自動控制理論作者浙江大學鄒伯敏教授第二章

第二章控制系統(tǒng)的數學模型浙江大學鄒伯敏教授自動控制理論普通高等教育“九五〞部級重點教材9/27/20231描述系統(tǒng)運動的數學模型的方法自動控制理論狀態(tài)變量描述狀態(tài)方程是這種描述的最根本形式建立系統(tǒng)數學模型的方法實驗法：人為施加某種測試信號，記錄根本輸出響應。解析法：根據系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的根本物理定律，列寫處每一個元件的輸入-輸出關系式。輸入－輸出描述微分方程是這種描述的最根本形式。傳遞函數、方框圖等其它模型均由它而導出數學模型：是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及于內部其它變量之間關系的數學表達式9/27/20232第一節(jié)列寫系統(tǒng)微分方程的一般方法用解析法建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟自動控制理論根據根本的物理定律，列寫出系統(tǒng)中一個元件的輸入與輸出的微分方程式確定系統(tǒng)的輸入量與輸出量，消去其余的中間變量，求得系統(tǒng)輸出與輸入的微分方程式圖2-1Ｒ-L-C電路例2-1求Uc與Ur的微分方程式解：由基爾霍夫定律得消去中間變量，則有:舉例一、電氣網絡系統(tǒng)9/27/20233自動控制理論圖2-2R-C濾波網絡例2-2.試寫出圖2-2電路的微分方程解由基爾霍夫定律列出以下方程組消去中間變量i1、i2得或寫作9/27/20234自動控制理論例2-3.求外力F(t)與質量塊m位移ｙ(t)之間的微分方程解由牛頓第二定律列出方程圖2-3彈簧-質量-阻尼器系統(tǒng)即式中，ｆ——為阻尼第數；ｋ——為彈簧的彈性系數。ky(t)——彈性拉力——阻尼器阻力二、機械位移系統(tǒng)9/27/20235自動控制理論例2-4.試寫出圖2-4所示直流調速系統(tǒng)的微分方程式圖2-4G-M直流調速系統(tǒng)原理圖三、直流調速系統(tǒng)9/27/20236圖2-5G-M直流調速系統(tǒng)的框圖列寫元件和系統(tǒng)方程式前,首先要明確誰是輸入量和輸出量，把與輸出量有關的項寫在方程式等號的左方，與輸入量有，關系的項寫在等號的右方，列寫系統(tǒng)中各元件輸入－輸出微分方程式，消去中間變量，求得系統(tǒng)的輸出與輸入的微分方程式寫微分方程式的一般步驟：9/27/20237自動控制理論

放大器圖2-6直流他勵發(fā)電機電路圖(2-4)

假設驅動發(fā)電機的轉速n0恒定不變，發(fā)電機沒有磁滯回線和剩磁，發(fā)電機的磁化曲線為一直線，即Φ/iB=L。

直流他勵發(fā)電機9/27/20238自動控制理論由電機學原理得：圖2-7直流他勵電動機電路圖把式〔2-6〕代入〔2-5〕，那么得〔2-5〕〔2-6〕〔2-7〕式中9/27/20239自動控制理論

直流他勵電動機被控制量是電動機的轉速n。控制量：發(fā)電機的電動勢EG和負載轉矩TL由基爾霍夫定律和牛頓第二定律得9/27/202310上式中消去中間變量后得到輸入量是電動機的轉速n，輸出量是測速發(fā)電機的電壓Ufn，假設測速發(fā)電機的磁場恒定不變，那么Ufn與n成線性關系即有

