復(fù)變函數(shù)講義第6章

復(fù)變函數(shù)講義第6章第一頁，共72頁。一、孤立奇點1定義

如果函數(shù)在

不解析,但在的某一去心鄰域內(nèi)處處解析,則稱為的孤立奇點.例如是函數(shù)的孤立奇點.是函數(shù)的孤立奇點.注意:奇點并不一定都是孤立的。例如:的孤立奇點.第一頁第二頁，共72頁。2孤立奇點的分類依據(jù)在其孤立奇點的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類:可去奇點洛朗級數(shù)中不含

的負冪項極點洛朗級數(shù)中含有限個

的負冪項

本性奇點洛朗級數(shù)中含無窮多個

的負冪項

第二頁第三頁，共72頁。其和函數(shù)為在解析的函數(shù).說明:(1)1)可去奇點如果洛朗級數(shù)中不含

的負冪項,那末孤立奇點

稱為

的可去奇點.定義第三頁第四頁，共72頁。(2)無論在是否有定義,補充定義則函數(shù)在解析.若為的可去奇點，則存在性質(zhì)第四頁第五頁，共72頁。如果補充定義:時,那末在解析.例1函數(shù)中不含負冪項,故是的可去奇點.的孤立奇點的類型解：第五頁第六頁，共72頁。2)極點

其中關(guān)于的最高冪為即級極點.那末孤立奇點稱為函數(shù)的定義

如果洛朗級數(shù)中只有有限多個的負冪項,第六頁第七頁，共72頁。說明:的極點,則為函數(shù)如果定義式可改寫為：性質(zhì)其中，且第七頁第八頁，共72頁。例2函數(shù)是三階極點,是一階極點.課堂練習(xí)求的奇點,如果是極點,指出它的級數(shù).答案第八頁第九頁，共72頁。解

解析且所以不是二階極點,而是一階極點.例3問是的二階極點嗎?注意:不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論.第九頁第十頁，共72頁。本性奇點3)定義如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個那末孤立奇點稱為的本性奇點.的負冪項,例如，含有無窮多個z的負冪項性質(zhì)：不存在且不為同時不存在.的本性奇點,則為函數(shù)若第十頁第十一頁，共72頁。綜上所述:孤立奇點可去奇點m階極點本性奇點洛朗級數(shù)特點存在且為有限值不存在且不為無負冪項含無窮多個負冪項含有限個負冪項關(guān)于的最高冪為第十一頁第十二頁，共72頁。二函數(shù)的零點與極點的關(guān)系1零點的定義不恒等于零的解析函數(shù)如果能表示成其中在解析且m為某一正整數(shù),那末稱為的

m階零點.例6注意:

不恒等于零的解析函數(shù)的零點是孤立的.第十二頁第十三頁，共72頁。2零點的判定零點的充要條件是證(必要性)由定義:設(shè)的泰勒展開式為:如果在解析,那末為的階如果為的階零點第十三頁第十四頁，共72頁。其中展開式的前m項系數(shù)都為零,由泰勒級數(shù)的系數(shù)公式知:并且充分性證明略.第十四頁第十五頁，共72頁。(1)由于知是的一階零點.課堂練習(xí)是五階零點,是二階零點.知是的一階零點.解

(2)由于答案例4求以下函數(shù)的零點及階數(shù):(1)(2)的零點及階數(shù).求第十五頁第十六頁，共72頁。3零點與極點的關(guān)系定理如果是的m階極點,那末就是的

m階零點.反過來也成立.說明此定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為簡便的方法.第十六頁第十七頁，共72頁。例5求的孤立奇點,并指出奇點的類型.解顯然,是的零點，但是故是的1階零點.

因此,是f(z)的1階極點.第十七頁第十八頁，共72頁。推論設(shè)z0是P(z)的m級零點,也是Q(z)的n級零點,則當n>m時,z0是f(z)的n-m級極點;而當n

m時,z0是f(z)的可去奇點.

例6考慮函數(shù)

設(shè)

顯然,z=0是Q(z)的5階零點.

因為所以,z=0是P(z)的2級零點.

