八年級(jí)下數(shù)學(xué)壓軸題及答案

----.可修編..z.八年級(jí)下數(shù)學(xué)壓軸題1．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫(xiě)出理由，如果成立請(qǐng)證明；（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長(zhǎng)．（可利用（2）得到的結(jié)論）2．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE，過(guò)點(diǎn)C作CF∥DE交AB于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)（如圖①），求證：EF=CD；（2）在（1）的條件下直接寫(xiě)出△AEF和△ABC的面積比；（3）若點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)（除B、C外如圖②），則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=BE．求證：CE=CF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果∠GCE=45°，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：GE=BE+GD．（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面積．4．如圖，正方形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE，與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．連接EF，與CD邊交于點(diǎn)G，與對(duì)角線BD交于點(diǎn)H．（1）若BF=BD=，求BE的長(zhǎng)；（2）若∠ADE=2∠BFE，求證：FH=HE+HD．5．如圖，將一三角板放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于Q．探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為*．（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與PB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試證明你的猜想；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y，求y與*之間的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出函數(shù)自變量*的取值圍；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置．并求出相應(yīng)的*值，如果不可能，試說(shuō)明理由．6．Rt△ABC與Rt△FED是兩塊全等的含30°、60°角的三角板，按如圖（一）所示拼在一起，CB與DE重合．（1）求證：四邊形ABFC為平行四邊形；（2）取BC中點(diǎn)O，將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)鐘方向旋轉(zhuǎn)到如圖（二）中△A′B′C′位置，直線B'C'與AB、CF分別相交于P、Q兩點(diǎn)，猜想OQ、OP長(zhǎng)度的大小關(guān)系，并證明你的猜想；（3）在（2）的條件下，指出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角至少為多少度時(shí)，四邊形PCQB為菱形？（不要求證明）7．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F在CD邊上，射線AF交BD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：△ADE≌△CDE；（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥CE，交FG于點(diǎn)H，求證：FH=GH；（3）設(shè)AD=1，DF=*，試問(wèn)是否存在*的值，使△ECG為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出*的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F．（1）在圖1中證明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中點(diǎn)（如圖2），直接寫(xiě)出∠BDG的度數(shù)；（3）若∠ABC=120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數(shù)．9．如圖，已知?ABCD中，DE⊥BC于點(diǎn)E，DH⊥AB于點(diǎn)H，AF平分∠BAD，分別交DC、DE、DH于點(diǎn)F、G、M，且DE=AD．（1）求證：△ADG≌△FDM．（2）猜想AB與DG+CE之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．10．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、AB上兩點(diǎn)，且BE=BF，過(guò)點(diǎn)B作AE的垂線交AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作CF的垂線交BC于點(diǎn)H延長(zhǎng)線段AE、GH交于點(diǎn)M．（1）求證：∠BFC=∠BEA；（2）求證：AM=BG+GM．11．如圖所示，把矩形紙片OABC放入直角坐標(biāo)系*Oy中，使OA、OC分別落在*、y軸的正半軸上，連接AC，且AC=4，（1）求AC所在直線的解析式；（2）將紙片OABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合（折痕為EF），求折疊后紙片重疊部分的面積．（3）求EF所在的直線的函數(shù)解析式．12．已知一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B點(diǎn)（如圖），AE平分∠BAO，交*軸于點(diǎn)E．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求直線AE的表達(dá)式；（3）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F，連接OF，試判斷△OFB的形狀，并求△OFB的面積．（4）若將已知條件“AE平分∠BAO，交*軸于點(diǎn)E”改變?yōu)椤包c(diǎn)E是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)O、B重合）”，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F．