高考北師大版數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)學(xué)案7-1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖命題分析預(yù)測(cè)學(xué)科核心素養(yǎng)從近五年的考查情況來看，空間幾何體的三視圖是高考的重點(diǎn)，多以三視圖為背景考查幾何體的結(jié)構(gòu)特征，一般是選擇題、填空題，難度中等．通過空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖考查學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)．授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第134頁知識(shí)點(diǎn)一簡(jiǎn)單幾何體(1)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：①圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到；②圓錐可以由直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)得到；③圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到；④球可以由半圓或圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得到．(2)簡(jiǎn)單多面體的結(jié)構(gòu)特征：①棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形；②棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共點(diǎn)的三角形；③棱臺(tái)可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形．?溫馨提醒?1．認(rèn)識(shí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征時(shí)，易忽視定義，可借助于幾何模型強(qiáng)化對(duì)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)．2．臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，但一定強(qiáng)調(diào)截面與底面平行．1．下列說法正確的是()A．棱柱的側(cè)面都是矩形B．棱柱的側(cè)棱都相等C．棱柱的棱都平行D．棱柱的側(cè)棱總與底面垂直解析：由棱柱的定義知，棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，不一定都是矩形，故A不正確；因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等，故側(cè)棱都相等，所以B正確；對(duì)選項(xiàng)C，側(cè)棱都平行，但底面多邊形的邊(也是棱)不一定平行，所以錯(cuò)誤；棱柱的側(cè)棱可以與底面垂直也可以不與底面垂直，故D不正確．故選B．答案：B2．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的幾何體是()A．棱臺(tái) B．四棱柱C．五棱柱 D．六棱柱解析：長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D截去圖中部分后，因?yàn)镋H∥A′D′，所以FG∥A′D′，所以剩下的幾何體是五棱柱ABFEA′-DCGHD′．答案：C知識(shí)點(diǎn)二直觀圖(1)畫法：常用斜二測(cè)畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?溫馨提醒?直觀圖與原圖形面積的關(guān)系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形(或S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖)．1．下列說法正確的是()A．相等的角在直觀圖中仍然相等B．相等的線段在直觀圖中仍然相等C．正方形的直觀圖是正方形D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行解析：由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長(zhǎng)度都有可能改變，而線段的平行性不變．答案：D2．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝2，則原圖形OABC的面積為()A．24eq\r(2) B．12eq\r(2)C．48eq\r(2) D．20eq\r(2)解析：由題意知原圖形OABC是平行四邊形，且OA＝BC＝6，設(shè)平行四邊形OABC的高為OE，則OE×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4eq\r(2)，∴S?OABC＝6×4eq\r(2)＝24eq\r(2)．答案：A知識(shí)點(diǎn)三三視圖(1)幾何體的三視圖包括主視圖、左視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．說明：主視圖也稱正視圖，左視圖也稱側(cè)視圖．(2)三視圖的畫法①基本要求：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等．②畫法規(guī)則：主左一樣高，主俯一樣長(zhǎng)，左俯一樣寬；看不到的線畫虛線．?溫馨提醒?1．畫三視圖時(shí)，能看見的線和棱用實(shí)線表示，不能看見的線和棱用虛線表示．2．一物體放置的位置不同，所畫的三視圖可能不同．1．(易錯(cuò)題)沿一個(gè)正方體三個(gè)面的對(duì)角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖為()解析：給幾何體的各頂點(diǎn)標(biāo)上字母，如圖1．A，E在側(cè)投影面上的投影重合，C，G在側(cè)投影面上的投影重合，幾何體在側(cè)投影面上的投影及把側(cè)投影面展平后的情形如圖2所示，故正確選項(xiàng)為B．答案：B2．如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體是()A．四棱柱 B．三棱柱C．長(zhǎng)方體 D．三棱錐解析：將三視圖還原為直觀圖，如圖所示，該幾何體為三棱柱．答案：B授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第135頁題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1．下列結(jié)論正確的是（）A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線解析：A錯(cuò)誤．如圖所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．B錯(cuò)誤．如圖，若△ABC不是直角三角形，所得幾何體不是圓錐；若△ABC是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體也不是圓錐．C錯(cuò)誤．若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)．D正確．答案：D2．設(shè)有以下四個(gè)命題：①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；③直四棱柱是直平行六面體；④棱臺(tái)的相對(duì)側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)．其中真命題的序號(hào)是_________．解析：命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的．底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題②是錯(cuò)誤的．因?yàn)橹彼睦庵牡酌娌灰欢ㄊ瞧叫兴倪呅?，故命題③是錯(cuò)誤的．命題④由棱臺(tái)的定義知是正確的．答案：①④空間幾何體概念辨析題的常用方法定義法緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定反例法通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可題型二空間幾何體的直觀圖1．