2023-2024學(xué)年江西省新余市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat18頁(yè)2023-2024學(xué)年江西省新余市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若集合，，則等于A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式,可得集合A與集合B,根據(jù)交集運(yùn)算即可得解.【詳解】集合，解不等式,可得，所以所以選C【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式、分式不等式解法,集合交集運(yùn)算,注意分式不等式分母不為0的限制要求,屬于基礎(chǔ)題.2．一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)的扇形面積是底面圓面積的2倍，若該圓錐的體積為，則該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為（

）A．3 B． C．6 D．【答案】C【分析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，高為h，母線(xiàn)長(zhǎng)為l，根據(jù)圓錐側(cè)面積與圓的面積關(guān)系可得，由勾股定理可得，結(jié)合圓錐的體積公式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，高為h，母線(xiàn)長(zhǎng)為l，則圓錐側(cè)面展開(kāi)的扇形面積為，底面圓面積為，因?yàn)?，所以，得，所以圓錐的體積為，解得，所以，即圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為6.故選：C.3．在中，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得答案.【詳解】由可得為邊中點(diǎn)，如圖所示：

故選：B.4．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)已知條件求出，，從而求出，進(jìn)而利用二倍角的余弦公式求出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，，所以，所?故選：C.5．如圖所示，一個(gè)水平放置的四邊形OABC的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀(guān)圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則原四邊形的面積是（

）A． B． C．16 D．8【答案】B【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則求出，判斷的形狀，確定，由此求出原四邊形的面積.【詳解】在正方形中可得，由斜二測(cè)畫(huà)法可知，，且，，所以四邊形為平行四邊形，所以．故選：B.6．某教學(xué)軟件在剛發(fā)布時(shí)有100名教師用戶(hù)，發(fā)布5天后有1000名教師用戶(hù)，如果教師用戶(hù)人數(shù)與天數(shù)t之間滿(mǎn)足關(guān)系式：，其中為常數(shù)，是剛發(fā)布的時(shí)間，則教師用戶(hù)超過(guò)30000名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】根據(jù)題意，列出方程組求得，由不等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的預(yù)算性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意得，可得，所以，則，故，所以教師用戶(hù)超過(guò)20000名至少經(jīng)過(guò)天.故選：C7．函數(shù)的大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，排除選項(xiàng)，再根據(jù)特殊值的正負(fù)，再排除選項(xiàng)，即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，則為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故排除A，C，又，故排除B，故選：D.8．在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐的外接球半徑為（

）A．3 B． C． D．6【答案】C【分析】先求出△外接圓半徑，利用勾股定理求出三棱錐的外接球半徑.【詳解】由正弦定理得,△外接圓直徑為，得r=3.設(shè)球心到平面的距離為，則.∴三棱錐的外接球半徑為.故選：C二、多選題9．下列說(shuō)法不正確的是(

)A．函數(shù)的零點(diǎn)是和B．正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則不等式的最小值為C．函數(shù)的最小值為2D．的一個(gè)必要不充分條件是【答案】ACD【分析】A：求出函數(shù)的零點(diǎn)即可判斷；B：利用和基本不等式即可判斷求解；C：令，利用換元法和基本不等式即可判斷；D：判斷從是否可得，結(jié)合充分條件和必要條件的概念即可判斷．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：或，則函數(shù)的零點(diǎn)是或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：令，則，則函數(shù)化為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∵t≥2，故等號(hào)不成立，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：若，則，即是的充分條件，故D錯(cuò)誤．故選：ACD．10．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B．C． D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可判斷A,由模長(zhǎng)公式以及共軛的性質(zhì)即可判斷BCD.【詳解】由題意，得正確；因?yàn)椋藻e(cuò)誤；因?yàn)?，所以，C正確；由題意，得，因?yàn)椋?，所以，D正確．故選：ACD11．將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像對(duì)應(yīng)的解析式為（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)題意，由三角函數(shù)的圖像變換即可得到變換之后的函數(shù)解析式，從而得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）可得函數(shù)，再將所得的圖像向左平移個(gè)單位，可得函數(shù)，即，且.故選：BC12．如圖，四棱錐的底面是正方形，平面ABCD，，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（