設(shè)OE=*，BF=y，試求y與*之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域．13．如圖，直線l1的解析表達(dá)式為：y=﹣3*+3，且l1與*軸交于點(diǎn)D，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，直線l1，l2交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求直線l2的解析表達(dá)式；（3）求△ADC的面積；（4）在直線l2上存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P，使得△ADP與△ADC的面積相等，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．14．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)方形OACB的頂點(diǎn)A、B分別在*軸與y軸上，已知OA=6，OB=10．點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿線段AC﹣CB的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求直線DP的函數(shù)解析式；（2）①求△OPD的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式；②如圖②，把長(zhǎng)方形沿著OP折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在AC邊上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在使△BDP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知O為原點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形，A、B、C的坐標(biāo)分別是A（﹣5，1），B（﹣2，4），C（5，4），點(diǎn)D在第一象限．（1）寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)B、D兩點(diǎn)的直線的解析式，并求線段BD的長(zhǎng)；（3）將平行四邊形ABCD先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得的四邊形A1B1C1D1四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？并求出平行四邊形ABCD與四邊A1B1C1D1重疊部分的面積．16．如圖，一次函數(shù)的圖象與*軸、y軸交于點(diǎn)A、B，以線段AB為邊在第一象限作等邊△ABC，（1）求△ABC的面積；（2）如果在第二象限有一點(diǎn)P（a，）；試用含有a的代數(shù)式表示四邊形ABPO的面積，并求出當(dāng)△ABP的面積與△ABC的面積相等時(shí)a的值；（3）在*軸上，是否存在點(diǎn)M，使△MAB為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．----.可修編..z.2018年06月17日梧桐聽(tīng)雨的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．解答題（共16小題）1．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：AH=AB；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫(xiě)出理由，如果成立請(qǐng)證明；（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長(zhǎng)．（可利用（2）得到的結(jié)論）【解答】解：（1）如圖①AH=AB．（2）數(shù)量關(guān)系成立．如圖②，延長(zhǎng)CB至E，使BE=DN．∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，，∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，∵∠DAN+∠BAN=45°，∴∠EAB+∠BAN=45°，∴∠EAN=45°，∴∠EAM=∠NAM=45°，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM．∴S△AEM=S△ANM，EM=MN，∵AB、AH是△AEM和△ANM對(duì)應(yīng)邊上的高，∴AB=AH．（3）如圖③分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°．分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C，得正方形ABCD，由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD．設(shè)AH=*，則MC=*﹣2，NC=*﹣3，在Rt△M中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC2∴52=（*﹣2）2+（*﹣3）2（6分）解得*1=6，*2=﹣1．（不符合題意，舍去）∴AH=6．2．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE，過(guò)點(diǎn)C作CF∥DE交AB于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)（如圖①），求證：EF=CD；（2）在（1）的條件下直接寫(xiě)出△AEF和△ABC的面積比；（3）若點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)（除B、C外如圖②），則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，且∠BAD=∠BAC=30°，∵△AED是等邊三角形，∴AD=AE，∠ADE=60°，∴∠EDB=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°，∵∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=30°，∴∠ACF=∠BAD=30°，在△ABD和△CAF中，，∴△ABD≌△CAF（ASA），∴AD=CF，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四邊形EDCF是平行四邊形，∴EF=CD．（2）解：△AEF和△ABC的面積比為：1：4；（易知AF=BF，延長(zhǎng)EF交AD于H，△AEF的面積=?EF?AH=?CB?AD=??BC?AD，由此即可證明）（3）解：成立．理由如下：∵ED∥FC，∴∠EDB=∠FCB，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB∴∠AFC=∠BDA，在△ABD和△CAF中，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD=FC，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四邊形EDCF是平行四邊形，∴EF=DC．