《余弦定理》教案、導學案、課后作業(yè)

《6.4.3余弦定理、正弦定理》教案第1課時余弦定理【教材分析】本節(jié)首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題，利用向量的數(shù)量積比較容易地證明了余弦定理，然后利用其初步解三角形.【教學目標與核心素養(yǎng)】課程目標1．掌握余弦定理的表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題；2．培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.數(shù)學學科素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：余弦定理及其推論；2.邏輯推理：余弦定理在邊角互化中的應用；3.數(shù)學運算：解三角形；4.數(shù)學建模：通過將三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間聯(lián)系起來，體現(xiàn)了知識之間的辯證統(tǒng)一.【教學重點和難點】重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及基本運用；難點：余弦定理的探索及證明.【教學過程】一、情景導入問題:在三角形中,已知兩邊及其夾角,怎么求出此角的對邊?已知三條邊,怎么求出它的三個角呢?要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.二、預習課本，引入新課閱讀課本42-44頁，思考并完成以下問題1、什么是余弦定理？2、余弦定理有哪些變形？3、什么是解三角形？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2=bc推論：2、解三角形一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。3、應用從而知余弦定理及其推論的基本作用為：已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角。四、典例分析、舉一反三題型一已知三邊解三角形例1在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝7，b＝5，c＝3，求△ABC的內(nèi)角中最大的角．【答案】120°.【解析】∵a>b>c，∴A最大．cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(52＋32－72,2×5×3)＝－eq\f(1,2).又∵0°<A<180°，∴A＝120°.解題技巧（已知三邊解三角形的思路）(1)已知三角形三邊求角，直接利用余弦定理，求解時要注意“大邊對大角、大角對大邊”．(2)若已知三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k，從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求角．跟蹤訓練一1.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝eq\r(7)，c＝eq\r(3)，則B＝________.2．在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，則A＝________.【答案】1、150°.2、45°.【解析】1、由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1＋3－7,2×1×\r(3))＝－eq\f(\r(3),2).又∵0°<B<180°，∴B＝150°.2、∵a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，令a＝2k，b＝eq\r(6)k，c＝(eq\r(3)＋1)k(k>0)．由余弦定理的變形得，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6k2＋\r(3)＋12k2－4k2,2×\r(6)k×\r(3)＋1k)＝eq\f(\r(2),2).∴A＝45°.題型二已知兩邊及一角解三角形例2在△ABC中，已知a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°，解此三角形．【答案】c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)，A＝60°，C＝75°或c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)，A＝120°，C＝15°.【解析】由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB.∴2＝3＋c2－2eq\r(3)·eq\f(\r(2),2)c.即c2－eq\r(6)c＋1＝0.解得c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)或c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)，當c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)時，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－3,2×\r(2)×\f(\r(6)＋\r(2),2))＝eq\f(1,2).∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.當c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)時，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2),2)))2－3,2×\r(2)×\f(\r(6)－\r(2),2))＝－eq\f(1,2).∵0°<A<180°，∴A＝120°，C＝15°.故c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)，A＝60°，C＝75°或c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)，A＝120°，C＝15°.解題技巧：(已知兩邊及一角解三角形的方法及注意事項)(1)解三角形時往往同時用到正弦定理與余弦定理，此時要根據(jù)題目條件優(yōu)先選擇使用哪個定理．(2)一般地，使用正、余弦定理求邊，使用余弦定理求角．若使用正弦定理求角，有時要討論解的個數(shù)問題．跟蹤訓練二1．在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，則AB＝（）A．4eq\r(2)B.eq\r(30)C.eq\r(29)D．2eq\r(5)【答案】A.【解析】∵coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，∴cosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq\f(3,5).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝32，∴AB＝4eq\r(2).題型三余弦定理在邊角轉(zhuǎn)化中的應用例3（1）在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，則eq\f(a,b)＝________.（2）在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－lgeq\f(1,b＋c)，則A＝________.【答案】（1）2，（2）120°.