113導(dǎo)數(shù)的幾何意義

第一章§11變化率與導(dǎo)數(shù)113導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)UEIMUBIAO1通過曲線的割線到切線的變化過程，體會利用運(yùn)動變化和極限逼近的思想構(gòu)造導(dǎo)數(shù)的幾何意義2會求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)3會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的切線的斜率，能解決過曲線上一點(diǎn)及曲線外一點(diǎn)的切線方程問題內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對點(diǎn)練1知識梳理PARTONE1割線斜率與切線斜率設(shè)函數(shù)y＝f的圖象如圖所示，直線AB是過點(diǎn)A0，f0與點(diǎn)B0＋Δ，f0＋Δ的一條割線，此割線的斜率是知識點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義當(dāng)點(diǎn)B沿曲線趨近于點(diǎn)A時(shí)，割線AB繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動，它的極限位置為直線AD，直線AD叫做此曲線在點(diǎn)A處的于是，當(dāng)Δ→0時(shí)，割線AB的斜率無限趨近于過點(diǎn)A的切線AD的斜率，即＝＝切線f′02導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f在＝0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f在點(diǎn)P0，f0處的切線的斜率也就是說，曲線y＝f在點(diǎn)P0，f0處的切線的斜率是相應(yīng)地，切線方程為思考曲線的切線與曲線的交點(diǎn)是否一定唯一？答案曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，可以有多個(gè)甚至無窮多個(gè)f′0y－f0＝f′0－0從求函數(shù)f在＝0處導(dǎo)數(shù)的過程可以看出，當(dāng)＝0時(shí)，f′0是一個(gè)確定的數(shù)這樣，當(dāng)變化時(shí)，f′便是的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為f的簡稱導(dǎo)數(shù)y＝f的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作，即f′＝y(tǒng)′＝知識點(diǎn)二導(dǎo)函數(shù)的定義導(dǎo)函數(shù)y′特別提醒：

區(qū)別聯(lián)系f′(x0)f′(x0)是具體的值，是數(shù)值在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般先求導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)的函數(shù)值f′(x)f′(x)是函數(shù)f(x)在某區(qū)間I上每一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)組成的一個(gè)新函數(shù)，是函數(shù)′0是一個(gè)常數(shù)＝f在＝0處的導(dǎo)數(shù)f′0就是導(dǎo)函數(shù)f′在＝0處的函數(shù)值3直線與曲線相切，則直線與已知曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)4“直線l與曲線C相切”是“l(fā)與C有一個(gè)交點(diǎn)”的必要不充分條件

思考辨析判斷正誤SIAOBIANIPANDUANHENGWU√×√×2題型探究PARTTWO例11如圖，直線l是曲線y＝f在＝4處的切線，則f′4等于一、利用圖象理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義AB3C4D5√解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f′4是曲線y＝f在＝4處的切線的斜率，2已知函數(shù)f在R上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)＝，則下列不等式正確的是A<f′1<f′2 Bf′1<<f′2Cf′2<f′1< Df′1<f′2<√解析函數(shù)的增長越來越快，所以函數(shù)在該點(diǎn)的斜率越來越大，所以f′1<<f′2反思感悟?qū)?shù)的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導(dǎo)數(shù)大小的問題可以用數(shù)形結(jié)合思想來解決跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)y＝f的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)y＝f′的圖象可能是√解析由y＝f的圖象及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，當(dāng)<0時(shí)，f′>0；當(dāng)＝0時(shí)，f′＝0；當(dāng)>0時(shí)，f′<0，只有B適合條件例21冪函數(shù)y＝3在點(diǎn)2,8處的切線方程為Ay＝12－16 