2023屆高考數(shù)學重難點專題訓練專題16數(shù)列求和-錯位相減

專題16數(shù)列求和—錯位相減1.已知等比數(shù)列中，，，，．求數(shù)列的通項公式；設(shè)，求．2.已知函數(shù)的所有正數(shù)的零點構(gòu)成遞增數(shù)列

求數(shù)列的通項公式；

設(shè)，求數(shù)列的前項和．3.設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項和為，，．

求；

若，證明：．已知等比數(shù)列的公比與等差數(shù)列的公差相等，且，．

求，的通項公式

若，求數(shù)列的前項和．5.已知數(shù)列前項和為，且，．

求

設(shè)，求數(shù)列的前項和．

6.已知數(shù)列的前項和為，滿足，是以為首項且公差不為的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列．

求數(shù)列，的通項公式

令，求數(shù)列的前項和．7.已知是等差數(shù)列，其前項和為，是等比數(shù)列，，。求數(shù)列和的通項公式．記，求數(shù)列的前項和。8.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，．求數(shù)列的通項公式；若，求數(shù)列的前項和．

答案和解析1.【答案】解：設(shè)數(shù)列的公比為，則，

或舍去，

由，得，

；

，

設(shè)，

，

，

．

【解析】本題考查了等比數(shù)列的通項公式和錯位相減求和，屬于中檔題．

根據(jù)已知條件求得等比數(shù)列的首項和公比，由此求得；

利用錯位相減法求和求得．

2.【答案】解：因為，

所以由題意有，

這就是函數(shù)的全部零點．

又由已知函數(shù)的所有正數(shù)的零點構(gòu)成遞增數(shù)列，

所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，

所以；

，

則前項和，

，

相減可得

，

化簡可得．

【解析】化簡，令，求得零點，可得數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，可得所求通項公式；

求得，由數(shù)列的錯位相減法和等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，三角函數(shù)的恒等變換，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．

3.【答案】解：等比數(shù)列的公比為，首項為，前項和為，，．

所以，

解得或．

故或．

證明：由于，

所以，

設(shè)數(shù)列，設(shè)的前項和為，

故，，

，，

得：，

故．

【解析】本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查錯位相減法求和，屬于中檔題．

直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)建立方程組，進一步求出數(shù)列的通項公式；

利用錯位相減法在數(shù)列求和中的應用求出數(shù)列的和即可．

4.【答案】解：設(shè)的公比為，的公差為，

則，解得．

因為，所以．

因為，，所以，

由可知，，

令，

則，

則，

所以，即數(shù)列的前項和為．

【解析】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的前項和，錯位相減法求和，屬于一般題．

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，列式求解即可；

由得，利用裂項相消法求和即可求解．

5.【答案】解：，

，

數(shù)列為等差數(shù)列，且，

又時，，，

，，

，

，

兩式相減得

，

．

【解析】本題考查等差數(shù)列的判定及其通項公式，數(shù)列的前項和與的關(guān)系，錯位相減求和的應用，屬于中檔題．

先由已知可得數(shù)列為等差數(shù)列，可求得，進而求得；

由可得，由錯位相減法求和即可．

6.【答案】解：當時，，則．

當時，，兩式相減可得，，即．

所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，

故，

因為，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，

由，，成等比數(shù)列，所以，解得，

故，

，

，

．

相減得，

則．

【解析】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，以及錯位相減法求和，屬于中檔題．

取可得的值，由，可得數(shù)列是等比數(shù)列，從而可得；設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，得出的值，從而可得；

由可知，利用錯位相減法求和即可．

7.【答案】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．

由，得，，．

由條件，，

得方程組解得

所以，，．

由題意知．

記．

則，

，

所以

，

即，．

【解析】本題考查等差、等比數(shù)列的通項公式、前項和公式以及錯位相減法求和，考查了基本量的思想以及方程的思想，難點和易錯點是錯位相減法的使用．

設(shè)出公差和公比，由等差和等比的通項與求和列方程組求解即可．

由題意知利用錯位相減法即可求出其前項和．

8.【答案】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，

所以，解得

所以

因為，

所以，

則，

，

式式得

，

所以．

【