抽屜原理年是一種特殊的思維方法

抽屜原理是一種特殊的思維方法8-2抽屜原理8-2抽屜原理教學(xué)目標(biāo)學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)學(xué)目標(biāo)抽屜原理是一種特殊的思維方法，不但可以根據(jù)它來做出許多有趣的推理和判斷，同時(shí)能夠幫助同學(xué)證明很多看似復(fù)雜的問題。本講的主要教學(xué)目標(biāo)是：1．理解抽屜原理的基本概念、基本用法；2．掌握用抽屜原理解題的基本過程；3.能夠構(gòu)造抽屜進(jìn)行解題；4.利用最不利原則進(jìn)行解題；5.利用抽屜原理與最不利原則解釋并證明一些結(jié)論及生活中的一些問題。知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)撥一、知識(shí)點(diǎn)介紹抽屜原理有時(shí)也被稱為鴿籠原理，它由德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確提出來并用來證明一些數(shù)論中的問題，因此，也被稱為狄利克雷原則．抽屜原理是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要而又基本的（二）、利用最值原理解題將題目中沒有闡明的量進(jìn)行極限討論，將復(fù)雜的題目變得非常簡單，也就是常說的極限思想“任我意”方法、特殊值方法．知識(shí)精講知識(shí)精講模塊一、利用抽屜原理公式解題（一）、直接利用公式進(jìn)行解題（1）求結(jié)論只鴿子要飛進(jìn)個(gè)籠子，每個(gè)籠子里都必須有只，一定有一個(gè)籠子里有只鴿子．對(duì)嗎？【解析】6只鴿子要飛進(jìn)5個(gè)籠子，如果每個(gè)籠子裝1只，這樣還剩下1只鴿子．這只鴿子可以任意飛進(jìn)其中的一個(gè)籠子，這樣至少有一個(gè)籠子里有2只鴿子．所以這句話是正確的．利用剛剛學(xué)習(xí)過的抽屜原理來解釋這個(gè)問題，把鴿籠看作“抽屜”，把鴿子看作“蘋果”，6÷5﹦1·····1，1＋1﹦2（只）把6個(gè)蘋果放到5個(gè)抽屜中，每個(gè)抽屜中都要有1個(gè)蘋果，那么肯定有一個(gè)抽屜中有兩個(gè)蘋果，也就是一定有一個(gè)籠子里有2只鴿子．把9條金魚任意放在8個(gè)魚缸里面，請你說明至少有一個(gè)魚缸放有兩條或兩條以上金魚．【解析】在8個(gè)魚缸里面，每個(gè)魚缸放一條，就是8條金魚；還剩下的一條，任意放在這8個(gè)魚缸其中的任意一個(gè)中，這樣至少有一個(gè)魚缸里面會(huì)放有兩條金魚．教室里有5名學(xué)生正在做作業(yè)，現(xiàn)在只有數(shù)學(xué)、英語、語文、地理四科作業(yè)試說明：這5名學(xué)生中，至少有兩個(gè)人在做同一科作業(yè)．【解析】將5名學(xué)生看作5個(gè)蘋果將數(shù)學(xué)、英語、語文、地理作業(yè)各看成一個(gè)抽屜，共4個(gè)抽屜，由抽屜原理，一定存在一個(gè)抽屜，在這個(gè)抽屜里至少有2個(gè)蘋果．即至少有兩名學(xué)生在做同一科的作業(yè)．年級(jí)一班學(xué)雷鋒小組有人．教數(shù)學(xué)的張老師說：“你們這個(gè)小組至少有個(gè)人在同一月過生日．”你知道張老師為什么這樣說嗎？【解析】：先想一想，在這個(gè)問題中，把什么當(dāng)作抽屜，一共有多少個(gè)抽屜？從題目可以看出，這道題顯然與月份有關(guān)．我們知道，一年有12個(gè)月，把這12個(gè)月看成12個(gè)抽屜，這道題就相當(dāng)于把13個(gè)蘋果放入12個(gè)抽屜中．根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜放了兩個(gè)蘋果．因此至少有兩個(gè)同學(xué)在同一個(gè)月過生日．【總結(jié)】題目中并沒有說明什么是“抽屜”，什么是“物品”，解題的關(guān)鍵是制造“抽屜”，確定假設(shè)的“物品”，根據(jù)“抽屜少，物品多”轉(zhuǎn)化為抽屜原理來解．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組有13個(gè)學(xué)生，請你說明：在這13個(gè)同學(xué)中，至少有兩個(gè)同學(xué)屬相一樣．【解析】屬相共12個(gè)，把12個(gè)屬相作為12個(gè)“抽屜”，13個(gè)同學(xué)按照自己的屬相選擇相應(yīng)的“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，一定有一個(gè)“抽屜”中有兩個(gè)或兩個(gè)以上同學(xué)，也就是說至少有兩個(gè)同學(xué)屬相一樣．