2023新教材高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)第一部分專題攻略專題四立體幾何第二講空間位置關(guān)系空間角與空間距離

第二講空間位置關(guān)系、空間角與空間距離微專題1空間位置關(guān)系常考常用結(jié)論1．直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α.(2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β.(4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.2．直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α.(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.(4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.保分題1.[2022·山東煙臺三模]若a和α分別為空間中的直線和平面，則“a⊥α”是“a垂直α內(nèi)無數(shù)條直線”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．[2022·北京東城三模]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為CC1，D1C1的中點，則下列直線中與直線BE相交的是()A．直線A1F B．直線AD1C．直線C1D1 D．直線AA13．[2022·福建福州三模]在底面半徑為1的圓柱OO1中，過旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB＝2，E是BC的中點，F(xiàn)是AB的中點，則()A．AE＝CF，AC與EF是共面直線B．AE≠CF，AC與EF是共面直線C．AE＝CF，AC與EF是異面直線D．AE≠CF，AC與EF是異面直線提分題例1(1)[2022·山東淄博一模](多選)若m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的有()A．若α∥β，m?α，則m∥βB．若α⊥β，m⊥α，則m∥βC．若m∥n，m⊥α，則n⊥αD．若m⊥n，m∥α，則n∥α(2)[2022·全國乙卷]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則()A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D聽課筆記：【技法領(lǐng)悟】1．根據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項判斷來解決問題；2．必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理來進行判斷．鞏固訓(xùn)練11.[2022·湖南衡陽二模]設(shè)m、n是空間中兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥βB．若m?α，n?β，α∥β，則m∥nC．若m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥nD．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β2．[2022·廣東廣州三模]一幾何體的平面展開圖如圖所示，其中四邊形ABCD為正方形，E、F分別為PB、PC的中點，在此幾何體中，下面結(jié)論錯誤的是()A．直線AE與直線BF異面B．直線AE與直線DF異面C．直線EF∥平面PADD．直線EF∥平面ABCD微專題2空間角與距離?？汲Ｓ媒Y(jié)論1．直線與直線的夾角若n1，n2分別為直線l1，l2的方向向量，θ為直線l1，l2的夾角，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝n12．直線與平面的夾角設(shè)n1是直線l的方向向量，n2是平面α的法向量，直線與平面的夾角為θ.則sinθ＝|cos〈n1，n2〉|＝n13．平面與平面的夾角若n1，n2分別為平面α，β的法向量，θ為平面α，β的夾角，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝n14．點到直線的距離：已知A，B是直線l上任意兩點，P是l外一點，PQ⊥l，則點P到直線l的距離為PQ＝AP2-AQ5．求點到平面的距離已知平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的任一點，P是平面α外一點，過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則點P到平面α的距離為|PQ|＝AP·保分題1.[2022·遼寧遼陽二模]在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB，AD＝3AB，則PC與底面ABCD所成角的正切值為()A．13 B．C．1010 D．2．[2022·廣東茂名二模]正三棱錐S-ABC的底面邊長為4，側(cè)棱長為23，D為棱AC的中點，則異面直線SD與AB所成角的余弦值為________.3．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點E是A1B1的中點，則點A到直線BE的距離是________．提分題例2(1)若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底邊長為2，∠B1AB＝π3，E是D1D的中點，則A1C1到平面EAC的距離為(A．5 B．25C．2305 D(2)[2022·全國甲卷]在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°，則()A．AB＝2ADB．AB與平面AB1C1D所成的角為30°C．AC＝CB1D．B1D與平面BB1C1C所成的角為45°聽課筆記：【技法領(lǐng)悟】1．用幾何法求空間角時，關(guān)鍵要找出空間角，再在三角形中求解．2．用向量法求空間角和空間距離時，要熟記公式，還要正確建立空間直角坐標(biāo)系．鞏固訓(xùn)練21.在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝435，則平面ABD與平面PBD的夾角為(A．30° B．45°C．60° D．75°2．如圖，在長方體中，AD＝AA1＝2，AB＝3，若E為AB中點，則點B1到平面D1EC的距離為________.第二講空間位置關(guān)系、空間角與空間距離微專題1空間位置關(guān)系保分題1．解析：若a⊥α，則a垂直α內(nèi)所有直線，因此，命題“若a⊥α，則a垂直α內(nèi)無數(shù)條直線”正確，a垂直α內(nèi)無數(shù)條直線，若這無數(shù)條直線中無任何兩條直線相交，此時直線a可以在平面α內(nèi)，即不能推出a⊥α，所以“a⊥α”是“a垂直α內(nèi)無數(shù)條直線”的充分不必要條件．