清華大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)14-數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)(綜合補(bǔ)充)課件

大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)MathematicalExperiments實(shí)驗(yàn)14數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)(綜合/補(bǔ)充)大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)MathematicalExperiments案例：隧道閥門(mén)夠結(jié)實(shí)嗎？閥門(mén)是否足夠結(jié)實(shí)？

閥門(mén)爆破點(diǎn)湖水山體hL案例：隧道閥門(mén)夠結(jié)實(shí)嗎？閥門(mén)是否足夠結(jié)實(shí)？閥門(mén)爆破點(diǎn)湖水山問(wèn)題初步分析爆破后隧道內(nèi)湖水和空氣的相互作用過(guò)程0x閥門(mén)L湖水加速進(jìn)入隧道,然后減速直到停止可大致認(rèn)為隧道內(nèi)湖水和空氣有清晰的接觸界面隧道內(nèi)的空氣完全處于被不斷壓縮的過(guò)程中隧道內(nèi)空氣對(duì)隧道內(nèi)湖水的阻力越來(lái)越大隧道內(nèi)的湖水與隧道內(nèi)的空氣紊亂地混合隧道內(nèi)湖水和空氣不再有一個(gè)清晰的接觸界面直到最后隧道內(nèi)的空氣以氣泡形式從爆破口排出問(wèn)題初步分析爆破后隧道內(nèi)湖水和空氣的相互作用過(guò)程0x閥門(mén)L湖受力分析0F3xF1F1F2閥門(mén)L受力分析0F3xF1F1F2閥門(mén)L受力分析0F3xF1F1F2閥門(mén)L受力分析0F3xF1F1F2閥門(mén)L受力分析0F3xF1F1F2閥門(mén)L長(zhǎng)l、速度v的流體兩端壓強(qiáng)之差（水頭損失,mm水柱）R為水力半徑(對(duì)圓管滿(mǎn)流，R=D/4)受力分析0F3xF1F1F2閥門(mén)L長(zhǎng)l、速度v的流體兩端壓強(qiáng)隧道內(nèi)湖水的基本運(yùn)動(dòng)方程熱力學(xué)第一定律（能量轉(zhuǎn)化和守恒定律）：當(dāng)運(yùn)動(dòng)形式發(fā)生變化時(shí)，能量也從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，從一個(gè)系統(tǒng)傳遞給另一個(gè)系統(tǒng)；在轉(zhuǎn)化和傳遞中總能量始終不變。假設(shè)隧道內(nèi)湖水的內(nèi)能沒(méi)有變化，也沒(méi)有熱交換發(fā)生

隧道內(nèi)湖水的質(zhì)量為隧道內(nèi)湖水的基本運(yùn)動(dòng)方程熱力學(xué)第一定律（能量轉(zhuǎn)化和守恒定律隧道內(nèi)湖水的基本運(yùn)動(dòng)方程O(píng)DE初值問(wèn)題隧道內(nèi)湖水的基本運(yùn)動(dòng)方程O(píng)DE初值問(wèn)題模型求解參數(shù)：重力加速度g=9.807m/s2，水的密度=1kg/m3，P0=1atm(1大氣壓)=101325Pa，空氣比熱比=1.4;據(jù)水力學(xué)知識(shí)，沿程損失系數(shù)通常不超過(guò)0.1,取0.1;取D=2m,h=100m，L=1000m模型求解參數(shù)：重力加速度g=9.807m/s2，水的密度=模型求解Matlab程序顯示“Warning:Dividebyzero.”

仍然顯示“Warning:Dividebyzero.”

