專題08空間向量基底法在立體幾何問題中的應(yīng)用4種常見考法歸類

專題08空間向量基底法在立體幾何問題中的應(yīng)用4種常見考法歸類空間向量在解決立體幾何有關(guān)位置關(guān)系及其延伸出來的相關(guān)問題中有著比較廣泛的應(yīng)用.在解題過程中，學(xué)生通常較偏愛于用坐標(biāo)法來解決問題，實(shí)際上，利用向量基底法求解不僅過程簡潔，而且在許多問題中其往往更具有優(yōu)越性.通過向量基底法在上述平行垂直證明、角度問題、距離問題和位置關(guān)系判斷等問題中的應(yīng)用，我們發(fā)現(xiàn)合適基底的選擇是十分重要的.在計(jì)算問題中，應(yīng)該盡量選擇模已知的向量，且三個(gè)向量間的夾角也易求，而在證明問題中，這些條件可以適當(dāng)放寬.縱觀近些年的高考試卷，立體幾何解答題往往會(huì)在已知中給出兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條線段，這種方便建系的考查方式讓同學(xué)們習(xí)慣了空間直角坐標(biāo)系下的機(jī)械運(yùn)算，空間想象能力和邏輯推理能力大幅度降低.不僅如此，有時(shí)考題甚至找不到這樣的三條線段，以致于許多同學(xué)因?yàn)闊o法合理建系導(dǎo)致解題失敗.因此，也建議教師在教學(xué)中可以適當(dāng)補(bǔ)充一些向量基底法的知識(shí)，以便讓同學(xué)們充分體會(huì)到基底法使用的廣泛性和靈活性，領(lǐng)略到立體幾何學(xué)習(xí)的樂趣.一、“三個(gè)”定理共線向量定理共面向量定理空間向量基本定理對于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使a＝λb.若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，則稱xa+yb+zc為p在基底{a，b，c}下的分解式.二、空間平行、垂直關(guān)系的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量．(1)線線平行：l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.(2)線面平行：l1∥α?u1⊥n1?u1·n1＝0.(3)面面平行：α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.(4)線線垂直：l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.(5)線面垂直：l1⊥α?u1∥n1??λ∈R，使得u1＝λn1.(6)面面垂直：α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.三、空間距離及向量求法分類點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到平面的距離圖形語言文字語言設(shè)u為直線l的單位方向向量，A∈l，P?l，eq\o(AP,\s\up7(→))＝a，向量eq\o(AP,\s\up7(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up7(→))，則PQ＝eq\r(|eq\o(AP,\s\up7(→))|2－|eq\o(AQ,\s\up7(→))|2)＝eq\r(a2－(a·u)2)設(shè)已知平面α的法向量為n，A∈α，P?α，向量eq\o(AQ,\s\up7(→))是向量eq\o(AP,\s\up7(→))在平面上的投影向量，PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o(AP,\s\up7(→))·\f(n,|n|)))＝eq\f(|eq\o(AP,\s\up7(→))·n|,|n|)四、空間角及向量求法角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設(shè)兩異面直線所成的角為θ，兩直線的方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直線與平面所成的角設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩平面的夾角平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，把不大于eq\f(π,2)的二面角稱為這兩個(gè)平面的夾角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，兩平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))考點(diǎn)一平行垂直問題考點(diǎn)二角度問題考點(diǎn)三距離問題考點(diǎn)四位置關(guān)系問題考點(diǎn)一平行垂直問題1．（2023秋·全國·高二隨堂練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面為平行四邊形，，為的中點(diǎn)，設(shè)，，．(1)用，，表示；(2)求證：平面．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)向量運(yùn)算求解即可；（2）先根據(jù)向量運(yùn)算關(guān)系得，進(jìn)而得共面，再根據(jù)平面即可證明.【詳解】（1）解：因?yàn)樗睦忮F的底面為平行四邊形，，為的中點(diǎn)，所以，，（2）證明：因?yàn)?，，所以，，即，所以共面，因?yàn)槠矫妫云矫?2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC.求證：平面BCD.【答案】證明見解析.【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合空間向量線性運(yùn)算用表示向量，即可推理作答.【詳解】證明：在三棱錐中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，且點(diǎn)Q在線段AC上，AQ=3QC，則，而，因此平行于平面，而平面，所以平面.3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，從所在平面外一點(diǎn)O作向量.