高等數(shù)學(xué)MATLAB實(shí)驗(yàn)四 數(shù)據(jù)擬合問題 實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書

#實(shí)驗(yàn)四數(shù)據(jù)擬合問題實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?、加深對函數(shù)基本概念的理解；2、掌握利用函數(shù)解決實(shí)際問題的方法；3、掌握MATLAB軟件中有關(guān)函數(shù)、繪圖等命令實(shí)驗(yàn)要求：掌握函數(shù)基本知識，熟悉MATLAB中繪圖命令plot。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：某研究所為了研究氮肥(N)的施肥量與土豆產(chǎn)量的關(guān)系，做了十次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表1-1，其中hm表示公頃，t表示噸，kg表示千克，試分析氮肥的施肥量與土豆產(chǎn)量之間的關(guān)系。表1-1氮肥施肥量與土豆產(chǎn)量關(guān)系的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)施肥量x(kg/hm)03467101135202259336404471產(chǎn)量y(t/hm)15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75實(shí)驗(yàn)方案設(shè)y代表土豆產(chǎn)量，x代表氮肥的施肥量。顯然，y與x之間應(yīng)該有某種關(guān)系，假設(shè)y與x之間的關(guān)系為函數(shù)關(guān)系，則問題就轉(zhuǎn)化為已知數(shù)據(jù)點(diǎn)(x,y)，尋找函數(shù)y=y(x)，這ii就是數(shù)據(jù)擬合問題。所謂數(shù)據(jù)擬合，就是從一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)(x,y)出發(fā)，尋找函數(shù)y=y(x)的一個(gè)近似表

ii達(dá)式y(tǒng)=f(x)(稱為經(jīng)驗(yàn)公式)。從幾何上看，就是希望根據(jù)給定的這些數(shù)據(jù)點(diǎn)(x,y)，ii求曲線y=y(x)的一條近似曲線y=f(x)。近似曲線y=f(x)不必過每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，但如果近似曲線的效果要好的話，那么數(shù)據(jù)點(diǎn)(x,y)離近似曲線的距離應(yīng)該盡量小，用偏差平ii方和函數(shù)W二工(f(x)-y)2iii來刻畫近似曲線的效果，偏差平方和函數(shù)越小則近似曲線的擬合效果越好，因此最好的近似曲線應(yīng)該滿足min工(f(x)-y)2。iii多項(xiàng)式函數(shù)由于性質(zhì)良好，計(jì)算方便，常常用來進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合?？梢钥紤]采用｛1,x,x2｝作為基函數(shù)來擬合這組數(shù)據(jù)(即用二次多項(xiàng)式函數(shù)a+ax+ax2作為經(jīng)驗(yàn)公式)，此時(shí)偏差012平方和函數(shù)為W二工(a+ax+ax2-y)2，012ii其中n為數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)目，要使偏差平方和函數(shù)W最小，需要

na+a工x+a工x2=工yTOC\o"1-5"\h\z01i2iii=1i=1i=1<a工x+a工x2+a工x3=工xy0i1i2iiii=1i=1i=1i=1a工x2+a工x3+a工x4=工x2y0i1i2iiii=1i=1i=1i=1(該方程組稱為法方程組)，將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(x,y)代入上式，解得iia二14.7391,0a二0.1973139,1a二—0.000339492,2即擬合函數(shù)為y=14.7391+0.1973139x—0.000339492x2o從圖1可以看出擬合效果比較好，但是是否還可以更好呢？一般而言，擬合次數(shù)的提

高可以使得擬合效果變好，但是并不是次數(shù)越高越好，現(xiàn)在提高擬合次數(shù)，將基函數(shù)由{1,x,x2}修改為{1,x,x2,x3}(三次擬合)，{1,x,x2,x3,x4}(四次擬合)LL，得到擬合圖2—圖4o從圖形可以看出，擬合曲線的次數(shù)在二、三、四、五次擬合時(shí)效果都相差不大，但是高次擬合效果反而不理想，例如本例中的十次擬合，所以在本例使用二次擬合效果就比較好了，擬合函數(shù)為y=14.7391+0.1973139x—0.000339492x2。實(shí)驗(yàn)過程：>>clear>>x=[0,34,67,101,135,202,259,336,404,471];>>y=[15.18,21.36,25.72,32.29,34.03,39.45,43.15,43.46,40.83,30.75];>>p=polyfit(x,y,2);%polyfit(x,y,n)，用多項(xiàng)式求過已知點(diǎn)的表達(dá)式，其中x為源數(shù)據(jù)點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo),y為源數(shù)據(jù)點(diǎn)對應(yīng)的縱坐標(biāo),n為你要擬合的階數(shù)，一階直線擬合，二階拋物線擬合，并非階次越高越好，看擬合情況>>disp([num2str(p(1)),'*xA2+',num2str(p(2)),'*x+',num2str(p(3))]);%disp屏幕輸出函數(shù),num2str把數(shù)值轉(zhuǎn)換成字符串，轉(zhuǎn)換后可以使用fprintf或disp函數(shù)進(jìn)行輸出；-0.00033953*xA2+0.19715*x+14.7416>>xx=linspace(0,471,100);%表示從0到471生成100個(gè)數(shù)>>yy=polyval(p,xx);%返回多項(xiàng)式p在xx處的值>>plot(x,y,'r*',xx,yy)

圖2三次擬合效果圖

圖4五次擬合效果圖附錄：三次擬合程序>>clear>>x=[0,34,67,101,135,202,259,336,404,471];>>y=[15.18,21.36,25.72,32.29,34.03,39.45,43.15,43.46,40.83,30.75];>>p=polyfit(x,y,4);>>disp([num2str(p(1)),'*x^4+',num2str(p(2)),'*xA3+',num2str(p(3)),'*x八2+',num2str(p(4))