人教版高中數(shù)列知識點總結(jié)(知識點+例題)

Lesson6數(shù)列知識點1：等差數(shù)列及其前n項1．等差數(shù)列的定義2．等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列怙｝的首項為a,公差為d,那么它的通項公式an=ai+(n—l)d.等差中項1如果A=a++b，那么A叫做a與b的等差中項.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an=am+(n-m)d,(n,m^N*).⑵若｛a”｝為等差數(shù)列，且k+l=m+n,(k,l,m,n^N*)，貝Vak+ai一am+an.(3)若｛an｝是等差數(shù)列，公差為d則｛a2n｝也是等差數(shù)列，公差為2d.⑷若｛an｝,｛bn｝是等差數(shù)列，則｛pan+qbn｝也是等差數(shù)列.(5)若｛an｝是等差數(shù)列，公差為d則ak，ak+m，ak+2m，…(k，m^N*)是公差為md的等差數(shù)列.等差數(shù)列的前n項和公式n(a]+an)n(n_1),設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差d其前n項和Sn=—分亠或Sn=na]+—2—d.等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn=2n2+[a]—》n.數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列Sn=An2+Bn,(A、B為常數(shù)).等差數(shù)列的最值在等差數(shù)列｛a｝中，a1>0,d<0,則S存在最大值；若a1<0,d>0,則S存在最小值.“““[難點正本疑點清源]1.等差數(shù)列的判定(1)定義法：(1)定義法：an'an-1=d(n±2)；⑵等差中項法：2an+1=an+an+2.2．等差數(shù)列與等差數(shù)列各項和的有關(guān)性質(zhì)am，am+k，am+2k，°m+3k，…仍是等差數(shù)列，公差為kd數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．⑷若n為偶數(shù)，則S偶_S奇二為.若n為奇數(shù)，則S奇-S偶二a中(中間項).11n－1(n±2,n^N*),數(shù)n－1(n±2,n^N*),數(shù)(1)求證：數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列；⑵求數(shù)列｛an｝中的最大項和最小項，并說明理由.(1)證明"2-(n±2,n^N*)an－11

a-1n?°?n±2時bnbn-1n-11

a-1n1an-1-11：n2-——、an-1J1an-1-1word格式-可編輯-感謝下載支持例1(等差數(shù)列的判定或證明)：已知數(shù)列｛an｝中，竹=5,an=2列｛bn｝滿足b尸占(n^N*).na1二一n-^-—1—二1.a-1a-1n-1n-1???數(shù)列｛b｝是以-2為首項，1為公差的等差數(shù)列.n2(2)解由⑴知,(2)解由⑴知,bn=n-2n-7設(shè)函數(shù)f設(shè)函數(shù)f(x)=1+22x-7易知fx)在區(qū)間(-00,H和￡，+鬥內(nèi)為減函數(shù).?當(dāng)n=3時，an取得最小值-1；當(dāng)n=4時，an取得最大值3.例2(等差數(shù)列的基本量的計算)設(shè)a1，d為實數(shù)，首項為a,公差為d的等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，滿足S5S6+15=0.若S5=5，求S6及a1-15石=-15石=-3，a6=S6-S5=-8-解(1)由題意知s6=5a,+10d=5,所叫1a】+5d=-8.解得a1=7，所以S6=-3，a1=7.(2)方法一S5S6+15=0，?(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0，即2a21+9da1+10d2+1=0.因為關(guān)于a1的一元二次方程有解，所以A=81d2-8(10d2+1)=d2-8三0,解得dW-2護或d±2\2方法二S5S6+15=0，wordword格式-可編輯-感謝下載支持II(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,9da1+10d2+1=0.故(4。］+9d)2=di-8?所以d2±8.故d的取值范圍為dW-2護或.卩.例3(前n項和及綜合應(yīng)用)(1)在等差數(shù)列｛an｝中，已知a1=20,前n項和為S”，且S10=S15，求當(dāng)n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知數(shù)列｛an｝的通項公式是a”=4n—25，求數(shù)列｛la」｝的前n項和.解方法一Va1=20,S10=S15,TOC\o"1-5"\h\z10X915X145???10X20+-^-d二15X20+2—d,Ad=-3.f5A_565..an=20+(n-1)XI-3I--3n+3..*.a13-0，即當(dāng)nW12時，an>0,n±14時，an<0,12X115方法二同方法一求得d--~5n(n-1?Sn-20n+—亍???當(dāng)n-12或13時，Sn取得最大值，且最大值為S13方法二同方法一求得d--~5n(n-1?Sn-20n+—亍丄3125224.???n$N*，?當(dāng)n-12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12-S13-130.⑵Van-4n-25,an+1-4(n+1)-25,?an+1-an-4-d，又a1-4X1-25--21?所以數(shù)列｛an｝是以-21為首項，以4為公差的遞增的等差數(shù)列.a-4n-25<0,令I(lǐng)nan+1-4(n+1)-2520,由①得n<6i；由②得n25i，所以n-6.即數(shù)列｛氣|｝的前6項是以21為首項，公差為-4的等差數(shù)列，從第7項起以后各項構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，而1a7l-a7-4X7-24-3.設(shè)｛|織啲前n項和為Tn，則n(n－1)J21n+—2X(-4)(nW6)n66+3(n66+3(n－6)+(n-6)(n-7)2X4(n27)-2n2+23n(nW6),2n2-23n+132(n三7).wordword格式-可編輯-感謝下載支持word格式-可編輯-感謝下載支持例4，已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差為3例5等差數(shù)列｛a｝,｛b｝的前n項和分別為｛S｝,｛T｝，且T^~7?+竽，則使得b為正整數(shù)的正整數(shù)nnnnTn—3bnnn的個數(shù)是3.（先求an/bnn=5,13,35）已知遞推關(guān)系求通項：這類問題的要求不高，但試題難度較難把握.一般有三常見思路：（1）算出前幾項，再歸納、猜想；（2）“an+1=pan+q”這種形式通常轉(zhuǎn)化為an+1+^=p（an+入），由待定系數(shù)法求出，再化為等比數(shù)列；（3）逐差累加或累乘法.例6已知數(shù)列b中，ai=1，當(dāng)n$2時，其前n項和S滿足a=磐二，則數(shù)列｛a｝的通項公n13nn2S—1nn式為2_一GG式為2_一GG1-324S—Snn—12S2n11nS一S=2SSn—=2（n工2）n—1nnn—1SSnn一1nSnSn1

