2023高中考試甲卷文數(shù)-試題答案

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，則N∪CUM=（A. B. C. D.【答案】A【詳解】因?yàn)槿?，所?UM=2,3,5又，所以N∪?故選：A.2.（）A. B.1 C. D.【答案】C【詳解】故選：C.3.已知向量，則（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，則，，所以.故選：B.4.某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的基本事件有，所以這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為.故選：D.5.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（）A.25 B.22 C.20 D.15【答案】C【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，依題意可得，，即,又，解得：，所以．故選：C.方法二：，，所以，，從而，于是，所以．故選：C.6.執(zhí)行下邊的程序框圖，則輸出的（）A.21 B.34 C.55 D.89【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，判斷框條件滿足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，，，；當(dāng)時(shí)，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，，，；當(dāng)時(shí)，判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，，，；當(dāng)時(shí)，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出．故選：B.7.設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（）A.1 B.2 C.4 D.5【答案】B【詳解】方法一：因?yàn)?，所以，從而，所以．故選：B.方法二：因?yàn)?，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.8.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)?，所以，所以所以所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故選：C9.已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的一條漸近線不妨取，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D10.在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（）A.1 B. C.2 D.3【答案】A【詳解】取中點(diǎn)，連接，如圖，是邊長為2的等邊三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故選：A11.已知函數(shù)．記，則（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】令，則開口向下，對(duì)稱軸為，因?yàn)?，而，所以，即由二次函?shù)性質(zhì)知，因?yàn)?，而，即，所以，綜上，，又為增函數(shù)，故，即.故選：A.12.函數(shù)的圖象由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【詳解】因?yàn)橄蜃笃揭苽€(gè)單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過與兩點(diǎn)，作出與的部分大致圖像如下，考慮，即處與的大小關(guān)系，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；所以由圖可知，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為________．【答案】【詳解】若，則由得，則，不合題意.所以.當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，即，即，即，解?14.若為偶函數(shù)，則________．【答案】2【詳解】，且函數(shù)為偶函數(shù)，，解得，15.若x，y滿足約束條件，則的最大值為________．【答案】15【詳解】作出可行域，如圖，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，有最大值，由可得，即,所以.16.在正方體中，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是________．【答案】【詳解】設(shè)球的半徑為.當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會(huì)包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒有交點(diǎn)，正方體的外接球直徑為體對(duì)角線長，即，故；分別取側(cè)棱的中點(diǎn)，顯然四邊形是邊長為的正方形，且為正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，連接，則，當(dāng)球的一個(gè)大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑達(dá)到最小，即的最小值為.綜上，.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求面積．【答案】（1）（2）【小問1詳解】因?yàn)?，所以，解得：．【小?詳解】由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．18.如圖，在三棱柱中，平面．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，求四棱錐的高．【答案】（1）證明見解析.（2）【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫?，平?所以,又因?yàn)椋矗矫妫?所以平面，又因?yàn)槠矫?所以平面平面.【小問2詳解】如圖，過點(diǎn)作，垂足為.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以四棱錐的高為.因?yàn)槠矫?，平?所以,,又因?yàn)?，為公共邊，所以與全等，所以.設(shè)，則，所以為中點(diǎn)，,又因?yàn)?所以,即，解得，所以，所以四棱錐的高為．19.一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；（2）（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表對(duì)照組試驗(yàn)組（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】（1）（2）（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能【小問1詳解】試驗(yàn)組樣本平均數(shù)為：【小問2詳解】（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，故第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計(jì)對(duì)照組61420試驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）在上單調(diào)遞減（2）【小問1詳解】因?yàn)?，所以，則，令，由于，所以，所以，因?yàn)椋?，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】法一：構(gòu)建，則，若，且，則，解得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以，，則，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價(jià)于，所以的取值范圍為.法二：因?yàn)?，因?yàn)?，所以，，故在上恒成立，所以?dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，令，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點(diǎn)，使得，此時(shí)在上有，所以在上單調(diào)遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.21.已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，AB=415．（1）求；（2）設(shè)為的焦點(diǎn)，為上兩點(diǎn)，且，求面積的最小值．【答案】（1）（2）【小問1詳解】設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因?yàn)?，解得：．【小?詳解】因?yàn)?，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，因?yàn)?，所以，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當(dāng)時(shí)，的面積．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.已知點(diǎn)，直線（為參數(shù)），為的傾斜角，與軸正半軸、軸正半軸分別交于，且．（1）求；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程．【答案】（1）（2）【小問1詳解】因?yàn)榕c軸，軸正半軸交于兩點(diǎn)，所以，令，，令，，所以，所以，即，解得，