【解析】（1）由余弦定理得bcosC＋ccosB＝b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(2a2,2a)＝a，所以a＝2b，即eq\f(a,b)＝2.（2）由題意可知lg(a＋c)(a－c)＝lgb(b＋c)，所以(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)．即b2＋c2－a2＝－bc.所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2).又0°<A<180°，所以A＝120°.解題技巧（余弦定理在邊角轉(zhuǎn)化中的作用）余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系，每一個等式中都包含四個不同的量，它們分別是三角形的三邊和一個角，一般是利用余弦定理的變形式進行邊、角互化．跟蹤訓練三1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2，則角C為()A.eq\f(π,4)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(2π,3)2．在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對應邊)，則△ABC的形狀為()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【答案】1、B.2、B.【解析】1、∵a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2，∴a2＋b2－c2＝－eq\r(2)ab，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－\r(2)ab,2ab)＝－eq\f(\r(2),2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(3π,4).2、∵sin2eq\f(A,2)＝eq\f(1－cosA,2)＝eq\f(c－b,2c)，∴cosA＝eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)?a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC為直角三角形．五、課堂小結(jié)讓學生總結(jié)本節(jié)課所學主要知識及解題技巧六、板書設(shè)計6.4.3余弦定理、正弦定理第6.4.3余弦定理、正弦定理第1課時余弦定理余弦定理例1例2例3推論：2.解三角形3.應用七、作業(yè)課本44頁練習，52頁習題6.4的6題.【教學反思】本節(jié)課主要考察學生對于公式的理解與應用的能力，在如何正確應用余弦定理公式的問題上。通過本節(jié)課的學習，從學生的情況來看，效果較好，學生能夠根據(jù)以前學過的相關(guān)知識，在老師的指引下通過向量法證明出余弦定理，能掌握余弦定理的計算方法，能夠理解夠理解公式中不同量的意義，但是在運用過程中我們發(fā)現(xiàn)，學生根據(jù)公式解決問題的時候，往往容易忽略多解得問題,很多學生不能掌握余弦定理使用的條件：1.知道三角形的三條邊求三個角的問題，2.知道兩邊及夾角求其他兩個角及另一邊的問題。在練習時還發(fā)現(xiàn)學生不能將用大寫字母表示的與小寫字母表示的聯(lián)系起來，導致做題速度較慢.《6.4.3余弦定理、正弦定理》導學案第1課時余弦定理【學習目標】知識目標1．掌握余弦定理的表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題；2．培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.核心素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：余弦定理及其推論；2.邏輯推理：余弦定理在邊角互化中的應用；3.數(shù)學運算：解三角形；4.數(shù)學建模：通過將三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間聯(lián)系起來，體現(xiàn)了知識之間的辯證統(tǒng)一.【學習重點】：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及基本運用；【學習難點】：余弦定理的探索及證明.【學習過程】一、預習導入閱讀課本42-44頁，填寫。1、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2c推論：cosA=_______________________________.cosB=_______________________________.cosC=_______________________________.2、解三角形一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。3、應用從而知余弦定理及其推論的基本作用為：已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角。小試牛刀1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)余弦定理只適用銳角三角形.()(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，則△ABC一定為鈍角三角形.()(3)在△ABC中，已知兩邊和其夾角時，△ABC不唯一.()2．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，則c等于()A.eq\r(3) B.eq\r(2)C.eq\r(5) D．53．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2＝b2－c2＋eq\r(2)ac，則角B的大小是()A．45° B．60°C．90° D．135°4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c＝2a，b＝4，cosB＝eq\f(1,4).則邊c的長度為________．【自主探究】題型一已知三邊解三角形例1在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝7，b＝5，c＝3，求△ABC的內(nèi)角中最大的角．跟蹤訓練一1.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝eq\r(7)，c＝eq\r(3)，則B＝________.2．在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，則A＝________.題型二已知兩邊及一角解三角形例2在△ABC中，已知a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°，解此三角形．跟蹤訓練二1．在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，則AB＝（）A．4eq\r(2) B.eq\r(30)C.eq\r(29) D．2eq\r(5)題型三余弦定理在邊角轉(zhuǎn)化中的應用例3（1）在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，則eq\f(a,b)＝________.（2）在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－lgeq\f(1,b＋c)，則A＝________.