2n+Jaaaaa=L?n=t3?2?anaaaa1n-1n-221例7在數(shù)列｛a｝中，a=2，a=a+ln（l+丄），則a=口",n1n+1nnn知識點2：等比數(shù)列及其n項和1．等比數(shù)列的定義2．等比數(shù)列的通項公式3．等比中項若G2=a?b（abHO），那么G叫做a與b的等比中項.4．等比數(shù)列的常用性質(zhì)（1）通項公式的推廣：an=anqn~m，（n，m^N*）.⑵若｛an｝為等比數(shù)列，且k+l=m+n，（k，1，m，n^N*），ak?al=am?an?（3）若｛an｝，｛bn｝（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，^卩｛帆｝（九工0），

1]撲｛a1]撲｛an｝,｛氣伸,'an

b1仍是等比數(shù)列l(wèi)njInj5.等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列｛an｝的公比為q(qHO),其前n項和為Sn，當(dāng)q=l時，Sn=na］；當(dāng)qHl時,牛―％q]_當(dāng)qHl時,牛―％q]_q*S——nl－q6.等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)公比不為一l的等比數(shù)列｛a｝的前n項和為S，則S,S2—S,S3—S2仍成等比數(shù)列，其公比為qn7.等比數(shù)列的單調(diào)性q>10<q<1q=1q<0a>0遞增遞減常數(shù)列擺動數(shù)列a<0遞減遞增常數(shù)列擺動數(shù)列【難點】l.等比數(shù)列的特征從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項都是非零的，公比q也是非常數(shù)．2．等比數(shù)列中的函數(shù)觀點利用函數(shù)、方程的觀點和方法，揭示等比數(shù)列的特征及基本量之間的關(guān)系．在借用指數(shù)函數(shù)討論單調(diào)性時，要特別注意首項和公比的大?。??等比數(shù)列的前n項和Sn(l)等比數(shù)列的前n項和Sn是用錯位相減法求得的注意這種思想方法在數(shù)列求和中的運用.(2)等比數(shù)列的通項公式an=(2)等比數(shù)列的通項公式an=1及前n項和公式Sna1(1-qn)_a1-anql－ql－q(qHl)共涉及五個量a,anlqlnlSnl知三求二，體現(xiàn)了方程的思想的應(yīng)用.⑶在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，如果不確定q與l的關(guān)系，一般要用分類討論的思想，分公比q_l和qHl兩種情況.例1：(l)在等比數(shù)列｛an｝中，已知a6—a4——24,a3a5——64，求｛aj的前8項和S8；⑵設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q(q>0)，它的前n項和為40，前2n項和為3280，且前n項中數(shù)值最大的項為27，求數(shù)列的第2n項.⑴設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為q,由通項公式analqn-l及已知條件得：a6-a4_alq3(q2-l)_24,①<a3?a5_(alq3)2_64.②由②得a、q3=±8.將aiq3=-8代入①式，得q2=-2,無解將=8代入①式，得q2=4,Aq=±2.,故舍去．當(dāng)q=2時，°]=1,.?」8二勺=255；181-q當(dāng)2時?a1(1-q8)85當(dāng)q=-2時，°]=-1,.収二一1=85.181-q(2)若q=1，則na1=40,2na1=3280，矛盾.<??qH1,??a(1-qn)二.=40,1-qa1(1-q2n)1=3280,1-q①得：*=82，?心81,將③代入①得q二1+2a「又?