光明小學(xué)有名年出生的學(xué)生，請問是否有生日相同的學(xué)生？【解析】一年最多有366天，把366天看作366個(gè)“抽屜”，將367名學(xué)生看作367個(gè)“蘋果”．這樣，把367個(gè)蘋果放進(jìn)366個(gè)抽屜里，至少有一個(gè)抽屜里不止放一個(gè)蘋果．這就說明，至少有2名同學(xué)的生日相同。用五種顏色給正方體各面涂色(每面只涂一種色)，請你說明：至少會(huì)有兩個(gè)面涂色相同．【解析】五種顏色最多只能涂5個(gè)不同顏色的面，因?yàn)檎襟w有6個(gè)面，還有一個(gè)面要選擇這五種顏色中的任意一種來涂，不管這個(gè)面涂成哪種顏色，都會(huì)和前面有一個(gè)面顏色相同，這樣就有兩個(gè)面會(huì)被涂上相同的顏色．也可以把五種顏色作為5個(gè)“抽屜”，六個(gè)面作為六個(gè)物品，當(dāng)把六個(gè)面隨意放入五個(gè)抽屜時(shí)，根據(jù)抽屜原理，一定有一個(gè)抽屜中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的面，也就是至少會(huì)有兩個(gè)面涂色相同．向陽小學(xué)有730個(gè)學(xué)生，問：至少有幾個(gè)學(xué)生的生日是同一天？【解析】一年最多有366天，可看做366個(gè)抽屜，730個(gè)學(xué)生看做730個(gè)蘋果．因?yàn)?30÷366＝1·····364，抽屜原理所以，至少有1＋1＝2（個(gè)）學(xué)生的生日是同一天．試說明400人中至少有兩個(gè)人的生日相同.【解析】將一年中的366天或365天視為366個(gè)或365個(gè)抽屜，400個(gè)人看作400個(gè)蘋果，從最極端的情況考慮，即每個(gè)抽屜都放一個(gè)蘋果，還有35個(gè)或34個(gè)蘋果必然要放到有一個(gè)蘋果的抽屜里，所以至少有一個(gè)抽屜有至少兩個(gè)蘋果，即至少有兩人的生日相同.三個(gè)小朋友在一起玩，其中必有兩個(gè)小朋友都是男孩或者都是女孩．【解析】方法一：情況一：這三個(gè)小朋友，可能全部是男，那么必有兩個(gè)小朋友都是男孩的說法是正確的；情況二：這三個(gè)小朋友，可能全部是女，那么必有兩個(gè)小朋友都是女孩的說法是正確的；情況三：這三個(gè)小朋友，可能其中1男2女那么必有兩個(gè)小朋友都是女孩說法是正確的；情況四：這三個(gè)小朋友，可能其中2男1女，那么必有兩個(gè)小朋友都是男孩的說法是正確的．所以，三個(gè)小朋友在一起玩，其中必有兩個(gè)小朋友都是男孩或者都是女孩的說法是正確的；方法二：三個(gè)小朋友只有兩種性別，所以至少有兩個(gè)人的性別是相同的，所以必有兩個(gè)小朋友都是男孩或者都是女孩．“六一”兒童節(jié)，很多小朋友到公園游玩，在公園里他們各自遇到了許多熟人．試說明：在游園的小朋友中，至少有兩個(gè)小朋友遇到的熟人數(shù)目相等．【解析】假設(shè)共有n個(gè)小朋友到公園游玩，我們把他們看作n個(gè)“蘋果”，再把每個(gè)小朋友遇到的熟人數(shù)目看作“抽屜”，那么，nn種可能：0，1，2，……，n－1．其中0的意思是指這位小朋友沒有遇到熟人；而每位小朋友最多遇見1n－個(gè)熟人，所以共有n個(gè)“抽屜”．下面分兩種情況來討論：⑴如果在這n個(gè)小朋友中，有一些小朋友沒有遇到任何熟人，2n個(gè)熟人，這樣熟人數(shù)目只有n－1種可能：0，1，22n(n個(gè)小朋友)(n－1種熟人數(shù)目)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)小朋友，他們遇到的熟人數(shù)目相等．

n個(gè)小朋友中，每位小朋友都至少遇到一個(gè)熟人，這樣熟人數(shù)目只有1n種可能：1，2，3，……，n－1．這時(shí)，“蘋果”數(shù)(n個(gè)小朋友)仍然超過“抽屜”數(shù)(n－1種熟人數(shù)目)，根總之，不管這n個(gè)小朋友各遇到多少熟人(包括沒遇到熟人)，必有兩個(gè)小朋友遇到的熟人數(shù)目相等．五年級(jí)數(shù)學(xué)小組共有20名同學(xué)，他們在數(shù)學(xué)小組中都有一些朋友，請你說明：至少有兩名同學(xué)，他們的朋友人數(shù)一樣多．?dāng)?shù)學(xué)小組共有20名同學(xué)，因此每個(gè)同學(xué)最多有19個(gè)朋友；又由于他們都有朋友，所以每個(gè)同學(xué)至少有1個(gè)朋友．因此，這20名同學(xué)中，每個(gè)同學(xué)的朋友數(shù)只有19種可能：1，2，3，……，19．