答案：A2．解析：連接EF，CD1，A1B，則EF∥CD1，EF＝12CD1由A1D1∥BC，A1D1＝BC，可得四邊形A1D1CB為平行四邊形，∴A1B∥CD1，A1B＝CD1，所以EF∥A1B，EF＝12A1B，即四邊形EFA1B故直線A1F與直線BE相交，直線AD1與直線BE為異面直線，直線C1D1與直線BE為異面直線，直線AA1與直線BE為異面直線．答案：A3．解析：由題意，圓柱的軸截面ABCD為邊長為2的正方形，E是BC的中點，F(xiàn)是AB的中點，所以AC?平面ABC，EF與平面ABC相交，且與AC無交點，所以AC與EF是異面直線；又CF＝12+22＝5，AE＝22+2答案：D提分題[例1]解析：(1)對于A，由面面平行性質(zhì)：兩平面平行，在一平面內(nèi)的任意直線與另一平面平行．而α∥β，m?α，故m∥β，A正確；對于B，α⊥β，m⊥α，此時m有可能在平面β內(nèi)，故不能得到m∥β，B錯誤；對于C，由于m∥n，則n可經(jīng)平移到與m重合的位置而平移不改變直線與平面是否垂直，m⊥α，故n⊥α，C正確；對于D，當(dāng)m∥α，m?α，過m上一點作直線n⊥α，此時m⊥n，不能得到n∥α，D錯誤．綜上，AC正確．(2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，易知BD⊥AC.又E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，所以EF∥AC，所以BD⊥EF.由正方體的性質(zhì)，知DD1⊥平面ABCD.又EF?平面ABCD，所以DD1⊥EF.因為BD∩DD1＝D，所以EF⊥平面BDD1.因為EF?平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，A正確．假設(shè)平面B1EF⊥平面A1BD.因為平面B1EF⊥平面BDD1，且平面A1BD∩平面BDD1＝BD，所以BD⊥平面B1EF.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，顯然BD與平面B1EF不垂直，B錯誤．設(shè)A1A與B1E的延長線相交于點P，所以平面B1EF與平面A1AC不平行，C錯誤．連接AB1，B1C，易證平面ACB1∥平面A1C1D.因為平面ACB1與平面B1EF相交，所以平面B1EF與平面A1C1D不可能平行，D答案：(1)AC(2)A[鞏固訓(xùn)練1]1．解析：對于A選項，設(shè)直線m、n的方向向量分別為u、v，因為m⊥α，n⊥β，則平面α的一個法向量為u，平面β的一個法向量為v，因為m⊥n，則u⊥v，故α⊥β，A對；對于B選項，若m?α，n?β，α∥β，則m、n平行或異面，B錯；對于C選項，若m∥α，n∥β，α⊥β，則m、n的位置關(guān)系不確定，C錯；對于D選項，若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α、β平行或相交，D錯．答案：A2.解析：由題意知：該幾何體是底面為正方形的四棱錐，如圖所示，連接AE，EF，BF，DF，易得EF∥BC，BC∥AD，則EF∥AD，故EF，AD共面，則AE，DF共面，故B錯誤；又F∈平面AEFD，B?平面AEFD，F(xiàn)不在直線AE上，則直線AE與直線BF異面，A正確；由EF∥AD，EF?平面PAD，AD?平面PAD，則直線EF∥平面PAD，C正確；EF?平面ABCD，AD?平面ABCD，則直線EF∥平面ABCD，D正確．答案：B微專題2空間角與距離保分題1．解析：因為PA⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，所以PA⊥AC，則PC與底面ABCD所成角為∠PCA.設(shè)AB＝1，則PA＝1，AD＝3，AC＝10.所以tan∠PCA＝PAAC＝10答案：C2．解析：取BC的中點E，連接SE，DE，則∠SDE(或其補角)為異面直線SD與AB所成的角，由題意知SE＝SD＝12-4＝22，DE＝2，所以cos∠SDE＝8+4-82×22×2答案：23．解析：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則BA＝(0，2，0)，BE＝(0，1，2)．∴cosθ＝BA·BEBA·BE＝225＝55.故點A到直線BE的距離d＝|AB|sinθ＝2×255＝答案：4提分題[例2]解析：(1)由棱柱的幾何性質(zhì)可知，A1C1∥AC，又A1C1?平面EAC，AC?平面EAC，則A1C1∥平面EAC，所以點A1到平面EAC的距離即為直線A1C1到平面EAC的距離，因為正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底邊長為2，∠B1AB＝π3則AA1＝23，以點A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0，0，0)，A1(0，0，23)，C(2，2，0)，E(0，2，3)，所以AE＝(0，2，3)，AC＝2，2，0，AA1＝(0，0，2設(shè)平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)，則n·AE=0n令x＝3，則y＝－3，z＝2，故n＝(3，－3，2)，所以點A1到平面EAC的距離d＝AA1·nn＝故A1C1到平面EAC的距離為230(2)連接BD，則∠B1DB，∠DB1A分別是B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角，所以∠B1DB＝∠DB1A＝30°.所以BB1＝12DB1，BD＝32DB1，AD＝12DB1.設(shè)BB1＝a，則DB1＝2a，AD＝BC＝a，BD＝3a，所以AB＝BD2-AD2＝2a，AC＝BD＝3a，CB1＝BB12+BC2＝2a.所以AB＝2AD，AC≠CB1，因此A，C項錯誤．易知∠DB1C是B1D與平面BB1C1C所成的角，且為銳角．因為DC＝2a，DB1＝2a，CB1＝2a，所以DC2+CB12＝DB12，所以DC⊥CB1.在Rt△DCB1中，sin∠DB1C＝DCDB1＝22，所以∠DB1C＝45°，即B1D與平面BB1C1C所成的角為45°，因此D項正確．因為AD⊥平面ABB1A1，AD?平面AB1C1D，所以平面AB1C1D⊥平面ABB1A1，所以∠B1AB是AB與平面AB1C1D所成的角．在Rt△ABB1中，AB＝2a，BB1＝a，所以tan∠B1AB＝BB答案：(1)C(2)D[鞏固訓(xùn)練2]1．解析：因為PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直，故以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，又AB＝3，AD＝4，PA＝43所以A(0，0，0)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，P(0，0，435因為PA⊥平面ABCD，所以平面ABD的一個法向量為n＝(0，0，1)，而PB＝(3，0，－435)，BD＝(－3，4，設(shè)平面PBD的法向量為m＝(x，y，z)，則m·PB=3x-435z=0m·BD=-3x+4y=0，取x＝4，則平面PBDcos〈