【解析】由題意可得，所以點(diǎn)到平面的距離為14.【答案】0.5【解析】記事件表示小李周六去圖書館，事件表示小李周六去圖書館，事件表示小李周日去圖書館，則，其中與為互斥事件，依題意，所以由全概率公式可得.15.【答案】1（2分）（3分）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)可得，則，即在處的瞬時(shí)變化率為1.若時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，即，記，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，所以，解得.16.【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€上點(diǎn)到軸的距離比到焦點(diǎn)的距離小1，所以由拋物線定義可知，即，所以拋物線的方程為.易知直線的斜率顯然存在，設(shè)為，則過的直線為，聯(lián)立，得.設(shè)，則，所以，于是，由恒成立，可得恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，取得最小值0，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.【解析】（1）設(shè)圓的一般方程為，代入三個(gè)點(diǎn)得，解得所以圓的一般方程為.（2）圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為.當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，易知切線方程符合題意.當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，則依題意可得，解得，此時(shí)切線方程為，即.綜上所述，圓過點(diǎn)的切線方程為和.18.【解析】（1）由題意可知甲獲勝，則以取勝或以取勝，所以甲獲勝的概率為；（2）乙的積分的取值可能為，，，，所以乙的積分的分布列為123所以數(shù)學(xué)期望為.19.【解析】（1）證明：由題意易得.因?yàn)槠矫妫揖谄矫嬷?，所以，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?，所以，所以，故；?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸的正方向，以過點(diǎn)垂直于平面且向上的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，令，得.設(shè)直線與平面夾角為，于是，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.【解析】（（1）由得，當(dāng)時(shí)，，上述兩式相減可得，即.當(dāng)時(shí)，，解得，所以，也符合上式.所以數(shù)列是等比數(shù)列，而，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）證明：由（1）得，于是，所以.21.【答案】（1）設(shè)，則，則直線的斜率之積；（2）由（1）知，直線的方程為.聯(lián)立，消去可得，因?yàn)榫跈E圓上，所以，即，所以，所以.設(shè)，聯(lián)立，消去可得