3．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=BE．求證：CE=CF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果∠GCE=45°，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：GE=BE+GD．（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，∵∠ADC=90°，∴∠FDC=90°．∴∠B=∠FDC，∵BE=DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE=CF．（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE，連接CF．由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG．∴GE=GF，∴GE=GF=DF+GD=BE+GD．（3）解：如圖3，過(guò)C作CG⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于G．在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°，又∵∠CGA=90°，AB=BC，∴四邊形ABCG為正方形．∴AG=BC．…（7分）∵∠DCE=45°，根據(jù)（1）（2）可知，ED=BE+DG．…（8分）∴10=4+DG，即DG=6．設(shè)AB=*，則AE=*﹣4，AD=*﹣6，在Rt△AED中，∵DE2=AD2+AE2，即102=（*﹣6）2+（*﹣4）2．解這個(gè)方程，得：*=12或*=﹣2（舍去）．…（9分）∴AB=12．∴S梯形ABCD=（AD+BC）?AB=×（6+12）×12=108．即梯形ABCD的面積為108．…（10分）4．如圖，正方形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE，與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．連接EF，與CD邊交于點(diǎn)G，與對(duì)角線BD交于點(diǎn)H．（1）若BF=BD=，求BE的長(zhǎng)；（2）若∠ADE=2∠BFE，求證：FH=HE+HD．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD正方形，∴∠BCD=90°，BC=CD，∴Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，即BC2=（）2﹣（BC）2，∴BC=AB=1，∵DF⊥DE，∴∠ADE+∠EDC=90°=∠EDC+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，∵，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF=BF﹣BC=﹣1，∴BE=AB﹣AE=1﹣（﹣1）=2﹣；（2）證明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，∵△ADE≌△CDF，∴DE=DF，∴△DEF為等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，∵∠DHE=∠BHF，∴∠EDH=∠BFH（三角形的角和定理），在△DEH和△DFI中，∵，∴△DEH≌△DFI（SAS），∴DH=DI，又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，∴∠HDE=∠BFE=∠ADE，∵∠HDE+∠ADE=45°，∴∠HDE=15°，∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，即△DHI為等邊三角形，∴DH=HI，∴FH=FI+HI=HE+HD．5．如圖，將一三角板放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于Q．探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為*．（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與PB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試證明你的猜想；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y，求y與*之間的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出函數(shù)自變量*的取值圍；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置．并求出相應(yīng)的*值，如果不可能，試說(shuō)明理由．【解答】解：（1）PQ=PB，（1分）過(guò)P點(diǎn)作MN∥BC分別交AB、DC于點(diǎn)M、N，在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，∴AM=PM，又∵AB=MN，∴MB=PN，∵∠BPQ=90°，∴∠BPM+∠NPQ=90°；又∵∠MBP+∠BPM=90°，∴∠MBP=∠NPQ，在Rt△MBP≌Rt△NPQ中，∵∴Rt△MBP≌Rt△NPQ，（2分）∴PB=PQ．（2）∵S四邊形PBCQ=S△PBC+S△PCQ，∵AP=*，∴AM=*，∴CQ=CD﹣2NQ=1﹣*，又∵S△PBC=BC?BM=?1?（1﹣*）=﹣*，S△PCQ=CQ?PN=（1﹣*）?（1﹣*），=﹣+，∴S四邊形PBCQ=﹣*+1．（0≤*≤）．（4分）（3）△PCQ可能成為等腰三角形．①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，PQ=QC，此時(shí)，*=0．（5分）②當(dāng)點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上，且CP=CQ時(shí)，（6分）有：QN=AM=PM=*，CP=﹣*，=CP=1﹣*，CQ=QN﹣=*﹣（1﹣*）=*﹣1，∴當(dāng)﹣*=*﹣1時(shí)，*=1．（7分）．6．Rt△ABC與Rt△FED是兩塊全等的含30°、60°角的三角板，按如圖（一）所示拼在一起，CB與DE重合．（1）求證：四邊形ABFC為平行四邊形；（2）取BC中點(diǎn)O，將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)鐘方向旋轉(zhuǎn)到如圖（二）中△A′B′C′位置，直線B'C'與AB、CF分別相交于P、Q兩點(diǎn)，猜想OQ、OP長(zhǎng)度的大小關(guān)系，并證明你的猜想；（3）在（2）的條件下，指出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角至少為多少度時(shí)，四邊形PCQB為菱形？