）

A．平面平面B．直線(xiàn)與平面所成角正切值的最大值為C．二面角余弦值的最小值為D．線(xiàn)段上不存在點(diǎn)，使得平面【答案】ABC【分析】對(duì)于A，利用線(xiàn)面垂直與面面垂直的判定定理證明即可；對(duì)于BC，利用線(xiàn)面角與面面角的定義，結(jié)合的取值范圍求解即可；對(duì)于D，找特殊點(diǎn)與重合時(shí)，證得平面，由此得解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈酌?，平面，所以．因?yàn)闉檎叫?，所以，又，平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)?，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面．又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，故A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知平面，所以為直線(xiàn)與平面所成角，則，不妨設(shè)，則在中，，在中，，因?yàn)槭蔷€(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，故，則，所以直線(xiàn)與平面所成角正切值的最大值為，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)A可知平面，平面，所以，則為二面角的平面角，因?yàn)椋远娼怯嘞抑档淖钚≈禐?，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)與重合時(shí)，連接，連接，如圖，

因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以是的中點(diǎn)，又為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，即線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得平面，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用線(xiàn)面垂直的判定定理證得平面與平面，從而得到直線(xiàn)與平面所成角與二面角的平面角，由此得解.三、填空題13．已知，，且，，則的值是.【答案】【分析】由平方關(guān)系求得，，再求出即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，，且，，所以，，且，則，所以.故答案為：.14．甲、乙兩名考生填報(bào)志愿，要求甲、乙只能在A，B，C這3所院校中選擇一所填報(bào)志愿．假設(shè)每位同學(xué)選擇各個(gè)院校是等可能的，則院校A，B至少有一所被選擇的概率為．【答案】【分析】利用對(duì)立事件的概率計(jì)算公式和獨(dú)立事件的乘法公式即可得到答案.【詳解】設(shè)事件為院校A，B至少有一所被選擇，則其對(duì)立事件為兩人均選擇院校，甲選擇院校的概率為，乙選擇院校的概率為，則甲乙同時(shí)選擇院校的概率為，則.則院校A，B至少有一所被選擇的概率為.故答案為：.15．已知（）滿(mǎn)足，，且在上單調(diào)，則的最大值為.【答案】【分析】由，得到，再由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求出的取值范圍，即可求出的取值集合，從而求出的最大值；【詳解】滿(mǎn)足，，即，，在上單調(diào)，，即，當(dāng)時(shí)最大，最大值為故答案為：16．已知，，若對(duì)，恒有，且點(diǎn)滿(mǎn)足，為的中點(diǎn)，則．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到對(duì)恒成立，即可得到對(duì)恒成立，根據(jù)求出，再根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)閷?duì)，恒有，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，所以，即，所以，又，所以.故答案為：四、解答題17．已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)或．【分析】（1）由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解；（2）由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所?（2）,由，則，或．18．在△中，其內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿(mǎn)足___________．①②③請(qǐng)從上述所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面的橫線(xiàn)上，并解答下列問(wèn)題：(1)求角A的大?。?2)已知△外接圓的半徑為，如圖所示，AD是的角平分線(xiàn)，且，求△的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①利用正切的兩角和公式恒等變形即可求解；若選②利用余弦的二倍角公式及其輔助角公式恒等變形即可求解；若選③利用正弦定理邊化角,并利用正弦的二倍角公式恒等變形即可求解.（2）利用正弦定理即可求得,利用面積關(guān)系及其余弦定理即可求得，最后即可求得△的面積.【詳解】（1）若選①，由已知式化簡(jiǎn)得，所以．在△中，，所以，所以．因?yàn)?，所以．若選②，在△中，，則已知式化為，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，即．若選③，由題設(shè)及正弦定理，得．在△中，，且．所以，即．因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，所以．?）由（1）和題設(shè)知，，△外接圓的半徑，從而在△中，由正弦定理得，由于，且，所以，所以．①在△中，由余弦定理得，即．②聯(lián)立①②，得，解得，或（舍去），所以．19．某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶(hù)居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過(guò)的部分按0.5元收費(fèi)，超過(guò)但不超過(guò)的部分按0.8元收費(fèi)，超過(guò)的部分按1.0元收費(fèi).（1）求某戶(hù)居民用電費(fèi)用（單位：元）關(guān)于月用電量（單位：）的函數(shù)解析式（2）為了了解居民的用電情況，通過(guò)抽樣獲得了今年1月份100戶(hù)居民每戶(hù)的月用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率直方圖.若這100戶(hù)居民中，今年1月份電費(fèi)不超過(guò)260元的占80%，求，的值；（3）在（2）的條件下，計(jì)算月用電量的75%分位數(shù).【答案】（1）；（2），；（3）375千瓦時(shí).【分析】（1）根據(jù)題意以及分段函數(shù)的知識(shí)，求得與之間的函數(shù)解析式.（2）先求得用電量低于400千瓦時(shí)的占80%，利用頻率之和列方程組，解方程組求得的值.（3）根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法，計(jì)算出分位數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以與之間的函數(shù)解析式為（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，即用電量低于400千瓦時(shí)的占80%，結(jié)合頻率分布直方圖可知解得，.（3）設(shè)75%分位數(shù)為，因?yàn)橛秒娏康陀?00千瓦時(shí)的所占比例為，用電量低于400千瓦時(shí)的占80%，所以75%分位數(shù)在內(nèi)，所以，解得，即用電量的75%分位數(shù)為375千瓦時(shí).20．如圖，正方形和菱形所在平面互相垂直，.四棱錐的體積是.