故z=0是f(z)的3階極點.不是5階極點!第十八頁第十九頁，共72頁。例7函數(shù)有些什么類型的奇點?如果是極點,指出它的階數(shù).解

函數(shù)除點外,所以這些點都是的一階零點,故這些點中除1,-1,2外,都是的三階極點.內(nèi)解析.在第十九頁第二十頁，共72頁。所以，所以，是的可去奇點.因為第二十頁第二十一頁，共72頁。課堂練習(xí)第二十一頁第二十二頁，共72頁。四、小結(jié)1、可去奇點的判別方法(1)由定義判斷:將f(z)在其孤立奇點

z0的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)，若洛朗級數(shù)中不含z-z0

的負(2)由極限判斷：若極限存在且為有限值,則z0是f(z)的可去奇點.冪項，則孤立奇點z0是f(z)的可去奇點.第二十二頁第二十三頁，共72頁。2、極點的判定方法的負冪項.洛朗展開式中含有有限個在點的某去心鄰域內(nèi)其中在的鄰域內(nèi)解析,且(1)由定義判別(2)由定義的等價形式判別(3)利用極限判別(4)利用零點和極點的關(guān)系判別第二十三頁第二十四頁，共72頁。定理如果是的m階極點,那末就是的

m階零點.反過來也成立.3、本性奇點的判別方法(1)由定義判斷:洛朗級數(shù)中含無窮多個z-z0

的負冪項.(2)由極限判斷：

極限不存在且不為∞.第二十四頁第二十五頁，共72頁。練習(xí)題：下列函數(shù)有哪些奇點？各屬于什么類型？若是極點，指出它的階數(shù)。第二十五頁第二十六頁，共72頁。答案（2）為的可去奇點.第二十六頁第二十七頁，共72頁。第二節(jié)留數(shù)定理第二十七頁第二十八頁，共72頁。R4.2.1留數(shù)定義及留數(shù)基本定理設(shè)為的一個孤立奇點,則存在R>0,內(nèi)Laurent在.使得f(z)在內(nèi)解析.級數(shù)為在內(nèi)取分段光滑正向簡單曲線C,

第二十八頁第二十九頁，共72頁。00.曲線C包含z0在其內(nèi)部.考慮積分根據(jù),積分與曲線C的選取無關(guān)

第二十九頁第三十頁，共72頁。即定義設(shè)z0是f(z)的孤立奇點,C是在z0的充分小鄰域內(nèi)包含z0在其內(nèi)部的分段光滑正向簡單曲線，積分稱為f(z)在z0點的留數(shù)(Residue),記做函數(shù)f(z)在孤立奇點z0點的留數(shù)即是其在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)Laurent級數(shù)-1次冪項的系數(shù).第三十頁第三十一頁，共72頁。留數(shù)定理

設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點外處處解析,C是D內(nèi)包含所有奇點在其內(nèi)部的分段光滑正向簡單閉曲線,則根據(jù)留數(shù)定理,函數(shù)在閉曲線f(z)上的積分可歸結(jié)為函數(shù)在曲線內(nèi)部各孤立奇點處留數(shù)的計算問題.第三十一頁第三十二頁，共72頁。證明分別以為中心,作半徑充分小的正向圓周...…C1C2Cn使得它們中的每個都在其余的外部,而都在C的內(nèi)部.根據(jù),再由留數(shù)的定義,即得第三十二頁第三十三頁，共72頁。第三節(jié)留數(shù)的計算第三十三頁第三十四頁，共72頁。(1)如果為的可去奇點,則如果為的1階極點,那么法則1成Laurent級數(shù),求(3)如果為的極點,則有如下計算規(guī)則(2)如果為的本性奇點,展開則需將)(zf留數(shù)的計算方法第三十四頁第三十五頁，共72頁。證明由于z0是f(z)的1階極點，所以在z0的某個去心鄰域內(nèi)的Laurent級數(shù)展開式為故所以第三十五頁第三十六頁，共72頁。例1求和在孤立奇點處的留數(shù).由于