（不要求證明）【解答】（1）證明：∵△ABC≌△FCB，∴AB=CF，AC=BF．∴四邊形ABFC為平行四邊形．（2）解：OP=OQ，理由如下：∵OC=OB，∠COQ=∠BOP，∠OCQ=∠PBO，∴△COQ≌△BOP．∴OQ=OP．（3）解：90°．理由：∵OP=OQ，OC=OB，∴四邊形PCQB為平行四邊形，∵BC⊥PQ，∴四邊形PCQB為菱形．7．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F在CD邊上，射線AF交BD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：△ADE≌△CDE；（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥CE，交FG于點(diǎn)H，求證：FH=GH；（3）設(shè)AD=1，DF=*，試問(wèn)是否存在*的值，使△ECG為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出*的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠1=∠2=45°，DE=DE，∴△ADE≌△CDE．（2）證明：∵△ADE≌△CDE，∴∠3=∠4，∵CH⊥CE，∴∠4+∠5=90°，又∵∠6+∠5=90°，∴∠4=∠6=∠3，∵AD∥BG，∴∠G=∠3，∴∠G=∠6，∴CH=GH，又∵∠4+∠5=∠G+∠7=90°，∴∠5=∠7，∴CH=FH，∴FH=GH．（3）解：存在符合條件的*值此時(shí)，∵∠ECG＞90°，要使△ECG為等腰三角形，必須CE=CG，∴∠G=∠8，又∵∠G=∠4，∴∠8=∠4，∴∠9=2∠4=2∠3，∴∠9+∠3=2∠3+∠3=90°，∴∠3=30°，∴*=DF=1×tan30°=．8．在?ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F．（1）在圖1中證明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中點(diǎn)（如圖2），直接寫(xiě)出∠BDG的度數(shù)；（3）若∠ABC=120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數(shù)．【解答】（1）證明：如圖1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，∴∠CEF=∠F．∴CE=CF．（2）解：連接GC、BG，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90°，∴四邊形ABCD為矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°∴△ECF為等腰直角三角形，∵G為EF中點(diǎn)，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE為等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG與△DCG中，∵，∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG，∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGA+∠DGA=90°，∴△DGB為等腰直角三角形，∴∠BDG=45°．（3）解：延長(zhǎng)AB、FG交于H，連接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四邊形AHFD為平行四邊形∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°∴△DAF為等腰三角形∴AD=DF，∴CE=CF，∴平行四邊形AHFD為菱形∴△ADH，△DHF為全等的等邊三角形∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF在△BHD與△GFD中，∵，∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°9．如圖，已知?ABCD中，DE⊥BC于點(diǎn)E，DH⊥AB于點(diǎn)H，AF平分∠BAD，分別交DC、DE、DH于點(diǎn)F、G、M，且DE=AD．（1）求證：△ADG≌△FDM．（2）猜想AB與DG+CE之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAF=∠DFA，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=FD，∵DE⊥BC，DH⊥AB，∴∠ADG=∠FDM=90°，在△ADG和△FDM中，，∴△ADG≌△FDM（ASA）．（2）AB=DG+EC．證明：延長(zhǎng)GD至點(diǎn)N，使DN=CE，連接AN，∵DE⊥BC，AD∥BC，∴∠ADN=∠DEC=90°，在△ADN和△DEC中，，∴△ADN≌△DEC（SAS），∴∠NAD=∠CDE，AN=DC，∵∠NAG=∠NAD+∠DAG，∠NGA=∠CDE+∠DFA，∴∠NAG=∠NGA，∴AN=GN=DG+CE=DC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∴AB=DG+EC．10．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、AB上兩點(diǎn)，且BE=BF，過(guò)點(diǎn)B作AE的垂線交AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作CF的垂線交BC于點(diǎn)H延長(zhǎng)線段AE、GH交于點(diǎn)M．（1）求證：∠BFC=∠BEA；（2）求證：AM=BG+GM．【解答】證明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠BFC=∠BEA；（2）連接DG，在△ABG和△ADG中，，∴△ABG≌△ADG（SAS），∴BG=DG，∠2=∠3，∵BG⊥AE，∴∠BAE+∠2=90°，∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，∴∠2=∠3=∠4，∵GM⊥CF，∴∠BCF+∠1=90°，又∠BCF+∠BFC=90°，∴∠1=∠BFC=∠2，∴∠1=∠3，在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，∴∠DGC也是△CGH的外角，∴D、G、M三點(diǎn)共線，∵∠3=∠4（已證），∴AM=DM，∵DM=DG+GM=BG+GM，∴AM=BG+GM．11．如圖所示，把矩形紙片OABC放入直角坐標(biāo)系*Oy中，使OA、OC分別落在*、y軸的正半軸上，連接AC，且AC=4，（1）求AC所在直線的解析式；（2）將紙片OABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合（折痕為EF），求折疊后紙片重疊部分的面積．（3）求EF所在的直線的函數(shù)解析式．