求證：(1)四點(diǎn)共面；(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用共面向量定理證明，由可得四點(diǎn)共面；（2）利用共線向量定理，可得：，，從而利用面面平行的判定定理即可證明.【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?，因?yàn)閺乃谄矫嫱庖稽c(diǎn)O作向量，所以,所以共面，因?yàn)橛泄捕它c(diǎn)，所以四點(diǎn)共面；（2）證明：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，由?）知，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面平?4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且．(1)用向量表示向量；(2)求證：共面；(3)當(dāng)為何值時(shí)，．【答案】(1)(2)證明見解析(3)1【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則得到，即可證明共面；（3）設(shè)，因?yàn)榈酌鏋榱庑危瑒t當(dāng)時(shí)，，由，即可得出答案.【詳解】（1）．（2）證明：，，，共面．（3）當(dāng)，，證明：設(shè)，底面為菱形，則當(dāng)時(shí)，，，，，，．5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在四面體中，，．證明：．【答案】證明見解析【分析】利用向量的運(yùn)算計(jì)算出，從而證明.【詳解】因?yàn)?，，設(shè)，所以所以，即.6．（2023秋·全國·高二隨堂練習(xí)）已知空間四邊形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG⊥BC．【答案】證明見解析【分析】取定基底向量，并分別記為，再用基底表示出和，然后借助數(shù)量積即可計(jì)算作答.【詳解】在空間四邊形OABC中，令，則，令，G是MN的中點(diǎn)，如圖，則，，于是得，因此，，所以O(shè)G⊥BC.7．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市第五中學(xué)校考期末）如圖，三棱柱的所有棱長都相等，，點(diǎn)M為的重心，AM的延長線交BC于點(diǎn)N，連接．設(shè)，，．(1)用，，表示；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)空間向量的運(yùn)算求得正確答案.（2）通過計(jì)算來證得.【詳解】（1）因?yàn)闉檎切?，點(diǎn)M為的重心，所以N為BC的中點(diǎn)，所以，，所以．（2）設(shè)三棱柱的棱長為m，則，所以．8．（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體中，，，設(shè)向量，，.(1)用、、表示向量，并求；(2)證明：直線平面.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）利用空間向量的基本定理與空間向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于、、的表達(dá)式，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算可求得；（2）利用空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算可得出，，利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：，由已知可得，，因此，.（2）證明：，則，，，則，，、平面，因此，平面.9．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）如圖，在平行六面體中，，．設(shè)，，．(1)用基底表示向量，，，；(2)證明：平面．【答案】(1)，，，(2)證明見解析【分析】（1）利用空間向量基本定理和向量的線性運(yùn)算直接求解；（2）先利用向量法證明出和，再利用線面垂直的判定定理直接證明.【詳解】（1）因?yàn)?，，，，所以，，?（2）不妨設(shè)，，所以，即，又因?yàn)?，即，又，平面，平?所以平面.10．（2023·全國·高二期中）如圖，在矩形和中，，記.(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)將用表示出來，并求的最小值；(3)是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)，最小值為；(3)存在，.【分析】（1）根據(jù)空間向量線性的運(yùn)算法則，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)空間向量線性的運(yùn)算法則，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合空間向量互相垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由已知得：同理，所以故異面直線與所成角的余弦值；（2）.所以當(dāng)時(shí)，的最小值為；（3）假設(shè)存在使得平面，故.因?yàn)?；由，得，化簡得，解得，滿足條件.故存在使得平面.考點(diǎn)二角度問題11．（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為1，且它們彼此的夾角都是.(1)求證：；(2)求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量轉(zhuǎn)化基底，以及加減運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，得到，即可證得；（2）根據(jù)平面向量轉(zhuǎn)化基底，求出、、，再利用夾角公式即可求解.