函數(shù)及其表示

文數(shù)課標(biāo)版第一節(jié)函數(shù)及其表示1函數(shù)與映射的概念教材研讀

函數(shù)映射兩集合A、B設(shè)A、B是兩個(gè)①非空數(shù)集

設(shè)A、B是兩個(gè)②非空集合

對(duì)應(yīng)關(guān)系f:A→B按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的③任意

一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有④唯一確定

的數(shù)f(x)與之對(duì)應(yīng)按某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的⑤任意

一個(gè)元素x,在集合B中都有⑥唯一確定

的元素y與之對(duì)應(yīng)名稱稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)稱對(duì)應(yīng)f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射記法y=f(x),x∈A對(duì)應(yīng)f:A→B2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y=f(x),x∈A中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的⑦定義域

;與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的⑧值域

.(2)函數(shù)的三要素:⑨定義域

、⑩值域

和

對(duì)應(yīng)關(guān)系

.(3)相等函數(shù):如果兩個(gè)函數(shù)的

定義域

相同,且

對(duì)應(yīng)關(guān)系

完全一致,則這兩個(gè)函數(shù)相等,這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).(4)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法:

解析法

、

圖象法

、

列表法

.3.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi),對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間,有著不同的

對(duì)應(yīng)關(guān)系

,這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).分段函數(shù)雖然由幾部分組成,但它表示的是一個(gè)函數(shù).

判斷下列結(jié)論的正誤正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”1函數(shù)y=f的圖象與直線=a最多有2個(gè)交點(diǎn)?×2函數(shù)f=2-2與gt=t2-2t是同一函數(shù)?√3若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同,則這兩個(gè)函數(shù)是相等函數(shù)?×4若A=R,B={|>0},f:→y=||,則對(duì)應(yīng)f是從A到B的映射?×5分段函數(shù)是由兩個(gè)或幾個(gè)函數(shù)組成的?×6分段函數(shù)的定義域等于各段定義域的并集,值域等于各段值域的并

集?√

1下列是函數(shù)圖象的有?

A1個(gè)

B2個(gè)

C3個(gè)

D4個(gè)答案

B①中,當(dāng)>0時(shí),每一個(gè)的值對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的y值,因此①不是

函數(shù)圖象;②中,當(dāng)=0時(shí),y的值有兩個(gè),因此②不是函數(shù)圖象;③④中,每

一個(gè)的值對(duì)應(yīng)唯一的y值,因此③④是函數(shù)圖象,故選B2.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列不能表示從P到Q的映射

的是

()A.f:x→y=

x

B.f:x→y=

xC.f:x→y=

x

D.f:x→y=

答案

C如果從P到Q能表示一個(gè)映射,根據(jù)映射的定義,對(duì)P中的任一

元素,按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f,在Q中有唯一元素和它對(duì)應(yīng),選項(xiàng)C中,當(dāng)x=4時(shí),y=

×4=

?Q,故選C.3下列各組函數(shù)中,表示同一個(gè)函數(shù)的是?Ay=-1和y=?

By=0和y=1Cf=2和g=12

Df=?和g=?答案

D

A中兩個(gè)函數(shù)的定義域不同;B中y=0的不能取0;C中兩函數(shù)

=?的定義域?yàn)?/p>

答案[4,5∪5,∞解析要使函數(shù)f=?有意義,則?解之得≥4且≠5即函數(shù)的定義域?yàn)閇4,5∪5,∞=f滿足f1=2,且f1=3f,則f4=

答案54解析∵f1=2,f1=3f,∴f4=3f3=9f2=27f1=27×2=54=?則ff-4=

答案4解析

f-4=?=16,又f16=?=4,∴ff-4=4考點(diǎn)一求函數(shù)的定義域命題角度一求給定解析式的函數(shù)的定義域典例1

y=?-log24-2的定義域是?A-2,0∪1,2

B-2,0]∪1,2C-2,0∪答案

C解析要使函數(shù)有意義,必須有?∴∈-2,0∪[1,2考點(diǎn)突破1-1函數(shù)f=??的定義域?yàn)?A{|<1}

B{|0<<1}C{|0<≤1}

D{|>1}答案

B要使函數(shù)有意義,則必須滿足?∴0<<1,選B命題角度二求抽象函數(shù)的定義域典例2(1)若f(x)的定義域?yàn)閇0,3],求函數(shù)f(x2-1)的定義域;(2)已知函數(shù)f(x2-1)的定義域?yàn)閇0,3],求函數(shù)y=f(x)的定義域;(3)若f(x)的定義域?yàn)閇0,3],求函數(shù)y=f(x2-1)+f(2x+1)的定義域.解析(1)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閇0,3],所以0≤x2-1≤3,即1≤x2≤4,解得1≤

x≤2或-2≤x≤-1,故函數(shù)y=f(x2-1)的定義域?yàn)閇-2,-1]∪[1,2].(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x2-1)的定義域?yàn)閇0,3],所以-1≤x2-1≤8,故函數(shù)y=f(x)的定