【解答】解：（1）∵=，∴可設(shè)OC=*，則OA=2*，在Rt△AOC中，由勾股定理可得OC2+OA2=AC2，∴*2+（2*）2=（4）2，解得*=4（*=﹣4舍去），∴OC=4，OA=8，∴A（8，0），C（0，4），設(shè)直線AC解析式為y=k*+b，∴，解得，∴直線AC解析式為y=﹣*+4；（2）由折疊的性質(zhì)可知AE=CE，設(shè)AE=CE=y，則OE=8﹣y，在Rt△OCE中，由勾股定理可得OE2+OC2=CE2，∴（8﹣y）2+42=y2，解得y=5，∴AE=CE=5，∵∠AEF=∠CEF，∠CFE=∠AEF，∴∠CFE=∠CEF，∴CE=CF=5，∴S△CEF=CF?OC=×5×4=10，即重疊部分的面積為10；（3）由（2）可知OE=3，CF=5，∴E（3，0），F(xiàn)（5，4），設(shè)直線EF的解析式為y=k′*+b′，∴，解得，∴直線EF的解析式為y=2*﹣6．12．已知一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B點(diǎn)（如圖），AE平分∠BAO，交*軸于點(diǎn)E．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求直線AE的表達(dá)式；（3）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F，連接OF，試判斷△OFB的形狀，并求△OFB的面積．（4）若將已知條件“AE平分∠BAO，交*軸于點(diǎn)E”改變?yōu)椤包c(diǎn)E是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)O、B重合）”，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F．設(shè)OE=*，BF=y，試求y與*之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域．【解答】解：（1）對(duì)于y=﹣*+6，當(dāng)*=0時(shí)，y=6；當(dāng)y=0時(shí)，*=8，∴OA=6，OB=8，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：AB=10，則A（0，6），B（8，0）；（2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為G（如圖1所示），∵AE平分∠BAO，EO⊥AO，EG⊥AG，∴EG=OE，在Rt△AOE和Rt△AGE中，，∴Rt△AOE≌Rt△AGE（HL），∴AG=AO，設(shè)OE=EG=*，則有BE=8﹣*，BG=AB﹣AG=10﹣6=4，在Rt△BEG中，EG=*，BG=4，BE=8﹣*，根據(jù)勾股定理得：*2+42=（8﹣*）2，解得：*=3，∴E（3，0），設(shè)直線AE的表達(dá)式為y=k*+b（k≠0），將A（0，6），E（3，0）代入y=k*+b得：，解得：，則直線AE的表達(dá)式為y=﹣2*+6；（3）延長(zhǎng)BF交y軸于點(diǎn)K（如圖2所示），∵AE平分∠BAO，∴∠KAF=∠BAF，又BF⊥AE，∴∠AFK=∠AFB=90°，在△AFK和△AFB中，∵，∴△AFK≌△AFB，∴FK=FB，即F為KB的中點(diǎn)，又∵△BOK為直角三角形，∴OF=BK=BF，∴△OFB為等腰三角形，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥OB，垂足為H（如圖2所示），∵OF=BF，F(xiàn)H⊥OB，∴OH=BH=4，∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，設(shè)F（4，y），將F（4，y）代入y=﹣2*+6，得：y=﹣2，∴FH=|﹣2|=2，則S△OBF=OB?FH=×8×2=8；（4）在Rt△AOE中，OE=*，OA=6，根據(jù)勾股定理得：AE==，又BE=OB﹣OE=8﹣*，S△ABE=AE?BF=BE?AO（等積法），∴BF==（0＜*＜8），又BF=y，則y=（0＜*＜8）．13．如圖，直線l1的解析表達(dá)式為：y=﹣3*+3，且l1與*軸交于點(diǎn)D，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，直線l1，l2交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求直線l2的解析表達(dá)式；（3）求△ADC的面積；（4）在直線l2上存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P，使得△ADP與△ADC的面積相等，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）由y=﹣3*+3，令y=0，得﹣3*+3=0，∴*=1，∴D（1，0）；（2）設(shè)直線l2的解析表達(dá)式為y=k*+b，由圖象知：*=4，y=0；*=3，，代入表達(dá)式y(tǒng)=k*+b，∴，∴，∴直線l2的解析表達(dá)式為；（3）由，解得，∴C（2，﹣3），∵AD=3，∴S△ADC=×3×|﹣3|=；（4）△ADP與△ADC底邊都是AD，面積相等所以高相等，△ADC高就是點(diǎn)C到直線AD的距離，即C縱坐標(biāo)的絕對(duì)值=|﹣3|=3，則P到AD距離=3，∴P縱坐標(biāo)的絕對(duì)值=3，點(diǎn)P不是點(diǎn)C，∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)是3，∵y=1.5*﹣6，y=3，∴1.5*﹣6=3*=6，所以P（6，3）．14．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)方形OACB的頂點(diǎn)A、B分別在*軸與y軸上，已知OA=6，OB=10．點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿線段AC﹣CB的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求直線DP的函數(shù)解析式；（2）①求△OPD的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式；②如圖②，把長(zhǎng)方形沿著OP折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在AC邊上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在使△BDP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵OA=6，OB=10，四邊形OACB為長(zhǎng)方形，∴C（6，10）．設(shè)此時(shí)直線DP解析式為y=k*+b，把（0，2），C（6，10）分別代入，得，解得則此時(shí)直線DP解析式為y=*+2；（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，OD=2，高為6，S=6；當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，OD=2，高為6+10﹣2t=16﹣2t，S=×2×（16﹣2t