模型求解Matlab程序顯示“Warning:Divid模型求解模型無(wú)解？需要進(jìn)行修改！保持初始條件，修改基本方程保持基本方程，修改初始條件也許存在x(t)>0滿(mǎn)足方程？

考慮到x(t)及其導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)刻的連續(xù)性，模型無(wú)解!模型求解模型無(wú)解？需要進(jìn)行修改！也許存在x(t)>0滿(mǎn)足方修改基本方程想象有一些爆破點(diǎn)附近的湖水被掀開(kāi)，遠(yuǎn)離了隧道的爆破點(diǎn)。記隧道外的額外長(zhǎng)度為d

0dx閥門(mén)L修改基本方程想象有一些爆破點(diǎn)附近的湖水被掀開(kāi)，遠(yuǎn)離了隧道的爆td=Dd=0.1Dd=0.01DxPxPxP001.000001.000001.00001.000032.87491.047935.48301.051935.86191.05252.000060.45281.091262.48791.094562.78431.09503.000083.48451.129885.16971.132785.41901.1332……………………………………107.0000833.412712.2942833.396912.2926833.396512.2926108.0000833.639512.3177833.610912.3147833.608412.3145109.0000833.667112.3206833.625812.3163833.621312.3158110.0000833.496212.3029833.442212.2973833.435712.2966111.0000833.130412.2651833.064212.2583833.055712.2574112.0000832.577612.2085832.499912.2005832.489612.1995……………………………………計(jì)算結(jié)果td=Dd=0.1Dd=0.01DxPxPxP001.000修改初始條件可以想象有一些爆破點(diǎn)附近的湖水已經(jīng)進(jìn)入了隧道記隧道內(nèi)的額外長(zhǎng)度為d，x(0)=d水如果從深度為h的容器中自然流出，速度是

0Ldx閥門(mén)修改初始條件可以想象有一些爆破點(diǎn)附近的湖水已經(jīng)進(jìn)入了隧道0L計(jì)算結(jié)果td=Dd=0.1Dd=0.01DxPxPxP02.00001.00280.20001.00030.20001.00031.000037.37751.054836.05841.052843.27401.06392.000064.01731.097062.94211.095384.15111.13103.000086.49211.135085.55521.1334123.09971.2019……………………………………106.0000833.011112.2529832.988712.2506107.0000833.411612.2941833.398012.2927108.0000833.613512.3150833.608712.3145109.0000833.616212.3153833.620312.3157110.0000833.419812.2950833.432812.2963111.0000833.024812.2543833.046512.2565……………………………………計(jì)算結(jié)果td=Dd=0.1Dd=0.01DxPxPxP02.參數(shù)分析0.0550029.0000435.943717.75710.05100079.0000848.358014.23390.052000217.00001667.282612.31790.1050039.0000424.145014.01460.101000109.0000833.625712.31630.102000303.00001650.388511.4927LtmaxxmaxPmax0.0550038.0000389.25848.25130.051000103.0000751.17347.01040.052000282.00001469.99756.41880.1050051.0000375.57397.00940.101000141.0000735.00126.41890.102000392.00001452.16046.12810.0550021.0000466.113443.30310.05100057.0000913.533830.79040.052000158.00001801.394025.36600.1050029.0000456.526330.55210.10100079.0000900.698425.36650.102000221.00001785.849622.8263h=50h=100h=200Pmax減少h減少L增加增加D可類(lèi)似分析參數(shù)分析0.0550029.0000435.94無(wú)量綱化Pmax減少h減少L增加增加這說(shuō)明影響y的參數(shù)是無(wú)量綱化Pmax減少h減少L增加增加這說(shuō)明影響y無(wú)量綱化Pt與y的關(guān)系在坐標(biāo)系O下，下，可畫(huà)出Pmax的等值線(xiàn)(單位：大氣壓)120140200Pmax(atm)無(wú)量綱化Pt與y的關(guān)系在坐標(biāo)系O下，下，可畫(huà)出Pma進(jìn)一步研究推廣隧道不是水平的，怎么辦？隧道不是直的，而是一條任意（下降的）曲線(xiàn)，怎么辦？理論上分析基本模型與修正模型的性質(zhì)(解的存在性與唯一性，近似處理的誤差，etc.)進(jìn)一步研究推廣理論上分析基本模型與修正模型的性質(zhì)(解的存2000年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題

(CUMCM-2000B)鋼管訂購(gòu)和運(yùn)輸2000年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題

