重慶市黔江區(qū)新華中學(xué)高三下學(xué)期第二次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷

2021年重慶市黔江區(qū)新華中學(xué)高考數(shù)學(xué)第二次聯(lián)考試卷一.單選題（每小題5分）.1．已知集合，集合B＝{x|3≤x≤6}，則A∩B＝（）A．（3，6） B．[3，6） C．[4，5） D．[4，5]2．z＝（a∈R），若z為實數(shù)，則a的值為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖所示，則此函數(shù)可能是（）A．f（x）＝ B．f（x）＝ C．f（x）＝ D．f（x）＝4．已知a，b為不同直線，α，β為不同平面，則下列結(jié)論正確的是（）A．若a⊥α，b⊥a，則b∥α B．若a，b?α，a∥β，b∥β，則α∥β C．若a∥α，b⊥β，a∥b，則α⊥β D．若α∩β＝b，a?α，a⊥b，則α⊥β5．若x0＝cosx0，則（）A．x0∈（，） B．x0∈（，） C．x0∈（，） D．x0∈（0，）6．從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的概率為（）A． B． C． D．7．已知球O表面上的四點A，B，C，D滿足AC＝BC＝，AB＝2，若四面體ABCD體積的最大值為，則球O的表面積為（）A． B． C． D．8π8．設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線的左右焦點，點P（x0，2a）為雙曲線上的一點，若△PF1F2的重心和內(nèi)心的連線與x軸垂直，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二.多選題（每題5分，漏選得2分，選錯0分。共20分）9．給出下列四個關(guān)于圓錐曲線的命題，真命題的有（）A．設(shè)A，B為兩個定點，k為非零常數(shù)，||PA|﹣|PB||＝|k|，則動點P的軌跡為雙曲線 B．過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，則弦AB的中點P的軌跡為橢圓 C．方程2x2﹣5x+2＝0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率 D．雙曲線﹣＝1與橢圓+y2＝1有相同的焦點10．在長方體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝3，AA′＝1，以D為原點，以，，分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，則下列說法正確的是（）A．＝（﹣3，﹣2，1） B．異面直線A′D與BD′所成角的余弦值為 C．平面A′C′D的一個法向量為（﹣2，﹣3，6） D．二面角C′﹣A′D﹣D′的余弦值為11．已知a＞0，b＞0，則下列結(jié)論正確的是（）A．若a+b＝2，則ab≤1 B．若c＞0，則 C．若loga2020＞logb2020＞0，則 D．若，則12．已知函數(shù)f（x）＝，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)f（x）在（0，π）上單調(diào)遞減 B．函數(shù)f（x）在（﹣π，0）上有極小值 C．方程f（x）＝在（﹣π，0）上只有一個實根 D．方程f（x）＝在上有兩個實根三.填空題（每題5分，共20分）13．在的展開式中，x4的系數(shù)是．14．如果圓（x﹣2a）2+（y﹣a﹣3）2＝4上總存在兩個點到原點的距離為1，則實數(shù)a的取值范圍是．15．若數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝1，an＝an﹣1+an﹣2（n≥3，n∈N*），則稱數(shù)列{an}為斐波那契數(shù)列．斐波那契螺旋線是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，如圖1中的實線部分（正方形內(nèi)的數(shù)字與an為所在正方形的邊長，每個正方形中的曲線與正方形的兩邊構(gòu)成圓心角為90°的扇形）．自然界中存在許多這樣的圖案，比如向日葵種子的排列、蘆薈葉子的排列等（如圖2），若一母線長為16的圓錐的底面周長恰好等于圖1的螺旋曲線的長度，則該圓錐的側(cè)面積為．16．函數(shù)f（x）＝x2﹣axlnx在上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是．四.解答題（共70分）17．