第4節(jié)等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)市賽一等獎(jiǎng)

第4節(jié)等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)考試要求梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)1兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法知識(shí)梳理>＝<>＝<2等式的性質(zhì)1對(duì)稱性：若a＝b，則b＝a2傳遞性：若a＝b，b＝c，則a＝c3可加性：若a＝b，則a＋c＝b＋c4可乘性：若a＝b，則ac＝bc；若a＝b，c＝d，則ac＝bd3不等式的性質(zhì)1對(duì)稱性：a＞b?b＜a；2傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；3可加性：a＞b?a＋c____b＋c；a＞b，c＞d?a＋c____b＋d；4可乘性：a＞b，c＞0?ac____bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac____bd；5可乘方：a＞b＞0?an____bnn∈N，n≥1；＞＞＞＞＞＞診斷自測(cè)1判斷下列結(jié)論正誤在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”答案1×2×3×4√解析1由不等式的性質(zhì)，ac2＞bc2?a＞b；反之，c＝0時(shí)，a＞b?ac2＞bc22由等式的性質(zhì)，a＝b?ac＝bc；反之，c＝0時(shí)，ac＝bc?a＝b2老教材必修5P74例1改編若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有答案B答案＞42020·廈門期末實(shí)數(shù)，y滿足>y，則下列不等式成立的是解析由>y，得－<－y，所以2－<2－y，故選B答案B52020·廣東執(zhí)信中學(xué)月考若a，b∈R，且a＞|b|，則解析由a＞|b|可知，當(dāng)b≥0時(shí)，a＞b；當(dāng)b＜0時(shí)，a＞－b，則a＞0＞b，綜上可知，當(dāng)a＞|b|時(shí)，a＞b恒成立，故選B答案B6多選題2020·商丘九校聯(lián)考已知＞y＞，＋y＋＝0，則下列不等式不成立的是 ＞y ＞ ＞y D|y|＞|y| 解析因?yàn)椋緔＞，＋y＋＝0，所以＞0，＜0，y的符號(hào)無法確定，對(duì)于A，因?yàn)椋?，若y＜0，則y＜0＜y，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)閥＞，＞0，所以y＞，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋緔，＜0，所以＜y，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，?dāng)|y|＝0時(shí)，|y|＝|y|，故D不正確 答案ACD考點(diǎn)一比較兩個(gè)數(shù)式的大小當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，由f′>0，得0<<e；由f′<0，得>e∴f在0，e為增函數(shù)，在e，＋∞為減函數(shù)∴f3>f4>f5，即a>b>c規(guī)律方法1作差法一般步驟：1作差；2變形；3定號(hào)；4結(jié)論其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差2作商法一般步驟：1作商；2變形；3判斷商與1的大??；4結(jié)論3函數(shù)的單調(diào)性法：將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出大小關(guān)系4特殊值法：對(duì)于選擇、填空題，可以選取符合條件的特殊值比較大小解析1a3＋b3－a2b＋ab2＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2a－b－b2a－b＝a－ba2－b2＝a－b2a＋b，∵a>0，b>0且a≠b，∴a－b2>0，a＋b>0，∴a3＋b3－a2b－ab2>0，即a3＋b3>a2b＋ab2答案1＞2A考點(diǎn)二不等式的性質(zhì)【例2】1多選題設(shè)b＞a＞0，c∈R，則下列不等式中正確的是顯然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②錯(cuò)誤；因?yàn)閘na2＝ln－12＝0，lnb2＝ln－22＝ln4＞0，所以④錯(cuò)誤綜上所述，可排除A，B，D④中，因?yàn)閎＜a＜0，根據(jù)y＝2在－∞，0上為減函數(shù)，可得b2＞a2＞0，而y＝ln在定義域0，＋∞上為增函數(shù)，所以lnb2＞lna2，故④錯(cuò)誤由以上分析，知①③正確答案1ABC2C②中，因?yàn)閎＜a＜0，所以－b＞－a＞0故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②錯(cuò)誤；規(guī)律方法解決此類題目常用的三種方法：1直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證；2利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件；3利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可以利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷【訓(xùn)練2】12020·綿陽(yáng)診斷改編已知a，b，c滿足c＜b＜a，且ac＜0，則下列選項(xiàng)中一定成立的是 ＞ac Bcb－a＜0 4＜ab4 a－c＞0 22019·武漢聯(lián)考下列命題中正確的是答案1A2D解析1因?yàn)閍，b，c滿足c＜b＜a，且ac＜0，所以c＜0＜，因?yàn)閎＞c，a＞0，所以ab＞ac，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閎＜a，c＜0，所以b－a＜0，c＜0，所以cb－a＞0，故B不正確；對(duì)于C，因?yàn)閏＜a，b4≥0，所以cb4≤ab4，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)閍c＜0，a－c＞0，所以aca－c＜0，故D不正確，故選A角度1不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用【例3－1】2017·北京卷某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件： 1男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)； 2女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)； 3教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù) ①若教師人數(shù)為4，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為________ ②該小組人數(shù)的最小值為________考點(diǎn)三不等式及其性質(zhì)的應(yīng)用多維探究解析令男學(xué)生、女學(xué)生、教師人數(shù)分別為，y，，且2>>y>，①若教師人數(shù)為4，則4<y<<8，當(dāng)＝7時(shí)，y取得最大值6②當(dāng)＝1時(shí)，1＝<y<<2，不滿足條件；當(dāng)＝2時(shí)，2＝<y<<4，不滿足條件；當(dāng)＝3時(shí)，3＝<y<<6，y＝4，＝5，滿足條件所以該小組人數(shù)的最小值為3＋4＋5＝12答案①6②12【例3－2】經(jīng)典母題已知－1<<4，2<y<3，則－y的取值范圍是________，3＋2y的取值范圍是________ 解析因?yàn)椋?<<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<－y<2由－1<<4，2<y<3，得－3<3<12，4<2y<6，所以1<3＋2y<18 答案－4，21，18角度2利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍典例遷移【遷移1】將本例條件改為“－1<<y<3”，求－y的取值范圍解因?yàn)椋?<<3，－1<y<3，所以－3<－y<1，－4<－y<4①又因?yàn)?lt;y，所以－y<0，②由①②得－4<－y<0，故－y的取值范圍是－4，0【遷移2】將本例條件改為“已知－1<－y<4，2<＋y<3”，求3＋2y的取值范圍解設(shè)3＋2y＝λ－y＋μ＋y，即3＋2y＝λ＋μ＋μ－λy，∵－1<－y<4，2<＋y<3，規(guī)律方法1解決有關(guān)不等關(guān)系的實(shí)際問題，應(yīng)抓住關(guān)鍵字詞，例如“要”“必須”“不少于”“大于”等，從而建立相應(yīng)的方程或不等式模型2利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍【訓(xùn)練3】1已知甲、乙兩種食物的維生素A，B含量如下表：設(shè)用甲