/q>0,Aq>1,Aa1>0,｛°」為遞增數(shù)列.an=a1qn-1=27，由③、④、⑤得q=3,a1=1,n=4.?a2=a8=1X37=2187.2n8例2已知數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，數(shù)列｛bn｝中，b1=a1，bn=an_an-1(n±2)，且an+Sn=n.⑴設(shè)cn=an—1,求證:｛cn｝是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列｛bn｝的通項公式.1)證明an+Sn=n,an+1+Sn+1=n+1.②-①得an+12an+1=an+1an+1-1=1??an-12T首項c1=a1-1?c??a1=2,??c]二又cn=an-1，an+an+1=1，nn+1，?2(an+1-1)=an-1，n+1n???{an-i}是等比數(shù)列.1,又a1+a1=1,-2,公比q=2-???｛cn｝是以-2為首項，1為公比的等比數(shù)列.n-i(2)解由(1)可知cnn2).???當(dāng)n±2時，bn=an-an-11-費1n-"2).???當(dāng)n±2時，bn=an-an-11-費1n-"=(2》.n－4.…an=a§qn-5(2)*.*a3a4a5=8,又a3a5=a￡,?a?=8,a4=2.?a2a3a4a5a6=a45=25=32.例4已知數(shù)列｛aj滿足a1=1,a2=2,a”+2(1)令bn=an+]—a”，證明：｛b”｝是等比數(shù)列；⑵求｛an｝的通項公式.規(guī)范解答(1)證明b1=a2-a1=1，當(dāng)n±2時，b=a〔nn+1anan-1+an2-11-2(an-an-1)=-???｛bn｝是首項為1，公比為-￡的等比數(shù)列?[1分][5分][6分](2)解由(1)知bn=an+1當(dāng)n±2時，aan|｝-1-an-1)[8分][10分]?°?a=c+1=1-nn=1-|B又b、=a、=￡代入上式也符合，?:bn=]2).例3在等比數(shù)列｛an｝中，（1）若已知a2=4,a5=—￡，求a”；（2）若已矢口a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.解⑴設(shè)公比為q,則汁3,即q3=-|,??.q=-2[14分[14分]_2—.（三角函數(shù)）n-1當(dāng)n=1時，3-I]-g1-1=1二Q]例4（07重慶11）設(shè)\'勃是1-a和1+a的等比中項，則a+3b的最大值為.例5若數(shù)列1,2cos0,22cos20,23cos30,…，前100項之和為0,則。的值為（）例簸於鈔2的三內(nèi)角成等差數(shù)列，三邊成等比數(shù)列，則三角形的形狀為—等邊三角形?【綜合應(yīng)用】word格式-可編輯-感謝下載支持例7?已知等差數(shù)列｛an｝的首項a1=1,公差d>0,且第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列｛bn｝的第2項、第3項、第4項.⑴求數(shù)列｛an｝與｛bn｝的通項公式；C]+C]+c2+c3c2013⑵設(shè)數(shù)列｛cn｝對n^N*均有才+曠礦=an屮成立,12n解(1)由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,(1+4d)2=(1+d)(1+13d).解得d=2(°?°d>0).:.a=1+(n-1)^2=2n-1.n又b2=a2=3,b3=a5=9,:數(shù)列｛化｝的公比為3,:?b二3?3n-2=3n-1.n二a

b二a

bnn+1當(dāng)心時說+*…c-1?+_1二ab]"?n－1兩式相減得：n三2時，、=a1-a=2.bn+1nn:?c=2b二2?3n-1(n±2).nn又當(dāng)n=1時，牛二篤，：.^二3.b1213(n二1).：c=<.n[2?3n-1(n±2)：C1+C2+C3+^+C20136-2X32013=3+=3+(-3+32013)=320131－3知識點3：數(shù)列的基本知識1,a與S的關(guān)系：a二S（n二1）或S-Snnn1nn-1TOC\o