已知{an}是遞增的等比數(shù)列，a5＝48，4a2，3a3，2a4成等差數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}滿足b1＝a2，bn+1＝bn+an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．18．某校在圓心角為直角，半徑為1km的扇形區(qū)域內(nèi)進行野外生存訓(xùn)練，在相距1km的A，B（A，B在弧上）兩個位置分別有300，100名學(xué)生，在道路OB上設(shè)置集合點D，要求所有學(xué)生沿最短路徑到D點集合，記所有學(xué)生行進的總路程為S（km）．（1）設(shè)∠ADO＝θ，寫出S關(guān)于θ的函數(shù)表達式；（2）當S最小時，集合地點D離點A多遠？19．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC，且側(cè)面ACC1A1為菱形，∠A1AC＝60°，E是BB1的中點，F(xiàn)是AC1與A1C的交點．（1）求證：EF∥底面ABC；（2）求BC與平面A1AB所成角θ的正弦值．20．已知橢圓焦點在x軸上過點（0，1），且離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）A1，A2為橢圓C的左、右頂點，直線l：x＝2與x軸交于點D，點P是橢圓C：＝1（a＞b＞0）上異于A1，A2的動點，直線A1P，A2P分別交直線l于E，F(xiàn)兩點．證明：|DE|?|DF|恒為定值．21．有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗：從中任取8件，經(jīng)檢驗都為優(yōu)質(zhì)品時接受這批產(chǎn)品，若優(yōu)質(zhì)品數(shù)小于6件則拒收；否則做第二次檢驗，其做法是從產(chǎn)品中再另任取3件，逐一檢驗，若檢測過程中檢測出非優(yōu)質(zhì)品就要終止檢驗且拒收這批產(chǎn)品，否則繼續(xù)產(chǎn)品檢測，且僅當這3件產(chǎn)品都為優(yōu)質(zhì)品時接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為0.9．且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立．（1）記X為第一次檢驗的8件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)，求X的期望與方差；（2）求這批產(chǎn)品被接受的概率；（3）若第一次檢測費用固定為1000元，第二次檢測費用為每件產(chǎn)品100元，記Y為整個產(chǎn)品檢驗過程中的總費用，求Y的分布列5≈6≈7≈8≈9≈0.387）22．設(shè)函數(shù)f（x）＝x3+3|x﹣a|，a∈R．（1）若a＝1，求曲線y＝f（x）在x＝2處的切線方程；（2）當x∈[﹣1，1]時，求函數(shù)f（x）的最小值；（3）已知a＞0，且對任意的x∈[1，+∞），都有f（x+a）﹣f（1+a）≥15a2lnx，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案一.單選題：（每題5分，共40分）1．已知集合，集合B＝{x|3≤x≤6}，則A∩B＝（）A．（3，6） B．[3，6） C．[4，5） D．[4，5]解：∵A＝{x|4≤x＜5}，B＝{x|3≤x≤6}，∴A∩B＝[4，5）．故選：C．2．z＝（a∈R），若z為實數(shù)，則a的值為（）A． B． C． D．解：z＝＝＝＝，∵z為實數(shù)，a∈R，∴2a﹣3＝0，解得a＝．故選：D．3．已知函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖所示，則此函數(shù)可能是（）A．f（x）＝ B．f（x）＝ C．f（x）＝ D．f（x）＝解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，f（x）＝，有x2+|x|﹣2≠0，解可得x≠±1，即f（x）的定義域為{x|x≠±1}，又由f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），f（x）為奇函數(shù)，在區(qū)間（0，1）上，ex﹣e﹣x＞0，x2+|x|﹣2＜0，f（x）＜0，在區(qū)間（1，+∞）上，ex﹣e﹣x＞0，x2+|x|﹣2＞0，f（x）＞0，符合題意，對于B，f（x）＝，有x2+|x|﹣2≠0，解可得x≠±1，即f（x）的定義域為{x|x≠±1}，在區(qū)間（0，1）上，e﹣x﹣ex＜0，x2+|x|﹣2＜0，f（x）＞0，與圖象不符，不符合題意，對于C，f（x）＝，有ex﹣e﹣x≠0，解可得x≠0，即f（x）的定義域為{x|x≠0}，與圖象不符，不符合題意，對于D，f（x）＝，有ex﹣e﹣x≠0，解可得x≠0，即f（x）的定義域為{x|x≠0}，與圖象不符，不符合題意，故選：A．