把這20名同學(xué)看作20個(gè)“蘋果”，又把同學(xué)的朋友數(shù)目看作19個(gè)“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，至少有2名同學(xué)，他們的朋友人數(shù)一樣多．在任意的四個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差能被整除？因?yàn)槿魏握麛?shù)除以3，其余數(shù)只可能是0，1，2三種情形．我們將余數(shù)的這三種情形看成是三個(gè)“抽屜”．一個(gè)整數(shù)除以3的余數(shù)屬于哪種情形，就將此整數(shù)放在那個(gè)“抽屜”里．將四個(gè)自然數(shù)放入三個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜里放了不止一個(gè)數(shù)，也就是說至少有兩個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)相同（需要對(duì)學(xué)生利用余數(shù)性質(zhì)進(jìn)行解釋：為什么余數(shù)相同，則差就能被整除）．這兩個(gè)數(shù)的差必能被3整除．四個(gè)連續(xù)的自然數(shù)分別被除后，必有兩個(gè)余數(shù)相同，請說明理由．【解析】想一想，不同的自然數(shù)被3除的余數(shù)有幾類？在這道題中，把什么當(dāng)作抽屜呢？把這四個(gè)連續(xù)的自然數(shù)分別除以3，其余數(shù)不外乎是0，1，2，把這3個(gè)不同的余數(shù)當(dāng)作3個(gè)“抽屜”，把這4個(gè)連續(xù)的自然數(shù)按照被3除的余數(shù)，分別放入對(duì)應(yīng)的3個(gè)“抽屜”中，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)自然數(shù)在同一個(gè)抽屜里，也就是說，至少有兩個(gè)自然數(shù)除以3的余數(shù)相同證明：任取8個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是7的倍數(shù)．【解析】在與整除有關(guān)的問題中有這樣的性質(zhì)，如果兩個(gè)整數(shù)a、b，它們除以自然數(shù)m的余數(shù)相同，那么它們的差ab是m的倍數(shù).根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，本題只需證明這8個(gè)自然數(shù)中有2個(gè)自然數(shù)，它們除以7的余數(shù)相同.我們可以把所有自然數(shù)按被7除所得的7種不同的余數(shù)0、1、2、3、4、5、6分成七類.也就是7個(gè)抽屜.任取8個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中，也就是它們除以7的余數(shù)相同，因此這兩個(gè)數(shù)的差一定是7的倍數(shù)．證明：任取6個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是5的倍數(shù)?！窘馕觥堪炎匀粩?shù)按照除以5的余數(shù)分成5個(gè)剩余類，即5個(gè)抽屜.任取6個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)數(shù)屬于同一剩余類，即這兩個(gè)數(shù)除以5的余數(shù)相同，因此它們的差是5的倍數(shù)。（第八屆《小數(shù)報(bào)》數(shù)學(xué)競賽決賽）將全體自然數(shù)按照它們個(gè)位數(shù)字可分為10類：個(gè)位數(shù)字是1的為第1類，個(gè)位數(shù)字是2的為第2類，…，個(gè)位數(shù)字是9的為第9類，個(gè)位數(shù)字是0的為第10類．（1）任意取出6個(gè)互不同類的自然數(shù)，其中一定有2個(gè)數(shù)的和是10的倍數(shù)嗎？（2）任意取出7個(gè)互不同類的自然數(shù)，其中一定有2個(gè)數(shù)的和是10的倍數(shù)嗎？如果一定，請煎藥說明理由；如果不一定，請舉出一個(gè)反例．【解析】（1）不一定有．例如1、2、3、4、5、10這6個(gè)數(shù)中，任意兩個(gè)數(shù)的和都不是10的倍數(shù)．（2）一定有．將第1類與第9類合并，第2類與第8類合并，第3類與第7類合并，第4類與第6類合并，制造出4個(gè)抽屜；把第5類、第10類分別看作1個(gè)抽屜，共6個(gè)抽屜．任意7個(gè)互不同類的自然數(shù)，放到這6個(gè)抽屜中，至少有1個(gè)抽屜里放2個(gè)數(shù)．