跟蹤訓練三1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2，則角C為()A.eq\f(π,4)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(2π,3)2．在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對應邊)，則△ABC的形狀為()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【達標檢測】1．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知，，，則b=A． B． C．2 D．32．在中，角，，的對邊分別為，，，若，則()A． B． C． D．或3．在中，內(nèi)角的對邊分別為.若，則角等于（）A． B． C． D．4．在中，若，，，則_____．5．在中，已知，，，則邊上的中線長為________．6．在△ABC中，分別根據(jù)下列條件求c.（1）a=4，b=2，A=60°；（2）a=4，b=3，A=45°.答案小試牛刀1.(1)×(2)√(3)×2．A.3．A.4.4.自主探究例1【答案】120°.【解析】∵a>b>c，∴A最大．cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(52＋32－72,2×5×3)＝－eq\f(1,2).又∵0°<A<180°，∴A＝120°.跟蹤訓練一【答案】1、150°.2、45°.【解析】1、由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1＋3－7,2×1×\r(3))＝－eq\f(\r(3),2).又∵0°<B<180°，∴B＝150°.2、∵a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，令a＝2k，b＝eq\r(6)k，c＝(eq\r(3)＋1)k(k>0)．由余弦定理的變形得，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6k2＋\r(3)＋12k2－4k2,2×\r(6)k×\r(3)＋1k)＝eq\f(\r(2),2).∴A＝45°.例2【答案】c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)，A＝60°，C＝75°或c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)，A＝120°，C＝15°.【解析】由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB.∴2＝3＋c2－2eq\r(3)·eq\f(\r(2),2)c.即c2－eq\r(6)c＋1＝0.解得c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)或c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)，當c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)時，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－3,2×\r(2)×\f(\r(6)＋\r(2),2))＝eq\f(1,2).∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.當c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)時，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2),2)))2－3,2×\r(2)×\f(\r(6)－\r(2),2))＝－eq\f(1,2).∵0°<A<180°，∴A＝120°，C＝15°.故c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)，A＝60°，C＝75°或c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)，A＝120°，C＝15°.跟蹤訓練二1．【答案】A.【解析】∵coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，∴cosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq\f(3,5).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝32，∴AB＝4eq\r(2).例3【答案】（1）2，（2）120°.【解析】（1）由余弦定理得bcosC＋ccosB＝b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(2a2,2a)＝a，所以a＝2b，即eq\f(a,b)＝2.（2）由題意可知lg(a＋c)(a－c)＝lgb(b＋c)，所以(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)．即b2＋c2－a2＝－bc.所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2).又0°<A<180°，所以A＝120°.跟蹤訓練三【答案】1、B.2、B.【解析】1、∵a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2，∴a2＋b2－c2＝－eq\r(2)ab，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－\r(2)ab,2ab)＝－eq\f(\r(2),2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(3π,4).2、∵sin2eq\f(A,2)＝eq\f(1－cosA,2)＝eq\f(c－b,2c)，∴cosA＝eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)?a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC為直角三角形．當堂檢測 1-3.DCA4.1.5.7.6．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由余弦定理，得，∴，即，∴或（舍去）.∴.（2）由余弦定理，得，∴，即，∴或（舍去）.∴.《6.4.3余弦定理、正弦定理》課后作業(yè)第1課時余弦定理基礎(chǔ)鞏固1．△ABC中，內(nèi)角的對邊分別為.若，則（）A． B． C．2 D．32．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，則角B的值為（）A． B． C．或 D．或3．邊長分別為1，，的三角形的最大角與最小角的和是（）A． B． C． D．4．的內(nèi)角所對的邊分別是，已知，則（）A． B． C． D．5．ΔABC的三內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c設(shè)向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p//A．π6B．π3C．π6．已知中，，，，則=．7．在不等邊△ABC中，為最大邊，若，則的取值范圍為________.8．在ABC中，已知，，，解三角形.能力提升9．△ABC中，分別表示角所對的邊，若，則的值等于（）A． B． C． D．10．如圖中，已知點在邊上，，，，，則的長為____11．在△ABC中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求的大??；（2）求的值.素養(yǎng)達成1