4．已知a，b為不同直線，α，β為不同平面，則下列結(jié)論正確的是（）A．若a⊥α，b⊥a，則b∥α B．若a，b?α，a∥β，b∥β，則α∥β C．若a∥α，b⊥β，a∥b，則α⊥β D．若α∩β＝b，a?α，a⊥b，則α⊥β解：若a⊥α，b⊥a，則b?α或b∥α，故A錯誤；若a，b?α，a∥β，b∥β，則α∥β，錯誤，只有在a與b相交的條件下α∥β，若a∥b，α與β可能平行，也可能相交；若a∥α，a∥b，則b∥α或b?α，又b⊥β，則α⊥β，故C正確；若α∩β＝b，a?α，a⊥b，則α⊥β，錯誤，α與β可能相交不垂直．故選：C．5．若x0＝cosx0，則（）A．x0∈（，） B．x0∈（，） C．x0∈（，） D．x0∈（0，）解：x0＝cosx0，方程的根就是函數(shù)f（x）＝x﹣cosx的零點，函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，并且f（）＝﹣cos＝＜0，f（）＝＞0，所以f（）?f（）＜0，所以函數(shù)的零點在（，），所以x0∈（，）．故選：C．6．從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的概率為（）A． B． C． D．解：從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，基本事件總數(shù)n＝＝10，選出的2名同學(xué)中恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)包含的基本事件個數(shù)m＝＝6，則選出的2名同學(xué)中恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的概率P＝＝＝．故選：C．7．已知球O表面上的四點A，B，C，D滿足AC＝BC＝，AB＝2，若四面體ABCD體積的最大值為，則球O的表面積為（）A． B． C． D．8π解：如圖，當平面ABD與平面ABC垂直時，四面體ABCD體積最大，由AC＝BC＝，AB＝2，得∠ACB＝90°，∴××××DG＝，解得DG＝2，設(shè)四面體ABCD的外接球半徑為r，則r2＝（2﹣r）2+12，解得r＝．∴球O的表面積為4π×＝．故選：A．8．設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線的左右焦點，點P（x0，2a）為雙曲線上的一點，若△PF1F2的重心和內(nèi)心的連線與x軸垂直，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．解：如圖設(shè)P在第一象限，內(nèi)切圓的圓心為I，內(nèi)切圓與PF1，PF2，F(xiàn)1F2分別切與點E，F(xiàn)，G，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)得：PE＝PF，F(xiàn)1E＝F1G，F(xiàn)2F＝F2G，根據(jù)雙曲線的定義知：PF1﹣PF2＝2a，即（PE+F1E）﹣（PF﹣F2F）＝2a，∴F1G﹣F2G＝2a，①又F1G+F2G＝2c，②，聯(lián)立①②解得F1G＝a+c，F(xiàn)2G＝c﹣a，∴G（a，0），∴內(nèi)心I的橫坐標為a，∵△PF1F2的重心和內(nèi)心的連線與x軸垂直，∴△PF1F2的重心的橫坐標為a，由三角形的重心坐標公式可得a＝，解得x0＝3a，∴P（3a.2a），將P的坐標代入雙曲線可得：﹣＝1，即9﹣＝1，化簡得3a2＝2c2，所以離心率e＝＝．故選：A．二.多選題（每題5分，漏選得2分，選錯0分。共20分）9．給出下列四個關(guān)于圓錐曲線的命題，真命題的有（）A．設(shè)A，B為兩個定點，k為非零常數(shù)，||PA|﹣|PB||＝|k|，則動點P的軌跡為雙曲線 B．過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，則弦AB的中點P的軌跡為橢圓 C．方程2x2﹣5x+2＝0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率 D．雙曲線﹣＝1與橢圓+y2＝1有相同的焦點解：對于A：設(shè)A，B為兩個定點，設(shè)|AB|＝2c，k為非零常數(shù)，當||PA|﹣|PB||＝|k|，且|AB|＞|k|時，則動點P的軌跡為雙曲線，故A錯誤；對于B：設(shè)定圓的半徑為R，設(shè)點P（x，y），所以點P的軌跡滿足|AP|2+|OP|2＝R2，由于R2＞R符合橢圓的定義，故正確；對于C：方程2x2﹣5x+2＝0的兩根為2和，即橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為2，故C正確；對于D：雙曲線﹣＝1與橢圓+y2＝1有相同的焦點都為（）和（﹣），故D正確．