因?yàn)?個(gè)數(shù)互不同類，所以后兩個(gè)抽屜中每個(gè)都不可能放兩個(gè)數(shù)．當(dāng)兩個(gè)互不同類的數(shù)放到前4個(gè)抽屜的任何一個(gè)里面時(shí)，它們的和一定是10的倍數(shù)．證明：任給12個(gè)不同的兩位數(shù)，其中一定存在著這樣的兩個(gè)數(shù)，它們的差是個(gè)位與十位數(shù)字相同的兩位數(shù)．解析】兩位數(shù)除以11的余數(shù)有11種：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，按余數(shù)情況把所有兩位數(shù)分成11種．12個(gè)不同的兩位數(shù)放入11個(gè)抽屜，必定有至少2個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜里，這2個(gè)數(shù)除以11的余數(shù)相同，兩者的差一定能整除11．兩個(gè)不同的兩位數(shù)，差能被11整除，這個(gè)差也一定是兩位數(shù)（如11，22……），并且個(gè)位與十位相同．所以，任給12個(gè)不同的兩位數(shù)，其中一定存在著這樣的兩個(gè)數(shù)，它們的差是個(gè)位與十位數(shù)字相同的兩位數(shù)．任給11個(gè)數(shù)，其中必有6個(gè)數(shù)，它們的和是6的倍數(shù)．【解析】設(shè)這11個(gè)數(shù)為1a，2a，3a，……，11a，由5個(gè)數(shù)的結(jié)論可知，在1a，2a，3a，4a，5a中必有3個(gè)數(shù)，其和為3的倍數(shù)，不妨設(shè)12313aaak；在4a，5a，6a，7a，8a中必有3個(gè)數(shù)，其和為3的倍數(shù)，不妨設(shè)45623aaak；在7a，8a，9a，10a，11a中必有3個(gè)數(shù)，其和為3的倍數(shù)，不妨設(shè)78933aaak．又在1k，2k，3k中必有兩個(gè)數(shù)的奇偶性相同，不妨設(shè)1k，2k的奇偶性相同，那么1233kk是6的倍數(shù)，即1a，2a，3a，4a，5a，6a的和是6的倍數(shù)．在任意的五個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有三個(gè)數(shù)的和是的倍數(shù)？【解析】至多有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜里，那么每個(gè)抽屜里都有數(shù)，在每個(gè)抽屜里各取一個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)分別為0，1，2．因此這三個(gè)數(shù)之和能被3整除．綜上所述，在任意的五個(gè)自然數(shù)中，其中必有三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)【解析】把這2008個(gè)數(shù)先排成一行：1a，2a，3a，……，2008a，第1個(gè)數(shù)為1a；前2個(gè)數(shù)的和為12aa；前3個(gè)數(shù)的和為123aaa；……前2008個(gè)數(shù)的和為122008aaa．如果這2008個(gè)和中有一個(gè)是2008的倍數(shù)，那么問題已經(jīng)解決；如果這2008個(gè)和中沒有2008的倍數(shù)，那么它們除以2008的余數(shù)只能為1，2，……，2007之一，根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)和除以2008的余數(shù)相同，那么它們的差(仍然是1a，2a，3a，……，2008a中若干個(gè)數(shù)的和)是2008的倍數(shù)．所以結(jié)論成立．20道復(fù)習(xí)題，小明在兩周內(nèi)做完，每天至少做一道題．證明：小明一定在連續(xù)的若干天內(nèi)恰好做了7道題目．【解析】設(shè)小明第1天做了1a道題，前2天共做了2a道題，前3天共做了3a道題，……，前14天共做了14a道題．顯然1420a，而1a～13a都小于20．考慮1a，2a，3a，……，14a及17a，27a，37a，……，147a這28個(gè)數(shù)，它們都不超過27．根據(jù)抽屜原理，這28個(gè)數(shù)中必有兩個(gè)數(shù)相等．由于1a，2a，3a，……，14a互不相等，17a，27a，37a，……，147a也互不相等，因而這兩個(gè)相等的數(shù)只能一個(gè)在前一組，另一個(gè)在后一組中，即有：7jiaa，所以7jiaa．這表明從第1i天到第j天，小明恰好做了7道題．