z=0是g(z)的1階極點，于是易知z=1和z=2都是f(z)的1階極點，故第三十六頁第三十七頁，共72頁。法則2設(shè)及在都解析.如果那么為f(z)的1階極點,并且證明由條件易知z0是f(z)的1階極點.于是第三十七頁第三十八頁，共72頁。例2求在孤立奇點處的留數(shù).處解析，且所以是f(z)的1階極點，并且顯然和都在第三十八頁第三十九頁，共72頁。如果為的階極點,取正整數(shù)法則3證明由于z0是f(z)的m階極點，所以在z0的某個去心鄰域內(nèi)的Laurent級數(shù)展開式為那么因此第三十九頁第四十頁，共72頁。對上式求階導(dǎo)數(shù),得+(含有正冪的項),所以于是第四十頁第四十一頁，共72頁。例3求在z=-1處的留數(shù).解顯然z=-1是f(z)的n階極點，所以第四十一頁第四十二頁，共72頁。如果z0是f(z)的m階極點，有時在中取n>m來計算更為方便.例4求在z=0處的留數(shù).根據(jù)可知,z=0是f(z)的3階極點,在法則3中取n=5,則如果在法則3中取n=3,那么計算就要麻煩得多.第四十二頁第四十三頁，共72頁。例5計算積分其中C是的正向.的1階極點，并且都在C的內(nèi)部.所以根據(jù)留數(shù)定理和法則2,顯然是函數(shù)第四十三頁第四十四頁，共72頁。極點z=3在的外部.分別是f(z)的3階和1階極點,都在的內(nèi)部.而例6計算積分其中C是的正向.記顯然z=0和z=1第四十四頁第四十五頁，共72頁。于是，根據(jù)留數(shù)基本定理第四十五頁第四十六頁，共72頁。例7求在z=0處的留數(shù)，并求其中C是的正向.解易見z=0是函數(shù)f(z)的本性奇點，并且因此于是，根據(jù)留數(shù)基本定理第四十六頁第四十七頁，共72頁。小結(jié)留數(shù)定理留數(shù)的計算法則第四十七頁第四十八頁，共72頁。KarlWeierstrass(1815.10.31-1897.2.19)德國數(shù)學(xué)家.曾在波恩大學(xué)學(xué)習(xí)法律,1838年轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué).后來成為中學(xué)教師,不僅教數(shù)學(xué)、物理,還教寫作和體育,在這期間刻苦進行數(shù)學(xué)研究.1856年到柏林大學(xué)任教,1864年成為教授.Weierstrass是將嚴格的論證引入分析學(xué)的一位大師,他發(fā)現(xiàn)了處處不可微的連續(xù)函數(shù),與其他一些數(shù)學(xué)家一起共同結(jié)束了分析學(xué)的混亂局面.第四十八頁第四十九頁，共72頁。

一、形如

的積分

二、形如

的積分三、形如

的積分第三節(jié)

留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用四、小結(jié)與思考第四十九頁第五十頁，共72頁。一、形如的積分思想方法:封閉路線的積分.兩個重要工作:1)積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化2)被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化把定積分化為一個復(fù)變函數(shù)沿某條第五十頁第五十一頁，共72頁。形如當歷經(jīng)變程時,的正方向繞行一周.z沿單位圓周第五十一頁第五十二頁，共72頁。f(z)是有理函數(shù).如果在單位圓周內(nèi)部f(z)的所有孤立奇點.滿足的條件.單位圓周上分母不為零,1.被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化2.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化第五十二頁第五十三頁，共72頁。例1計算積分解則第五十三頁第五十四頁，共72頁。記，則第五十四頁第五十五頁，共72頁。若有理函數(shù)R(x)的分母至少比分子高兩次,并且分母在實軸上無孤立奇點.一般設(shè)分析可先討論最后令即可.二、形如的積分第五十五頁第五十六頁，共72頁。2.

積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線,使與區(qū)間一起構(gòu)成一條封閉曲線,并使R(z)在其內(nèi)部除有限孤立奇點外處處解析.(此法常稱為“圍道積分法”)1.

被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:(當z在實軸上的區(qū)間內(nèi)變動時,R(z)=R(x))可取

f(z)=R(z).第五十六頁第五十七頁，共72頁。這里可補線(以原點為中心,R為半徑的在上半平面的半圓周)與一起構(gòu)成封閉曲線C,R(z)在C及其內(nèi)部(除去有限孤立奇點）處處解析.取R適當大,使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點都包在這積分路線內(nèi).xy.z1.

z2.

zn…-RR第五十七頁第五十八頁，共72頁。根據(jù)留數(shù)定理得:當充分大時,總可使第五十八頁第五十九頁，共72頁。

R(z)在上半平面內(nèi)的全體孤立奇點

第五十九頁第六十頁，共72頁。例2計算廣義積分解記且和是f(z)在上半平面的孤立奇點,都是f(z)的1階極點.因此，第六十頁第六十一頁，共72頁。于是，第六十一頁第六十二頁，共72頁。積分存在要求:R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至