【詳解】（1）證明：∵以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為1，且它們彼此的夾角都是，∴，∴，∴.（2）∵，，∴，，，∴，∴異面直線與所成角的余弦值為.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，設(shè)，，.（1）用，，表示，；（2）求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1），；（2）．【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算；（2）用空間向量法求解．【詳解】（1）三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，（2），，，，，，，，．所以異面直線與所成角的余弦值是．13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知平行六面體的底面是邊長為1的菱形，且，.（1）證明：；（2）求異面直線與夾角的余弦值.【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】（1）由題，選定空間中三個(gè)不共面的向量為基向量，只需證明即可；（2）用基向量求解向量的夾角即可，先計(jì)算向量的數(shù)量積，再求模長，代值計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，，由題可知：兩兩之間的夾角均為，且，（1）由所以即證.（2）由，又所以，又則又異面直線夾角范圍為所以異面直線夾角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查用基向量求解空間向量的問題，涉及異面直線的夾角，以及線線垂直的證明，是難得的好題，值得總結(jié)此類方法.14．（2023秋·湖北襄陽·高二襄陽五中?？奸_學(xué)考試）如圖，在三棱錐中，，，記二面角的平面角為．(1)若，，求三棱錐的體積；(2)若M為BC的中點(diǎn)，求直線AD與EM所成角的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）作出輔助線，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出，求出底面積和高，進(jìn)而求出三棱錐的體積；（2）利用空間基底表達(dá)出，結(jié)合第一問結(jié)論求出，從而求出答案.【詳解】（1）取AC的中點(diǎn)F，連接FD，F(xiàn)E，由BC=2，則，故DF⊥AC，EF⊥AC，故∠DFE即為二面角的平面角，即，連接DE，作DH⊥FE，因?yàn)椋云矫鍰EF，因?yàn)镈H平面DEF，所以AC⊥DH，因?yàn)?，所以DH⊥平面ABC，因?yàn)椋晒垂啥ɡ淼茫?，，又，由勾股定理逆定理可知，AE⊥CE，且∠BAC=，，在△ABC中，由余弦定理得：，解得：或（舍去），則，因?yàn)?，，所以△DEF為等邊三角形，則，故三棱錐的體積；（2）設(shè)，則，，由（1）知：，，取為空間中的一組基底，則，由第一問可知：，則其中，且，，故，由第一問可知，又是的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)槿忮F中，所以，所以，故直線AD與EM所成角范圍為.【點(diǎn)睛】針對于立體幾何中角度范圍的題目，可以建立空間直角坐標(biāo)系來進(jìn)行求解，若不容易建立坐標(biāo)系時(shí)，也可以通過基底表達(dá)出各個(gè)向量，進(jìn)而求出答案.15．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在棱長為1的正四面體中，，分別是邊，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，設(shè)，，．(1)試用向量，，表示向量；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量基底運(yùn)算即可得到結(jié)果.（2）分別求出的值，再結(jié)合向量的夾角公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）（2）由題意知，，，，則，，所以16．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)．設(shè)，，.(1)求證EG⊥AB；(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．【答案】(1)證明過程見解析；(2)【分析】（1）作出輔助線，利用三線合一證明出，從而得到線面垂直，進(jìn)而證明線線垂直；（2）用表達(dá)與，利用空間向量夾角公式求解異面直線AG和CE所成角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接DE，因?yàn)榭臻g四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，且E，G分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以，故，又因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）由題意得：均為等邊三角形且邊長為1，所以，，所以，設(shè)異面直線AG和CE所成角為，則17．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，正三棱柱中，，，，，.(1)試用，，表示；(2)求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算求解；（2）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得，，，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，且，，，，可得，，，則，所以異面直線與角的余弦值為.18．（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在棱長為2的正四面體中，為等邊三角形的中心，分別滿足.