(1)求證：平面；(2)求四面體的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）先由，，可證明平面平面，進(jìn)而得證.（2）連接交于點(diǎn)，連接，先證平面，可證明平面，四面體在面上的高為，由此能求出四面體的體積.【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅问钦叫危倪呅问橇庑?，所以，，所以平面，平面，又是平面?nèi)的兩條相交直線(xiàn)，平面平面，又平面，平面.（2）解：連接，與交于點(diǎn)，連接，則為，的中點(diǎn)，四邊形是菱形，，是正三角形，，平面平面，且交線(xiàn)為,平面，同理，得平面，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，，解得，，四面體在面上的高為，四面體的體積為：.

21．從以下給出的①、②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線(xiàn)上，并加以解答．①，②已知的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別是、、，若______．（1）求角的值；（2）求的面積取得最大值時(shí)，邊的長(zhǎng)．【答案】條件選擇見(jiàn)解析（1）；（2）2.【分析】（1）若選①，利用正弦定理化邊為角，可得，即得解；若選②，利用正弦定理化角為邊，可得，結(jié)合余弦定理，即得解；（2）由，再結(jié)合均值不等式可得，再利用面積公式即得解.【詳解】（1）若選①：由正弦定理可化為，則，因?yàn)椋?；若選②：由正弦定理可化為，即，由余弦定理可得，因?yàn)椋?；?）因?yàn)?，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值為，即有，解得．22．如圖，在四棱錐中，，，平面平面PAD，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上一點(diǎn)，G是PC上一點(diǎn)，且，.（1）求證：平面平面PAB；（2）若，，求直線(xiàn)PB與平面ABCD所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）從線(xiàn)面垂直的證明入手，證明平面PAB，從而證得平面平面PAB；（2）添加輔助線(xiàn)，找到直線(xiàn)PB與平面ABCD所成的角，再在直角三角形中求其正弦值，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法進(jìn)行求解.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)M，連接MD，ME，則，.又，，所以，，所以四邊形MDFE是平行四邊形，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫嫫矫鍼AD，平面平面，，所以平面PAD.因?yàn)槠矫鍼AD，所以.因?yàn)?，所以平面PAB，所以平面PAB.又平面EFG，所以平面平面PAB.（2）解法—：過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)H，則平面ABCD，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HA所在直線(xiàn)為x軸，過(guò)點(diǎn)H且平行于AB的直線(xiàn)為y軸，PH所在直線(xiàn)為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.在等腰三角形PAD中，，，因?yàn)?，所以，解得，則，所以，，所以.易知平面ABCD的一個(gè)法向量為，所以，所以直線(xiàn)PB與