故選：BCD．10．在長方體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝3，AA′＝1，以D為原點，以，，分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，則下列說法正確的是（）A．＝（﹣3，﹣2，1） B．異面直線A′D與BD′所成角的余弦值為 C．平面A′C′D的一個法向量為（﹣2，﹣3，6） D．二面角C′﹣A′D﹣D′的余弦值為解：在長方體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝3，AA′＝1，以D為原點，以，，分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，對于A，∵B（3，2，0），D′（0，0，1），∴＝（﹣3，﹣2，1），故A正確；對于B，A′（3，0，1），D（0，0，0），＝（﹣3，0，﹣1），＝（﹣3，﹣2，1），設(shè)異面直線A′D與BD′所成角為α，則異面直線A′D與BD′所成角的余弦值為：cosα＝＝＝，故B錯誤；對于C，C′（0，2，1），＝（3，0，1），＝（0，2，1），設(shè)平面A′C′D的一個法向量為＝（x，y，z），則，取z＝6，得平面A′C′D的一個法向量為（﹣2，﹣3，6），故C正確；對于D，平面A′C′D的一個法向量為＝（﹣2，﹣3，6），平面A′D′D的一個法向量為＝（0，1，0），∴二面角C′﹣A′D﹣D′的余弦值為：|cos＜＞|＝＝，故D正確．故選：ACD．11．已知a＞0，b＞0，則下列結(jié)論正確的是（）A．若a+b＝2，則ab≤1 B．若c＞0，則 C．若loga2020＞logb2020＞0，則 D．若，則解：對于A，由于，則ab≤1，故A正確；對于B，當a＝b時，，故B錯誤；對于C，由loga2020＞logb2020＞0得，則有1＜a＜b，設(shè)函數(shù)，，則f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，所以f（a）＜f（b），即，則有，故C正確；對于D，，當且僅當，，即，b＝3時取等號，故D正確．故選故選：ACD．12．已知函數(shù)f（x）＝，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)f（x）在（0，π）上單調(diào)遞減 B．函數(shù)f（x）在（﹣π，0）上有極小值 C．方程f（x）＝在（﹣π，0）上只有一個實根 D．方程f（x）＝在上有兩個實根解：因為f（x）＝，所以f′（x）＝，當f′（x）＞0，即cosx﹣sinx﹣1＞0，所以sin（x+）＞，所以2kπ+＜x+＜2kπ+，k∈Z，所以2kπ﹣＜x＜2kπ，k∈Z，當k＝0時，﹣＜x＜0，當k＝1時，＜x＜2π；當f′（x）＜0，即cosx﹣sinx﹣1＜0，所以sin（x+）＜，所以2kπ﹣＜x+＜2kπ+，k∈Z，所以2kπ﹣2π＜x＜2kπ﹣，k∈Z，當k＝0時，﹣2π＜x＜﹣，當k＝1時，0＜x＜，所以當x∈（0，π）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，故A正確；又因為當x∈（﹣π，﹣）時，f′（x）＜0，x∈（﹣，0）時，f′（x）＞0，所以f（x）在x＝﹣處取得極小值，故B正確；因為f（﹣π）＝eπ，f（﹣）＝0，f（0）＝1，所以f（x）＝在（﹣π，0）上不只有一個實數(shù)根，故C錯誤；因為方程f（x）＝，即＝，所以＝，所以tanx＝，正切函數(shù)y＝tanx在上單調(diào)遞增，y＝，y′＝，當x∈時，（0，1）時，y′＜0，當x∈（1，）時，y′＞0，且當x∈時，y＝＜0，作出兩函數(shù)的大致圖象，如圖所示：由圖象可得，當x∈，函數(shù)y＝tanx與y＝的圖象有兩個交點，故D正確．故選：ABD．三.填空題（每題5分，共20分）13．在的展開式中，x4的系數(shù)是80．解：在的展開式的通項公式為Tr+1＝?25﹣r?，令5﹣＝4，可得r＝2，可得x4的系數(shù)是?23＝80，故答案為：80．14．如果圓（x﹣2a）2+（y﹣a﹣3）2＝4上總存在兩個點到原點的距離為1，則實數(shù)a的取值范圍是．解：原問題可轉(zhuǎn)化為：圓（x﹣2a）2+（y﹣a﹣3）2＝4和圓x2+y2＝1相交，可得兩圓圓心之間的距離d＝＝，由兩圓相交可得，平方可得1＜5a2+6a+9＜9，解得故答案為：15．