(1)用表示，并求出；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先利用正四面體幾何性質(zhì)用表示，進(jìn)而求得；（2）先求得直線與直線所成角的余弦值，進(jìn)而得到直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）連接并延長交于，則為中點(diǎn)，則，，則（2）根據(jù)題意，平面，因此，直線與平面所成角的正弦值即為直線與直線所成角的余弦值的絕對值.，且故.則直線與平面所成角的正弦值為.考點(diǎn)三距離問題19．（2023秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)分別在上，且，．(1)以為一組基底表示向量；(2)求的長度.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用空間向量運(yùn)算的幾何表示及空間向量基本定理求解；（2）利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，由展開計(jì)算即可.【詳解】（1），．（2），所以，所以，所以.20．（2024秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，，設(shè).(1)試用向量表示向量；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，根據(jù)向量關(guān)系直接可表示出；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果平方即可求出.【詳解】（1）連接，則.因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以，則.（2）由（1）可知，則，因?yàn)?，所以，則，故.21．（2023秋·福建廈門·高二福建省廈門第二中學(xué)校考階段練習(xí)）在平行六面體中，，，(1)求證：直線平面．(2)求到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）以為基底，并用基向量表示和平面，再通過向量運(yùn)算證明是平面的法向量即可；（2）利用向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)可求得，，由點(diǎn)到平面距離的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，，，則為空間的一個(gè)基底，且，，，，，，，在平面上，取為基向量，則對于平面上任意一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使得，，是平面的法向量，平面．（2）設(shè)到平面的距離為，則，，，.22．（2023秋·廣東東莞·高二東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，M為與的交點(diǎn)，設(shè)，，．(1)用，，表示并求BM的長；(2)求點(diǎn)A到直線BM的距離．【答案】(1)，BM的長為．(2)2【分析】(1)根據(jù)空間向量的基本定理可得，利用空間向量的幾何意義，等式兩邊同時(shí)平方，計(jì)算即可；(2)由(1)可得，進(jìn)而可得，即為點(diǎn)A到直線BM的距離.【詳解】（1）又，，，故BM的長為．（2）由（1）知，，∴，所以，則為點(diǎn)A到直線BM的距離，又，故點(diǎn)A到直線BM的距離為2．23．（2023秋·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖2，PABCD為四棱錐.(1)若，求證：，(2)若PABCD為正四棱錐，且，求底面中心O到面PCD的距離.（要求用向量知識(shí)求解）【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用空間向量基本定理即可求得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法去求底面中心O到面PCD的距離.【詳解】（1）∵A，B，C，D共面，∴存在實(shí)數(shù)，滿足∴∵，∴，，，∴（2）∵O為正四棱錐PABCD的底面中心，∴O為AB，CD的交點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OP為x，y，z軸建立坐標(biāo)系如圖，則，，設(shè)OG⊥平面PCD，垂足為G，則∵，，∴，同理由得∴，又C、D、P、G四點(diǎn)共面，，則，∴∴，所以底面中心到面PCD的距離為.考點(diǎn)四位置關(guān)系問題24．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在四面體中，，，，，．(1)求證：、、、四點(diǎn)共面．(2)若，設(shè)是和的交點(diǎn)，是空間任意一點(diǎn)，用、、、表示．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明出，即可證得結(jié)論成立；（2）由（1）可得出，可得出，則，由此可得出，再結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于、、、的表達(dá)式.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，，所以，則，因此、、、四點(diǎn)共面．（2）解：當(dāng)時(shí)，，即，可得，因?yàn)?，即，可得，由?）知，，，因此，又因?yàn)椤⒉辉谕粭l直線上，所以，，則，則，即，所以，.25．（2023秋·安徽合肥·高二合肥一六八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知O?A?B?C?D?E?F?G?H為空間的9個(gè)點(diǎn)，且，，，，，.求證：(1)A?B?C?D四點(diǎn)共面，E?F?G?H四點(diǎn)共面；(2)；(3).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用空間向量基本定理證明即可，（2）由，結(jié)合空間向量的減法和數(shù)乘運(yùn)算可得，從而可證得結(jié)論