(CUMCM-20CUMCM-2000B鋼管訂購(gòu)和運(yùn)輸由鋼管廠訂購(gòu)鋼管，經(jīng)鐵路、公路運(yùn)輸，鋪設(shè)一條鋼管管道A1325801010312012427010881070627030202030450104301750606194205201680480300220210420500600306195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7管道鐵路公路S1~S7鋼管廠火車(chē)站450里程（km)（沿管道建有公路）CUMCM-2000B鋼管訂購(gòu)和運(yùn)輸由鋼管廠訂購(gòu)鋼管，經(jīng)鐵鋼廠的產(chǎn)量和銷(xiāo)價(jià)（1單位鋼管=1km管道鋼管）鋼廠產(chǎn)量的下限：500單位鋼管1單位鋼管的鐵路運(yùn)價(jià)1000km以上每增加1至100km運(yùn)價(jià)增加5萬(wàn)元1單位鋼管的公路運(yùn)價(jià)：0.1萬(wàn)元/km（不足整公里部分按整公里計(jì)）601=300+30144>20+23?鋼廠的產(chǎn)量和銷(xiāo)價(jià)（1單位鋼管=1km管道鋼管）鋼廠產(chǎn)量的下限（1）制定鋼管的訂購(gòu)和運(yùn)輸計(jì)劃，使總費(fèi)用最小.（2）分析對(duì)購(gòu)運(yùn)計(jì)劃和總費(fèi)用影響：哪個(gè)鋼廠鋼管銷(xiāo)價(jià)的變化影響最大；哪個(gè)鋼廠鋼管產(chǎn)量上限的變化影響最大？A1325801010312012427010881070627030202030450104301750606194205201680480300220210420500600306195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7A16130A17A18A19A20A21190260100（3）討論管道為樹(shù)形圖的情形（1）制定鋼管的訂購(gòu)和運(yùn)輸計(jì)劃，使總費(fèi)用最小.（2）分析對(duì)購(gòu)問(wèn)題1的基本模型和解法總費(fèi)用最小的優(yōu)化問(wèn)題總費(fèi)用：訂購(gòu)，運(yùn)輸（由各廠Si經(jīng)鐵路、公路至各點(diǎn)Aj,

i=1,…7;j=1,…15

），鋪設(shè)管道AjAj+1（j=1,…14)由Si至Aj的最小購(gòu)運(yùn)費(fèi)用路線(xiàn)及最小費(fèi)用cij

由Si至Aj的最優(yōu)運(yùn)量xij由Aj向AjAj-1段鋪設(shè)的長(zhǎng)度yj及向AjAj+1段鋪設(shè)的長(zhǎng)度zj最優(yōu)購(gòu)運(yùn)計(jì)劃約束條件鋼廠產(chǎn)量約束：上限和下限（如果生產(chǎn)的話(huà)）運(yùn)量約束：xij對(duì)i求和等于zj加yj；

zj與

yj+1之和等于AjAj+1段的長(zhǎng)度ljyj

zjAj問(wèn)題1的基本模型和解法總費(fèi)用最小的優(yōu)化問(wèn)題總費(fèi)用：訂購(gòu)，運(yùn)輸基本模型由Aj向AjAj-1段鋪設(shè)的運(yùn)量為1+…+yj=yj(

yj+1)/2由Aj向AjAj+1段鋪設(shè)的運(yùn)量為1+…+zj=zj(

zj+1)/2二次規(guī)劃基本模型由Aj向AjAj-1段鋪設(shè)的運(yùn)量為1+…+y求解步驟1）求由Si至Aj的最小購(gòu)運(yùn)費(fèi)用路線(xiàn)及最小費(fèi)用cij

