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文檔簡介

若 f(x)0，則稱f(x)為xx0時的無窮小量.即

(x)任給總存在>0,使得當0(X

xx0(xX)

時，f

limsinx

0,函數(shù)sinx是當x0時的無窮小limx

0

lim 數(shù)列{ 注意1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆1x

f(x)Af(x)A(其中x)是當xx0時的無窮小必要性x

fx)A,令x)fxx

(x) f(x)A(充分性fx)A其中x)是當xx0時的無窮小

f(x)lim(A

(x))A

(x)

fx)Afx)Ax),其中x)是當xx0時的無窮小給出了函數(shù)f( f(x)A,誤差為(x).定理2在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和、定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小定理2在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證設及是當x時的兩個無窮小,0,N10,N20x

x

Nmax{N1N2xN時

0(x 注意例如n時1n

n定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小證設函數(shù)u在U0x01則M0,10,使得當0x 1時恒有uM又設是當xx0時的無窮小0, 0,使得當0x 時恒有 取min{120

x

時u

u

MM

當xx0時u為無窮小推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小例如,當x0時xsin1xx

arctanxxx0fx(x)f(x)為xx0時的無窮大量，并記為: f(x).(x) xx0(x)即：任給M>0,總存在 0,使得0x 時(X (xXf(

Mx(x

fx) (x(x

f(x)注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆x

fx)的極限是不存在的例如,當x0時,y1sin y1sin 是一個無界變量但不是無窮大

2k

(k2y(x0)2k2

當k充分大時,y(x0)M

(k當k充分大時xk但y(xk)2ksin2k0M

x3x xxxx

x

<1,即2<x 任給M>0

2x

M，

x3 xx

M

x

定義x

x3xfx),則直線xx0是函數(shù)yf的圖形的鉛直漸近線定理4在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;證limfx)x0,對于

1,1f1f(

0,使得當0

x

恒有f

M1

當x

f(

反之,x

f(x)1

0,fx)M0對于＝，M

x

恒有f

＝1M

由于f

當x

x時 1f( f1f(

為無窮大1(1)lim ⑵ 21 x2x limxcos

limx

cos1xlim(111nn limn

lim1n xx

∵lim

1 2x

=lim

cos1xx1x

1x (111) limn lim

n ，當x0時，是無窮大量.當x時，是無窮小量 fx) 在x0附近fx)無界x(x)

n37fx0x

f(x)例fx x

f(x)1x

f(x)lim1x

A

條件下,直線yc是函yfxx

f(x) f(x)Alimx

0)4、在同一過程中,若f(x)是無窮大, 是無窮小.

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