若數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝1，an＝an﹣1+an﹣2（n≥3，n∈N*），則稱數(shù)列{an}為斐波那契數(shù)列．斐波那契螺旋線是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，如圖1中的實線部分（正方形內(nèi)的數(shù)字與an為所在正方形的邊長，每個正方形中的曲線與正方形的兩邊構(gòu)成圓心角為90°的扇形）．自然界中存在許多這樣的圖案，比如向日葵種子的排列、蘆薈葉子的排列等（如圖2），若一母線長為16的圓錐的底面周長恰好等于圖1的螺旋曲線的長度，則該圓錐的側(cè)面積為132π．解：由a1＝1，a2＝1，an＝an﹣1+an﹣2（n≥3，n∈N*），得a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，a7＝13，則圖1中螺旋線的長度為，設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，母線長為l，則，l＝16，∴圓錐的側(cè)面積為．故答案為：132π．16．函數(shù)f（x）＝x2﹣axlnx在上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是．解：f′（x）＝2x﹣a（lnx+1），若函數(shù)f（x）＝x2﹣axlnx在上不單調(diào)，則方程f′（x）＝0在上有根即方程a＝在上有根且方程的根是函數(shù)f′（x）的變號零點，令g（x）＝，則g′（x）＝，x∈（，1）時，g′（x）＜0，g（x）遞減，x∈（1，2）時，g′（x）＞0，g（x）遞增，又g（1）＝2，g（）＝，g（2）＝，由g（2）﹣g（）＝﹣＞0，得g（x）∈（2，），故a∈（2，），故答案為：（2，）．四.解答題（共70分）17．已知{an}是遞增的等比數(shù)列，a5＝48，4a2，3a3，2a4成等差數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}滿足b1＝a2，bn+1＝bn+an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．解：（Ⅰ）設(shè)首項為a1，公比為q的遞增的等比數(shù)列，a5＝48，4a2，3a3，2a4成等差數(shù)列．故：，解得：q＝2或1（舍去），整理得：a1＝3，所以：，（Ⅱ）數(shù)列{bn}滿足b1＝a2，bn+1＝bn+an，所以：b1＝6．則：bn＝（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1，＝an﹣1+an﹣2+…+a2+a1+b1，＝，＝3?2n﹣1+3所以：Sn＝b1+b2+…+bn＝．18．某校在圓心角為直角，半徑為1km的扇形區(qū)域內(nèi)進行野外生存訓(xùn)練，在相距1km的A，B（A，B在弧上）兩個位置分別有300，100名學(xué)生，在道路OB上設(shè)置集合點D，要求所有學(xué)生沿最短路徑到D點集合，記所有學(xué)生行進的總路程為S（km）．（1）設(shè)∠ADO＝θ，寫出S關(guān)于θ的函數(shù)表達式；（2）當S最小時，集合地點D離點A多遠？解：（1）△AOD中，∠ADO＝θ，OA＝1，由正弦定理得＝＝＝，解得AD＝，OD＝，且θ∈（，）；∴S＝300AD+100BD＝300×+100×（1﹣）＝50?+50，其中θ∈（，）；（2）令y＝，則y′＝，當cosθ＞時，y′＜0，y單調(diào)遞減；當cosθ＜時，y′＞0，y單調(diào)遞增；∴當且僅當cosθ＝時，y取得最小值為＝2；此時AD＝＝，即AD＝時，S取得最小值為50?2+50＝100+50；答：當D、A的距離為時，S取得最小值為100+50（km）．19．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC，且側(cè)面ACC1A1為菱形，∠A1AC＝60°，E是BB1的中點，F(xiàn)是AC1與A1C的交點．（1）求證：EF∥底面ABC；（2）求BC與平面A1AB所成角θ的正弦值．解：（1）證法一：取CC1的中點M，連接EM，F(xiàn)M，∵F是AC1與A1C的交點，且側(cè)面ACC1A1是菱形，∴F是AC1的中點，∴FM∥AC，∵FM?底面ABC，AC?底面ABC，∴FM∥底面ABC，∵BB1∥CC1，BB1＝CC1，E為BB1中點，∴BE∥CM，BE＝CM，∴四邊形BCME為平行四邊形，∴EM∥BC，∵EM?底面ABC，BC?底面ABC，∴EM∥底面ABC，∵EM∩FM＝M，EM?平面EFM，F(xiàn)M?平面EFM，∴平面EFM∥底面ABC，∵EF?平面EFM，∴EF∥底面ABC．