傾斜角與斜率精講（7大題型）（原卷版）

2.傾斜角與斜率重點(diǎn)：1、直線的傾斜角的概念；2、直線的斜率公式；難點(diǎn)：1、直線的傾斜角公式與斜率的變化關(guān)系；2、直線的斜率公式。一、直線的傾斜角1、定義：當(dāng)直線與相交時(shí)，我們把軸稱為基準(zhǔn)，軸的正向與向上的方向之間所產(chǎn)生的角叫做直線的傾斜角。2、傾斜角的范圍：。當(dāng)時(shí)，表示直線與x軸平行或與x軸重合.【注意】1、定義中含有的三個(gè)條件①直線向上方向；②軸正向；③小于的角.2、從運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)看，直線的傾斜角是由軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的角.3、直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有唯一的傾斜角和它對應(yīng).4、已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點(diǎn)和這條直線的傾斜角可以唯一確定直線的位置.二、直線的斜率1、定義：傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示，即．【注意】（1）當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，，；（2）直線與軸垂直時(shí)，，不存在.由此可知，一條直線的傾斜角一定存在，但是斜率不一定存在.2、直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系由斜率的定義可知：圖示傾斜角（范圍）斜率（范圍）不存在直線的斜率與直線的傾斜角(除外)為一一對應(yīng)關(guān)系，在和內(nèi)分別與傾斜角變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．4、斜率公式已知點(diǎn)、，且與軸不垂直，過兩點(diǎn)、的直線的斜率公式.題型一求直線的斜率【例1】（2023秋·貴州黔西·高二統(tǒng)考期末）已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為（）A．B．C．D．【變式11】（2022秋·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）經(jīng)過、兩點(diǎn)的直線的斜率為．【變式12】（2022秋·重慶北碚·高二重慶市兼善中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過兩點(diǎn)和的直線的斜率為（）A．B．1C．D．【變式13】（2022秋·廣東湛江·高三?？茧A段練習(xí)）直線經(jīng)過兩點(diǎn)，直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則的斜率為.題型二求直線的傾斜角【例2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，直線與軸的夾角為，則的傾斜角為（）A．B．C．D．無法計(jì)算【變式21】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）一束光線射到軸上并經(jīng)軸反射．已知入射光線的傾斜角，則反射光線的傾斜角．【變式22】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）若直線與軸交于點(diǎn)，其傾斜角為，直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得直線，則直線的傾斜角可能為（）A．B．C．D．【變式23】（2022秋·河北石家莊·高二?？奸_學(xué)考試）設(shè)直線l的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A．B．C．D．題型三由傾斜角與斜率求參【例3】（2023春·河北張家口·高二張家口市宣化第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，兩點(diǎn)所在直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)的值為（）A．B．C．D．5【變式31】（2022秋·河南南陽·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)m為實(shí)數(shù)，過兩點(diǎn)的直線l的傾斜角為．求m的值（）A．m＝﹣1或m＝﹣2B．m＝﹣2C．D．m＝﹣1【變式32】（2023·全國·高一專題練習(xí)）過點(diǎn)P(2，m)，Q(m，4)的直線的斜率為1，那么m的值為（）A．1或4B．4C．1或3D．1【變式33】（2022秋·安徽六安·高二?？茧A段練習(xí)）若過點(diǎn)，的直線的傾斜角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．題型四斜率與傾斜角的關(guān)系【例4】（2023春·上海寶山·高一上海交大附中?？计谀┰谙铝兴膫€(gè)命題中，正確的是（）A．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為B．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為C．坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率D．直線的傾斜角的取值范圍是【變式41】（2023秋·貴州貴陽·高二統(tǒng)考期末）以下四個(gè)命題，正確的是（）A．若直線l的斜率為1，則其傾斜角為45°或135°B．經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為銳角C．若直線的傾斜角存在，則必有斜率與之對應(yīng)D．若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對應(yīng)【變式42】（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)?？计谀┫铝姓f法正確的是（）A．直線的傾斜角越大，它的斜率越大；B．兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也相等；C．任何一條直線都有唯一的斜率；D．任何一條直線都有唯一的傾斜角．【變式43】（2022秋·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）關(guān)于直線的傾斜角和斜率，有下列說法：①兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等；②平行于x軸的直線的傾斜角為或；③若直線過點(diǎn)與，則該直線的斜率為．其中正確說法的個(gè)數(shù)為（）A．3B．2C．1D．0題型五圖象中的斜率與傾斜角【例5】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，若直線的斜率分別為，則（）A．B．C．D．【變式51】（2022·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示，若直線，，的斜率分別為，，，則（）A．B．C．D．【變式52】（2022秋·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如下圖，設(shè)直線的斜率分別為，則用“＜”號(hào)將它們的斜率連接起來后，得到的結(jié)果為（）A．B．C．D．【變式53】（2022·高二單元測試）已知平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的四條邊AB，BC，CD，DA所在的直線分別為，，，，如圖所示，它們的斜率分別為，，，，則（）A．B．C．D．題型六由斜率解決三點(diǎn)共線問題【例6】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)的值為（）A．2B．4C．8D．12【變式61】（2022秋·安徽六安·高二?？茧A段練習(xí)）已知，，若在線段上，則的最小值為（）A．B．C．D．【變式62】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）若直線的斜率，且過點(diǎn)，則直線經(jīng)過點(diǎn)（）A．B．C．D．【變式63】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中?？计谥校┮阎c(diǎn)，，，若線段，，不能構(gòu)成三角形，則的值是.題型七直線與線段有公共點(diǎn)問題【例7】（2022秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知兩點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A．B．或C．D．【變式71】（2022秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）已知兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍為（

）A．B．C．D．【變式72】（2023秋·高