義域?yàn)閇-1,8].(3)∵f(x)的定義域?yàn)閇0,3],∴要使函數(shù)y=f(x2-1)+f(2x+1)有意義,則

即

得x=1.∴函數(shù)y=f(x2-1)+f(2x+1)的定義域?yàn)閧1}.方法技巧1.簡(jiǎn)單函數(shù)定義域的求法求函數(shù)的定義域,其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為

準(zhǔn)則,列出不等式或不等式組,然后求其解集即可.2.抽象函數(shù)定義域的求法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b],則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域可由不

等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a,b],則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a,b]上

的值域.1-2

2016黑龍江哈師大附中模擬已知函數(shù)f的定義域是,則y=ff-的定義域是?A

D答案

A∵函數(shù)f的定義域是,∴對(duì)于函數(shù)y=ff-有-1≤≤2,-1≤-≤2,∴-1≤≤1∴y=ff-的定義域是考點(diǎn)二求函數(shù)的解析式典例31已知f是一次函數(shù),且滿足3f1-2f-1=217,則f的解

析式為

2若函數(shù)f滿足f?1=2?,則函數(shù)f的解析式為

3若函數(shù)f滿足2ff?=3,則函數(shù)f的解析式為

答案1f=272f=2-1≥13f=2-?≠0解析1設(shè)f=aba≠0,則3f1-2f-1=3a3a3b-2a2a-2b=a5ab,則a5ab=217無(wú)論為何值都成立,∴?解得?∴f=27(2)解法一(配湊法):∵f(

+1)=x+2

=(

+1)2-1,

+1≥1,∴f(x)=x2-1(x≥1).解法二(換元法):令

+1=t,則t≥1,且x=(t-1)2,代入已知等式可得f(t)=t2-1(t≥1),∴f(x)=x2-1(x≥1).(3)∵2f(x)+f

=3x,

①把①中的x換成

,得2f

+f(x)=

,

②①×2-②,得3f(x)=6x-

,∴f(x)=2x-

(x≠0).方法技巧求函數(shù)解析式的常見(jiàn)方法1待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類(lèi)型如一次函數(shù)、二次函數(shù),則可用待

定系數(shù)法2配湊法:由已知條件fg=F,可將F改寫(xiě)成關(guān)于g的表達(dá)式,然后以替代g,便得f的解析式3換元法:已知復(fù)合函數(shù)fg的解析式,可用換元法,此時(shí)要注意新元

的取值范圍4解方程組法:已知關(guān)于f與f?或f-的表達(dá)式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出一個(gè)等式組成方程組,通過(guò)解方程組求出f2-1定義在-1,1內(nèi)的函數(shù)f滿足2f-f-=lg1,求函數(shù)f的表達(dá)

式解析已知當(dāng)∈-1,1時(shí),有2f-f-=lg1,?①以-代換①中的得2f--f=lg-1,?②由①②消去f-得f=?lg1?lg1-,∈-1,1考點(diǎn)三分段函數(shù)命題角度一求函數(shù)值典例41設(shè)函數(shù)f=?則f-2flog212=?A3

B6

C9

D1222017天津六校聯(lián)考已知函數(shù)f=?則f0flog232=

A19

B17

C15

D133已知f=?則f7=

答案(1)C(2)A(3)6解析(1)∵-2<1,∴f(-2)=1+log2[2-(-2)]=3;∵log212>1,∴f(log212)=

=

=6.∴f(-2)+f(log212)=9.(2)f(0)+f(log232)=log24+1+25-1=2+1+16=19.故選A.(3)∵7<9,∴f(7)=f[f(7+4)]=f[f(11)]=f(11-3)=f(8).又∵8<9,∴f(8)=f[f(12)]=f(9)=9-3=6.即f(7)=6.典例5(1)(2015課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,10,5分)已知函數(shù)f(x)=

且f(a)=-3,則f(6-a)=

()A.-

B.-

C.-

D.-

(2)已知f(x)=

則使f(x)≥-1成立的x的取值范圍是

.命題角度二求參數(shù)或自變量的取值范圍答案1A2解析1當(dāng)a≤1時(shí),fa=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,不成立,舍去;當(dāng)a>1時(shí),fa=-log2a1=-3,即log2a1=3,得a1=23=8,∴a=7,此時(shí)f