如圖所示為一個(gè)平面圖形的直觀圖，則它的實(shí)際形狀為（）A．平行四邊形 B．梯形C．菱形 D．矩形解析：由斜二測(cè)畫法可知在原四邊形ABCD中DA⊥AB并且AD∥BC，AB∥CD，故四邊形ABCD為矩形．答案：D2．（2021·桂林模擬）已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為（）A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2解析：如圖①、②為所示的平面圖形和直觀圖．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a．∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2．答案：D畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測(cè)畫法，其規(guī)則可以用“斜”（兩坐標(biāo)軸成45°或135°）和“二測(cè)”（平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半，平行于x軸和z軸的線段長(zhǎng)度不變）來掌握．對(duì)直觀圖的考查有兩個(gè)方向，一是已知原圖形求直觀圖的相關(guān)量，二是已知直觀圖求原圖形中的相關(guān)量．題型三空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是考查重點(diǎn)，主要在選擇題、填空題中考查，歸納起來?？冀嵌扔校海?）由空間幾何體判定三視圖．（2）由三視圖還原幾何體．（3）空間幾何體的三視圖的計(jì)算問題．考法（一）由空間幾何體判定三視圖[例1]（2021·宜賓模擬）已知棱長(zhǎng)都為2的正三棱柱ABC-A1B1C1的直觀圖如圖．若正三棱柱ABC-A1B1C1繞著它的一條側(cè)棱所在直線旋轉(zhuǎn)，則它的左視圖可以為（）[解析]由題知，四個(gè)選項(xiàng)的高都是2．若左視圖為A，則中間應(yīng)該有一條豎直的實(shí)線或虛線；若左視圖為C，則其中兩條側(cè)棱重合，不應(yīng)有中間豎線；若左視圖為D，則長(zhǎng)度應(yīng)為eq\r(3)，而不是1．[答案]B由空間幾何體判定三視圖的方法（1）根據(jù)三視圖的有關(guān)定義和規(guī)則先確定主視圖，再確定俯視圖，最后確定左視圖．（2）被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線，若相鄰兩個(gè)物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線；對(duì)于簡(jiǎn)單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線位置．考法（二）由三視圖還原幾何體[例2]（2020·高考全國卷Ⅱ）如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在主視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N，則該端點(diǎn)在左視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（）A．E B．FC．G D．H[解析]由三視圖還原幾何體，如圖所示，由圖可知，M點(diǎn)在左視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為E．[答案]A熟練掌握規(guī)則幾何體的三視圖是由三視圖還原幾何體的基礎(chǔ)，在明確三視圖畫法規(guī)則的基礎(chǔ)上，按以下步驟可輕松解決此類問題：考法（三）空間幾何體三視圖的有關(guān)計(jì)算問題[例3]（2021·衡陽模擬）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，B在平面α上，AB＝eq\r(2)．若平面A1B1C1D1與平面α所成角為30°，由如圖所示的俯視方向，正方體ABCD-A1B1C1D1在平面α上的俯視圖的面積為（）A．2 B．1＋eq\r(3)C．2eq\r(3) D．2eq\r(2)[解析]由題意得AB在平面α內(nèi)，且平面α與平面ABCD所成的角為30°，與平面B1A1AB所成的角為60°，故所得的俯視圖的面積S＝eq\r(2)×（eq\r(2)cos30°＋eq\r(2)cos60°）＝2（cos30°＋cos60°）＝1＋eq\r(3)．[答案]B在求解有關(guān)計(jì)算問題時(shí)，一定要注意抓住三視圖的要求，避免數(shù)據(jù)讀錯(cuò)，導(dǎo)致失誤．[題組突破]1．（2021·福州模擬）如圖為一圓柱切削后的幾何體及其主視圖，則相應(yīng)的左視圖可以是（）解析：圓柱被不平行于底面的平面所截，得到的截面為橢圓，結(jié)合主視圖，可知左視圖最高點(diǎn)在中間．答案：B2．（2021·武漢市高三二調(diào)）某幾何體的三視圖如圖所示，則從該幾何體的所有頂點(diǎn)中任取兩個(gè)頂點(diǎn)，它們之間距離的最大值為（）A．eq\r(3) B．eq\r(6)C．2eq\r(3) D．2eq\r(6)解析：由三視圖知，該幾何體是一個(gè)四棱柱，記為四棱柱ABCD-A1B1C1D1，將其放在如圖所示的長(zhǎng)方體中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，四棱柱的高為1，連接AC1，觀察圖形可知，幾何體中兩頂點(diǎn)間距離的最大值為AC1的長(zhǎng)，即eq\r(22＋12＋12)＝eq\r(6)．答案：B3．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是（）解析：選項(xiàng)A的主視圖、俯視圖不符合要求，選項(xiàng)B的主視圖、左視圖不符合要求，選項(xiàng)C的俯視圖不符合要求，通過觀察，選項(xiàng)D滿足要求．答案：D空間幾何體應(yīng)用中的核心素養(yǎng)直觀想象——空間幾何體的創(chuàng)新應(yīng)用[例]（2019·高考全國卷Ⅱ）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖①）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖②是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有個(gè)面，其棱長(zhǎng)為．[解析]先求面數(shù)，有如下兩種方法．法一：由“半正多面體”的結(jié)構(gòu)特征及棱數(shù)為48可知，其上部分有9個(gè)面，中間部分有8個(gè)面，下部分有9個(gè)面，共有2×9＋8＝26（個(gè)）面．法二：一般地，對(duì)于凸多面體頂點(diǎn)數(shù)（V）＋面數(shù)（F）－棱數(shù)（E）＝2．（歐拉公式）由題圖知，棱數(shù)為48的半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)為24．故由V＋F－E＝2，得面數(shù)F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26．再求棱長(zhǎng)．作中間部分的橫截面，由題意知該截面為各頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形上的正八邊形ABCDEFGH，如圖，設(shè)其邊長(zhǎng)為x，則正八邊形的邊長(zhǎng)即為棱長(zhǎng)．連接AF，過H，G分別作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分別為M，N，則AM＝MH＝NG＝NF＝eq\f(\r(2),2)x．又AM＋MN＋NF＝1，∴eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1．∴x＝eq\r(2)－1，即半正多面體的棱長(zhǎng)為eq\r(2)－1．[答案]26eq\r(2)－1通過直觀想象，化空間圖形為平面問題是求解此題的關(guān)鍵．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]（2020·高考全國卷Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（）A．eq\f(\r(5)－1,4) B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\f(\r(5)＋1,4) D．eq\f(\r(5)＋1,2)解析