難點(diǎn)：公路運(yùn)費(fèi)是里程的線(xiàn)性函數(shù)，而鐵路運(yùn)費(fèi)是里程的分段階躍函數(shù)，故總運(yùn)費(fèi)不具可加性。因而計(jì)算最短路常用的Dijkstra算法、Floyd算法失效。A17010881070627030202030300220210420500170690462160320160110290A10A11A12A13A14A15S4S5S6S7需要對(duì)鐵路網(wǎng)和公路網(wǎng)進(jìn)行預(yù)處理，才能使用常用算法，得到最小購(gòu)運(yùn)費(fèi)用路線(xiàn)。--至少求3次最短路如S7至A10的最小費(fèi)用路線(xiàn)先鐵路1130km，再公路70km,運(yùn)費(fèi)為77（萬(wàn)元）先公路（經(jīng)A15）40km,再鐵路1100km，再公路70km,運(yùn)費(fèi)為76（萬(wàn)元）求解步驟1）求由Si至Aj的最小購(gòu)運(yùn)費(fèi)用路線(xiàn)及最小費(fèi)用cij實(shí)際上只有S4和S7需要分解成子問(wèn)題求解每個(gè)子問(wèn)題是標(biāo)準(zhǔn)的二次規(guī)劃，決策變量為xij,yj,zj,不超過(guò)135個(gè)。實(shí)際上只有S4和S7需要分解成子問(wèn)題求解每個(gè)子問(wèn)題是標(biāo)準(zhǔn)的二fi表示鋼廠i是否使用；xij是從鋼廠i運(yùn)到節(jié)點(diǎn)j的鋼管量yj是從節(jié)點(diǎn)j向左鋪設(shè)的鋼管量；zj是向右鋪設(shè)的鋼管量

c)比較好的方法：引入0-1變量LINDO/LINGO得到的結(jié)果比matlab得到的好cumcm2000b.lg4yj

zjjfi表示鋼廠i是否使用；xij是從鋼廠i運(yùn)到節(jié)點(diǎn)j的鋼管量c問(wèn)題1的其它模型和解法1）運(yùn)輸問(wèn)題的0-1規(guī)劃模型將全長(zhǎng)5171km的管道按公里分段，共5171個(gè)需求點(diǎn)，鋼廠為7個(gè)供應(yīng)點(diǎn)，構(gòu)成如下的運(yùn)輸問(wèn)題cij為從供應(yīng)點(diǎn)i到需求點(diǎn)j的最小購(gòu)運(yùn)費(fèi)xij=1表示從點(diǎn)i到點(diǎn)j購(gòu)運(yùn)1單位鋼管求解時(shí)要針對(duì)規(guī)模問(wèn)題尋求改進(jìn)算法問(wèn)題1的其它模型和解法1）運(yùn)輸問(wèn)題的0-1規(guī)劃模型將全長(zhǎng)512）最小費(fèi)用網(wǎng)絡(luò)流模型SourceS1S2S7A1A2A15P11P1l1P21…………Sink(si,pi)(+

,cij)(1,1),…(1,li)(1,0)SourceS1S2S7A1A2A15P1P2………Sink(si,pi)(+

,cij)(li,f(f+1)/2)(li,0)線(xiàn)性費(fèi)用網(wǎng)絡(luò)(只有產(chǎn)量上限)非線(xiàn)性費(fèi)用網(wǎng)絡(luò)(只有產(chǎn)量上限)邊的標(biāo)記（流量上限，單位費(fèi)用）用標(biāo)準(zhǔn)算法(如最小費(fèi)用路算法)求解無(wú)單位費(fèi)用概念(f(f+1)/2),需修改最小費(fèi)用路算法2）最小費(fèi)用網(wǎng)絡(luò)流模型SourceS1S2S7A1A2A152）最小費(fèi)用網(wǎng)絡(luò)流模型產(chǎn)量有下限r(nóng)i時(shí)的修正SourceSiSi’(si-ri,pi)(ri,0)(+