By＝12＋16Cy＝－12－16 Dy＝－12＋16二、求切線方程√故切線的斜率為12∴曲線在點(diǎn)2,8處的切線方程為y－8＝12－2，即y＝12－162已知曲線C：y＝求曲線C在＝2的點(diǎn)處的切線方程解將＝2代入曲線C的方程得y＝4，∴切點(diǎn)P2,4∴＝y(tǒng)′|＝2＝4∴曲線在點(diǎn)P2,4處的切線方程為y－4＝4－2，即4－y－4＝0反思感悟求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟跟蹤訓(xùn)練2若函數(shù)f＝－，求它與軸交點(diǎn)處的切線方程f′1＝2，f′－1＝2，∴所求切線方程為y＝2－1或y＝2＋1，即2－y－2＝0或2－y＋2＝0例31設(shè)曲線f＝a2在點(diǎn)1，a處的切線與直線2－y－6＝0平行，則a等于三、求切點(diǎn)坐標(biāo)√所以2a＝2，所以a＝12多選已知函數(shù)f＝在＝0處的切線的傾斜角為135°，則0等于A1B－1C2D3可得0＝±1√√反思感悟求切點(diǎn)坐標(biāo)的一般步驟1設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)2利用導(dǎo)數(shù)或斜率公式求出斜率3利用斜率關(guān)系列方程，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)4把橫坐標(biāo)代入曲線或切線方程，求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)跟蹤訓(xùn)練3曲線y＝2＋1在點(diǎn)P2,5處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是____－3∴＝y(tǒng)′|＝2＝4∴曲線y＝2＋1在點(diǎn)2,5處的切線方程為y－5＝4－2，即y＝4－3∴切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是－3核心素養(yǎng)之直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算HEINSUYANGHIHIGUANIANGIANGYUSHUUEYUNSUAN過某點(diǎn)的曲線的切線典例求過點(diǎn)－1,0與曲線y＝2＋＋1相切的直線方程＝20＋1解得0＝0或0＝－2當(dāng)0＝0時(shí)，切線斜率＝1，過－1,0的切線方程為y－0＝＋1，即－y＋1＝0當(dāng)0＝－2時(shí)，切線斜率＝－3，過－1,0的切線方程為y－0＝－3＋1，即3＋y＋3＝0故所求切線方程為－y＋1＝0或3＋y＋3＝0素養(yǎng)提升1首先要理解過某點(diǎn)的含義，切線過某點(diǎn)，這點(diǎn)不一定是切點(diǎn)2過點(diǎn)1，y1的曲線y＝f的切線方程的求法步驟①設(shè)切點(diǎn)0，f0②建立方程f′0＝③解方程得＝f′0，0，y0，從而寫出切線方程3本例考查了切線的含義及切線方程的求法體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)3隨堂演練PARTTHREE＝f在點(diǎn)0，f0處的切線方程為＋2y－3＝0，那么Af′0>0 Bf′0<0Cf′0＝0 Df′0不存在12345√的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是A0<f′2<f′3<f3－f2B0<f′2<f3－f2<f′3C0<f′3<f3－f2<f′2D0<f3－f2<f′2<f′3√f′2為函數(shù)f的圖象在點(diǎn)B2，f2處的切線的斜率，f′3為函數(shù)f的圖象在點(diǎn)A3，f3處的切線的斜率，根據(jù)圖象可知0<f′3<f3－f2<f′212345＝－在點(diǎn)M1，－2處的切線方程為Ay＝－2＋4 By＝－2－4Cy＝2－4 Dy＝2＋4√即切線的斜率＝2，所以切線方程為y＋2＝2－1，即y＝2－412345＝f的圖象在＝1處的切線方程是y＝－4，則＝_____解析函數(shù)y＝f的圖象在＝1處的切線y＝－4的斜率為1，則f′1＝1，由于切點(diǎn)1，f1在直線y＝－4上，則f1＝1－4＝－3，12345＝22＋4在點(diǎn)P處的切線斜率為16，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_______3,30令40＋4＝16，得0＝3，12345課堂小結(jié)ETANGIAOJIE1知識清單：1導(dǎo)數(shù)的幾何意義2求曲線的切線方程3導(dǎo)函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系2方法歸納：以直代曲法，待定系數(shù)法3常見誤區(qū)：1混淆在一點(diǎn)處的切線和過一點(diǎn)的切線2不理解導(dǎo)函數(shù)和在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系4課時(shí)對點(diǎn)練PARTFOUR基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516＝f的圖象如圖所示，則f′A與f′B的大小關(guān)系是Af′A>f′B