證法二：取AC中點O，連接OB，OF，∵F是AC1與A1C的交點，且側(cè)面ACC1A1為菱形，∴F是A1C的中點，∴OF∥AA1，OF＝，∵E是BB1的中點，AA1∥BB1，AA1＝BB1，∵E是BB1的中點，AA1∥BB1，AA1＝BB1，∴OF∥BE，OF＝BE，∴四邊形OBEF是平行四邊形，∴EF∥OB，又EF?底面ABC，OB?底面ABC，∴EF∥底面ABC．（2）連接OA1，∵側(cè)面ACC1A1為菱形，∠A1AC＝60°，∴△A1AC是正三角形，∴A1O⊥AC，∵側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC，側(cè)面ACC1A1∩底面ABC＝AC，A1O?側(cè)面ACC1A1，∴A1O⊥底面ABC，∵底面ABC為正三角形，O為AC的中點，∴BO⊥AC，以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)B，OC，OA所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，∵底面ABC是邊長為2的正三角形，∴A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，），∴＝（，1，0），＝（0，1，），＝（﹣，1，0），設(shè)平面A1AB的一個法向量為＝（x，y，z），由，取x＝1，得＝（1，﹣，1），∴BC與平面A1AB所成角θ的正弦值為：sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝．20．已知橢圓焦點在x軸上過點（0，1），且離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）A1，A2為橢圓C的左、右頂點，直線l：x＝2與x軸交于點D，點P是橢圓C：＝1（a＞b＞0）上異于A1，A2的動點，直線A1P，A2P分別交直線l于E，F(xiàn)兩點．證明：|DE|?|DF|恒為定值．解：（Ⅰ）由題意可知，b＝1，＝，解得a＝2．所以橢圓的方程為+y2＝1．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，A1（﹣2，0），A2（2，0）．設(shè)P（x0，y0），依題意﹣2＜x0＜2，于是直線A1P的方程為y＝（x+2），令x＝2，則y＝，即|DE|＝（2+2）．又直線A2P的方程為y＝（x﹣2），令x＝2，則y＝，即|DF|＝（2﹣2），所以|DE|?|DF|＝（2+2）?（2﹣2）＝＝，又P（x0，y0）在+y2＝1上，所以+y02＝1，即4y02＝4﹣x02，代入上式，得|DE|?|DF|＝＝1，所以|DE|?|DF|為定值1．21．有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗：從中任取8件，經(jīng)檢驗都為優(yōu)質(zhì)品時接受這批產(chǎn)品，若優(yōu)質(zhì)品數(shù)小于6件則拒收；否則做第二次檢驗，其做法是從產(chǎn)品中再另任取3件，逐一檢驗，若檢測過程中檢測出非優(yōu)質(zhì)品就要終止檢驗且拒收這批產(chǎn)品，否則繼續(xù)產(chǎn)品檢測，且僅當這3件產(chǎn)品都為優(yōu)質(zhì)品時接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為0.9．且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立．（1）記X為第一次檢驗的8件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)，求X的期望與方差；（2）求這批產(chǎn)品被接受的概率；（3）若第一次檢測費用固定為1000元，第二次檢測費用為每件產(chǎn)品100元，記Y為整個產(chǎn)品檢驗過程中的總費用，求Y的分布列5≈6≈7≈8≈9≈0.387）解：（1）產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為0.9，從中任取8件，X為第一次檢驗的8件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)，依題意有X～B（8，0.9），∴X的期望為：E（X）＝8×0.9＝7.2，X的方差為：D（X）＝8××0.1＝0.72．（2）產(chǎn)品被接受的概率：P＝×3＝0.817．（3）Y的取值為：1000元、1100元、1200元、1300元．P（Y＝1000）＝1﹣（）＝1﹣6＝0.469，P（Y×0.1＝0.0531，P（Y××0.1＝0.04779，P（Y×2×1＝0.43011，∴Y的分布列為：Y1000110012001300P22．設(shè)函數(shù)f（x）＝x