,0)得到的結(jié)果應(yīng)加上才是最小費(fèi)用注：該模型獲當(dāng)年的惟一最高獎(jiǎng)（網(wǎng)易杯）2）最小費(fèi)用網(wǎng)絡(luò)流模型產(chǎn)量有下限r(nóng)i時(shí)的修正SourceSiS1S2S3S6S5S1S2S2S3S3S5S5S63)最小面積模型A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15cx作圖：Si到管道x單位鋼管的最小購(gòu)運(yùn)費(fèi)用c由各條Si首尾相連(橫坐標(biāo))組成的一條折線(xiàn)對(duì)應(yīng)一個(gè)購(gòu)運(yùn)方案，折線(xiàn)下面的面積對(duì)應(yīng)方案的費(fèi)用在產(chǎn)量約束下找面積最小的折線(xiàn)S1S2S3S6S5S1S2S2S3S3S5S5S63)最問(wèn)題2:分析對(duì)購(gòu)運(yùn)計(jì)劃和總費(fèi)用影響(哪個(gè)鋼廠銷(xiāo)價(jià)變化影響最大；哪個(gè)鋼廠產(chǎn)量上限變化影響最大)規(guī)劃問(wèn)題的靈敏度分析問(wèn)題3：管道為樹(shù)形圖701088107062300220210170690462160320160A10A11A12S4S5S6130A17A18A19A20190260100(jk)是連接Aj,Ak的邊，E是樹(shù)形圖的邊集，ljk是(jk)的長(zhǎng)度，yjk是由Aj沿(jk)鋪設(shè)的鋼管數(shù)量問(wèn)題2:分析對(duì)購(gòu)運(yùn)計(jì)劃和總費(fèi)用影響(哪個(gè)鋼廠銷(xiāo)價(jià)變化影響最論文中發(fā)現(xiàn)的主要問(wèn)題1）針對(duì)題目給的數(shù)據(jù)用湊的方法算出結(jié)果，沒(méi)有解決這類(lèi)問(wèn)題的一般模型2）局部最優(yōu)，如將管道分為左右兩段，分別尋求方案；如將問(wèn)題分為購(gòu)運(yùn)和鋪設(shè)兩部分，分別尋優(yōu)（會(huì)導(dǎo)致每段管道都從兩端鋪到中點(diǎn)）4）由Si至Aj的最小購(gòu)運(yùn)費(fèi)用路線(xiàn)及最小費(fèi)用cij不對(duì)5）數(shù)字結(jié)果相差較大(如最小費(fèi)用應(yīng)127.5至128.2億元)論文中發(fā)現(xiàn)的主要問(wèn)題1）針對(duì)題目給的數(shù)據(jù)用湊的方法算出結(jié)果，1995年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題

(CUMCM-1995A)

一個(gè)飛行管理問(wèn)題

1995年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題

(CUMCM-1995在約10000m高空的某邊長(zhǎng)160km的正方形區(qū)域內(nèi),經(jīng)常有若干架飛機(jī)作水平飛行,區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù),以便進(jìn)行飛行管理.當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)邊界區(qū)域邊緣時(shí),記錄其數(shù)據(jù)后,要立即計(jì)算并判斷是否會(huì)與其區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞.如果會(huì)碰撞,則應(yīng)計(jì)算如何調(diào)整各架(包括新進(jìn)入的)飛機(jī)飛行的方向角,以避免碰撞.現(xiàn)假設(shè)條件如下:一個(gè)飛行管理問(wèn)題

在約10000m高空的某邊長(zhǎng)160km的正方形區(qū)域內(nèi),經(jīng)常有1)不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于8km;2)飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過(guò)30度;3)所有飛機(jī)飛行速度均為每小時(shí)為800km;4)進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí),與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)的距離應(yīng)在60km以上;5)最多考慮6架飛機(jī);6)不必考慮飛機(jī)離開(kāi)此區(qū)域后的狀況;請(qǐng)你對(duì)這個(gè)避免碰撞的飛行管理問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型.列出計(jì)算步驟,對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算(方向角誤差不超過(guò)0.01度),要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小.1)不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于8km;飛機(jī)編號(hào)橫坐標(biāo)x縱坐標(biāo)y方向角(度)1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進(jìn)入0052注:方向角指飛行方向與x軸正向的夾角試根據(jù)實(shí)際應(yīng)用背景對(duì)你的模型進(jìn)行評(píng)價(jià)與推廣.區(qū)域4個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(160,0),(160,160),(0,160).記錄數(shù)據(jù)為:飛機(jī)編號(hào)