Bf′A<f′BCf′A＝f′B D不能確定√解析由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知f′A，f′B分別是曲線在點(diǎn)A，B處切線的斜率，由圖象可知f′A<f′B√解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為0，y0，123456789101112131415163如圖，函數(shù)y＝f的圖象在點(diǎn)P2，y處的切線是l，則f2＋f′2等于A－4 B3C－2 D1√解析由圖象可得函數(shù)y＝f的圖象在點(diǎn)P處的切線是l，與軸交于點(diǎn)4,0，與y軸交于點(diǎn)0,4，則可知l：＋y＝4，∴f2＝2，f′2＝－1，∴f2＋f′2＝1，故選D12345678910111213141516的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f′的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A0 B1C2 D3√12345678910111213141516解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知導(dǎo)函數(shù)f′在區(qū)間－∞，0內(nèi)為負(fù)值，在區(qū)間0，＋∞內(nèi)為正值，在＝0處為0，故f′的圖象與軸有且只有1個(gè)交點(diǎn)＝2的一條切線l與直線＋4y－8＝0垂直，則l的方程為－y－4＝0 B＋4y－5＝0－y＋3＝0 D＋4y＋3＝0√解析設(shè)切點(diǎn)為0，y0，由題意可知，切線斜率＝4，即f′0＝20＝4，所以0＝2所以切點(diǎn)坐標(biāo)為2,4，切線方程為y－4＝4－2，即4－y－4＝0，故選A12345678910111213141516＝a2＋b在點(diǎn)1,3處的切線斜率為2，則＝____123456789101112131415162解析由題意知a＋b＝3，12345678910111213141516＝1－在點(diǎn)1,0處的切線的傾斜角等于____＝2＋在點(diǎn)1,2處的切線方程為____________－y＋1＝0當(dāng)＝1時(shí)，y′＝2－1＝1，∴所求切線方程為y－2＝－1，即－y＋1＝012345678910111213141516＝2＋－2在點(diǎn)1,0處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1⊥l2，求直線l2的方程12345678910111213141516所以y′|＝1＝3，所以直線l1的方程為y＝3－1，即y＝3－3，所以直線l2的方程為3＋9y＋22＝0123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516綜合運(yùn)用＝2在點(diǎn)P處的切線平行于直線4－y＋1＝0，則P點(diǎn)坐標(biāo)為A2,4 B－2,4C－1,1 D1,1√設(shè)拋物線在點(diǎn)P0，y0處的切線平行于直線4－y＋1＝0，則y′|＝20＝4，解得0＝2，即P2,4，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意1234567891011121314151612多選已知函數(shù)f＝3，過點(diǎn)作曲線f的切線，則其切線方程為Ay＝0－y－2＝0C＝0－9y－8＝0√解得0＝0或0＝1，從而切線方程為y＝0或3－y－2＝0√12345678910111213141516＝2上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝－2的最小距離為_____，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為_______解析由題意可得，當(dāng)點(diǎn)P到直線y＝－2的距離最小時(shí)，點(diǎn)P為拋物線y＝2的一條切線的切點(diǎn)，且該切線平行于直線y＝－2，12345678910111213141516＝a3＋＋1的圖象在＝1處的切線過點(diǎn)2,7，則a＝____1＝3a2＋1，∴f′1＝3a＋1，又f1＝a＋2，∴f＝a3＋＋1的圖象在點(diǎn)1，f1處的切線方程為y－a＋2＝3a＋1－1，又此切線過點(diǎn)2,7，∴7－a＋2＝3a＋12－1，解得a＝112345678910111213141516拓廣探究＝f＝，y＝g＝，過兩曲線的交點(diǎn)作