測速發(fā)電機

9/27/202311自動控制理論9/27/202312自動控制理論第二節(jié)非線性數學模型的線性化非線性數學模型線性化的假設變量對于平衡工作點的偏離較小非線性函數不僅連續(xù)，而且其多階導數均存在微偏法在給定工作點鄰域將此非線性函數展開成泰勒級數，并略去二階及二階以上的各項，用所得的線性化方程代替原有的非線性方程。設一非線性元件的輸入為x、輸出為y，它們間的關系如圖2-9所示，相應的數學表達式為圖2-9非線性特性的線性化y=f(x)（2-13）9/27/202313自動控制理論在給定工作點A〔x0,y0〕附近，將上式展開為泰勒級數9/27/202314自動控制理論舉例上節(jié)在推導直流他勵發(fā)電動機的微分方程式時，曾假設其磁化曲線為直線，實際上發(fā)電機的磁化曲線如圖2-10所示。設發(fā)電機原工作于磁化曲線的A點，假設發(fā)電機的勵磁電壓增加△U1，求其增量電動勢△EG的變化規(guī)律。圖2-10發(fā)電機的磁化曲線若勵磁電壓增量，則有如果發(fā)電機在小信號勵磁電壓的作用下，工作點A的偏離就較小，這樣就可通過點A作一切線CD，且以此切線CD近似代替原有的曲線EAF。在平衡點A處，直流電機的方程為9/27/202315自動控制理論由式〔2-17〕減式〔2-15〕，式〔2-17〕減式〔2-15〕后得式〔2-19〕、〔2-20〕均為增量方程，它們描述了發(fā)電機在平衡點A處受到△u1作用后的運動過程。對增量方程式而言，磁化曲線的坐標原點不是在O點，而是移到A點。因而發(fā)電機的初始條件仍為零。式中N為勵磁繞組的匝數。9/27/202316自動控制理論9/27/202317自動控制理論在實際應用中，常把增量符號“△〞省去，這樣上述兩式顯然和〔2-5〕〔2-6〕完全相同小結隨著發(fā)電機平衡工作點的不同，其時間常數和放大倍數是不同的。由線性化引起的誤差大小與非線性的程度有關9/27/202318自動控制理論第三節(jié)傳遞函數傳遞函數的定義傳遞函數的定義：在零初始條件下，系統(tǒng)〔或元件〕輸出量的拉氏變換與其輸入量的拉氏變換之比，即為系統(tǒng)〔或元件〕的傳遞函數。設線性定系統(tǒng)的微分方程式為9/27/202319自動控制理論在零初始條件下，對上式進行拉式變換得9/27/202320〔1〕傳遞函數是由系統(tǒng)的微分方程經拉氏變換后求得，而拉氏變換是一種線性變換，因而這必然同微分方程一樣能象征系統(tǒng)的固有特性，即成為描述系統(tǒng)運動的又一形式的數學模型?！?〕由于傳遞函數包含了微分方程式的所有系數，因而根據微分方程就能直接寫出對應的傳遞函數，即把微分算子用復變量s表示，把c(t)和r(t)換為相應的象函數C(s)和R(s)，那么就把微分方程轉換為相應的傳遞函數。反之亦然。根據式(2-30)單位脈沖響應及應用自動控制理論小結：9/27/202321如果系統(tǒng)的單位脈沖響應g(t),那么利用卷積積分求解系統(tǒng)在任何輸入r(t)作用下的輸出響應,即下面以一個R-C電路(圖2-11)為例,說明卷積積分的應用該電路的微分方程為自動控制理論圖2-11R-C電路9/27/202322自動控制理論1、由于2、3、式中9/27/202323傳遞函數的性質自動控制理論

傳遞函數只取決于系統(tǒng)本身的結構和參數，與外施信號的大小和形式無關傳遞函數只適用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數為復變量s的有理分式，它的分母多項式S的最高階次n總是大于或等于其分子多項式s的最高階次m，即n≥m

傳遞函數不能反映非零初始條件下系統(tǒng)的運動過程一個傳遞函數是由相應的零、極點組成一個傳遞函數只能表示一個輸入與一個輸出的關系，它不能反映系統(tǒng)內部的特性對于多輸入—多輸出的系統(tǒng)，要用傳遞函數關系陣去描述它們間的關系，例如圖2-12所示的系統(tǒng)9/27/202324自動控制理論圖2-12多輸入多輸出系統(tǒng)

由圖2-12得9/27/202325自動控制理論典型環(huán)節(jié)的傳遞函數特點：輸出不失真、不延遲、成比例地復現輸入信號的變化比例環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)特點：輸出量延緩地反映輸入量的變化規(guī)律微分方程9/27/202326自動控制理論積分環(huán)節(jié)特點：環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量對時間的積分成正比，即有圖2-13積分環(huán)節(jié)模擬電路圖例如圖2-13所示的積分器，其傳遞函數為9/27/202327微分環(huán)節(jié)理想的微分環(huán)節(jié)的輸出與輸入信號對時間的微分成正比，即圖2-14微分環(huán)節(jié)模擬電路圖1〕實際的微分環(huán)節(jié)，如圖2-14所示，它的傳遞函數為：自動控制理論2〕直流測速發(fā)電機。如圖2-15所示，圖2-15直流測速發(fā)電機9/27/202328振蕩環(huán)節(jié)特點：如輸入為一階躍信號，那么環(huán)節(jié)的輸出卻是周期振蕩形式微分方程自動控制理論具有式〔2-33〕形式的傳遞函數在控制工程中經常會碰到，例如9/27/202329自動控制理論1〕R-L-C電路的傳遞函數2〕彈簧-質量-阻尼器系統(tǒng)的傳遞函數3〕直流他勵電動機在變化時的傳遞函數上述三個傳遞函數在化成式〔2-33〕所示的形式時，雖然它們的阻尼比ξ和1/T所含的具體內容各不相同，但只要滿足0＜ξ＜1，那么它們都是振蕩環(huán)節(jié)。9/27/202330自動控制理論純滯后環(huán)節(jié)圖2-16純滯后環(huán)節(jié)模擬電路圖那么如果9/27/202331自動控制理論第四節(jié)系統(tǒng)框圖及其等效變換繪制系統(tǒng)方框圖的一般步驟1、寫出系統(tǒng)中每一個部件的運動方程式2、根據部件的運動方程式寫出相應的傳遞函數，一個部件用一個方框表示在框中填入相應的傳遞函數3、根據信號的流向，將各方框單元依次連接起來，并把系統(tǒng)的輸入量置于系統(tǒng)方框圖的最左端，輸出量置于最右端例2-3繪制圖2-18所示電路的方框圖1〕列方程圖2-18R-C網絡9/27/202332自動控制理論2〕畫出上述兩式對應的方框圖3〕將兩方框圖按信號的流向依次連接，求得2-19C的系統(tǒng)方框圖例2-4繪制圖2-2所示R-C網絡方框圖1〕列方程圖2-192-18所示電路系統(tǒng)框圖9/27/202333自動控制理論2〕畫出上述四式對應的方框圖，如圖2-20a所示3〕根據信號的流向，將各方框單元依次連接起來，就得到圖2-20b所示的方框圖圖2-209/27/202334自動控制理論方框圖的等效變換1、串聯連接圖2-23通式：2、并聯連接圖-2-249/27/202335自動控制理論由圖2-24得通式：3、反響連接圖2-259/27/202336自動控制理論1〕負反響連接2〕正反響連接例如4、引出點移動1〕引出點后移圖2-269/27/2023372〕引出點前移5、綜合點移動1〕綜合點后移自動控制理論2〕綜合點前移9/27/202338自動控制理論例2-27，求圖2-27所示系統(tǒng)的傳遞函數C(s)/R(s)解將圖中引出點A后移,然后從內回路到外回路逐步化簡,其過程為圖2-28所示圖2-279/27/202339自動控制理論圖2-289/27/202340設系統(tǒng)如圖2-30所示,圖中R(s)—參數輸入,D(s)—擾動1、開環(huán)傳遞函數系統(tǒng)反響量B(s)與誤差信號E(s)的比值稱為開環(huán)傳遞函數。即自動控制理論圖2-302、參改輸入作用下的閉環(huán)傳遞函數令D(s)=0，那么圖2-30變?yōu)閳D2-31第五節(jié)控制系統(tǒng)的傳遞函數9/27/202341根據式〔2-39〕求得自動控制理論圖2-31系統(tǒng)的輸出為如果H(s)=1，那么圖2-31所示的系統(tǒng)為單位反響系統(tǒng)，它的閉環(huán)傳遞函數為9/27/202342自動控制理論3、擾動D(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數令r(t)=0，把圖2-30改畫為圖2-32，由該圖求得9/27/202343圖2-33自動控制理論9/27/202344當系統(tǒng)同時受到R(s)和D(s)作用時，由疊加原理得系統(tǒng)總的輸出為自動控制理論系統(tǒng)總的誤差為9/27/202345第五節(jié)信號流圖和梅遜公式的應用信號流圖也是一種圖示法，將它應用于線性系統(tǒng)時必須先將系統(tǒng)的微分方程組變成以S為變量的代數方程組，且把每個方程改寫為以下的因果形式信號流圖的根本組成單元有兩個：節(jié)點和支路節(jié)點在圖中用“O〞表示，它表示系統(tǒng)中的變量；兩變量間的因果關系用一被稱為支路的有向線段來表示。箭頭表示信號的傳輸方向，兩變量間的因果關系叫做增益，標明在相應的支路旁例一個線性方程為自動控制理論9/27/202346舉例說明信號流圖繪制的步驟。設一系統(tǒng)的線性方程組為繪制的步驟如圖2-35所示。自動控制理論圖2-35方程組的信號流程9/27/202347信號流圖的術語和性質1、術語1〕節(jié)點—代表系統(tǒng)中的變量,并等于所有流入該節(jié)點的信號之和。2〕支路—信號在支路上按箭頭的指向由一個節(jié)點流向另一個節(jié)點3〕輸入節(jié)點或源點—相當于自變量，它只有輸出支路。4〕輸出節(jié)點或阱點—它是只有輸入支路的節(jié)點，對應于因變量。5〕通路—沿著支路的箭頭方向穿過各相連支路的途徑，稱為通路開通路—通路與任一節(jié)點相交不多于一次閉通路—通路的終點也是通路的起點，并且與任何其它節(jié)點相交不多于一次6〕前向通路—從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的通路上，通過任何節(jié)點不多于一次，此通路自然保護區(qū)為前向通路7〕回路—就是閉環(huán)通路8〕不接觸回路—批一些回路間沒有任何公共節(jié)點9〕前向通路增益—在前向通路中多支路增益的乘積。10〕回路增益—回路中多支路增益的乘積。自動控制理論9/27/2023482、性質1〕信號流圖只適用于線性系統(tǒng)2〕支路表示一個信號對另一個信號的函數關系；信號只能沿著支路上的箭頭指向傳遞3〕要節(jié)點上可以把所有輸入支路的信號疊加，并反相加后的信號傳送到甩有的輸出