求證：可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，它是1996的倍數(shù)．【解析】19964499，下面證明可以找到1個(gè)各位數(shù)字都是1的自然數(shù)，它是499的倍數(shù)．取500個(gè)數(shù)：1，11，111，……，111……1（500個(gè)1）．用499去除這500個(gè)數(shù)，得到500個(gè)余數(shù)1a，2a，3a，…，500a．由于余數(shù)只能取0，1，2，…，498這499個(gè)值，所以根據(jù)抽屜原則，必有2個(gè)余數(shù)是相同的，這2個(gè)數(shù)的差就是499的倍數(shù)，差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0．又499和10是互質(zhì)的，所以它的前若干位由1組成的自然數(shù)是499的倍數(shù)，將它乘以4，就得到一個(gè)各位數(shù)字都是4的自然數(shù)，這是1996的倍數(shù)．【解析】考慮如下1n個(gè)數(shù)：7，77，777，……，777n位，1777n位，這1n個(gè)數(shù)除以n的余數(shù)只能為0，1，2，……，1n中之一，共n種情況，根據(jù)抽屜原理，其中必有兩個(gè)數(shù)除以n的余數(shù)相同，不妨設(shè)為777p位和777q位(pq)，那么()777777777000pqpqq位位位位是n的倍數(shù)，所以n乘以適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，可以得到形式為()777000pqq位位的數(shù)，即由0和7組成的數(shù)．求證：對(duì)于任意的8個(gè)自然數(shù)，一定能從中找到6個(gè)數(shù)a，b，c，d，e，f，使得是105的倍數(shù)．【解析】105357．對(duì)于任意的8個(gè)自然數(shù)，必可選出2個(gè)數(shù)，使它們的差是7的倍數(shù)；在剩下的6個(gè)數(shù)中，又可選出2個(gè)數(shù)，使它們的差是5的倍數(shù)；在剩下的4個(gè)數(shù)中，又可選出2個(gè)數(shù)，使它們的差是3的倍數(shù)．任給六個(gè)數(shù)字，一定可以通過加、減、乘、除、括號(hào)，將這六個(gè)數(shù)組成一個(gè)算式，使其得數(shù)為105的倍數(shù)．【解析】根據(jù)上一題的提示我們可以寫出下列數(shù)字謎()()()abcdef使其結(jié)果為105的倍數(shù)，那么我們的思路是使第一個(gè)括號(hào)里是7的倍數(shù)，第二個(gè)括號(hào)里是5的倍數(shù)，第三個(gè)括號(hào)里是3的倍數(shù)，那么對(duì)于如果六個(gè)數(shù)字里有7的倍數(shù)，那么第一個(gè)括號(hào)里直接做乘法即可，如果沒有7的倍數(shù)，那么我們做如下抽屜：{除以7的余數(shù)是1或者是6}{除以7的余數(shù)是2或者是5}{除以7的余數(shù)是3或者是4}那么六個(gè)數(shù)字肯定有兩個(gè)數(shù)字在同一個(gè)抽屜里，那么著兩個(gè)數(shù)如果余數(shù)相同，做減法就可以得到7的倍數(shù)，如果余數(shù)不同，做加法就可以得到7的倍數(shù)．這樣剩下的4個(gè)數(shù)中，同理可得后面的括號(hào)里也可以組合出5和3的倍數(shù)．于是本題可以證明．（年中國臺(tái)灣小學(xué)數(shù)學(xué)競賽決賽（一）在張卡片上不重復(fù)地編上~，至少要隨意抽出幾張卡片才能保證所抽出的卡片上的數(shù)之乘積可被整除？【解析】21223，因?yàn)?的倍數(shù)有100333個(gè)，所以不是3的倍數(shù)的數(shù)一共有1003367（個(gè)），抽取這67個(gè)數(shù)無法保證乘積是3的倍數(shù)，但是如果抽取68個(gè)數(shù)，則必定存在一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，又因?yàn)槠鏀?shù)只有50個(gè)，所以抽取的偶數(shù)至少有18個(gè)，可以保證乘積是4的倍數(shù)，從而可以保證乘積是12的倍數(shù)。于是最少要抽取68個(gè)數(shù)（即：68張卡片）才可以保證結(jié)果。把1、2、3、…、10這十個(gè)數(shù)按任意順序排成一圈，求證在這一圈數(shù)中一定有相鄰的三個(gè)數(shù)之和不小于17．【解析】(法1)把這一圈從某一個(gè)數(shù)開始按順時(shí)針方向分別記為1a、2a、3a、…、10a．相鄰的三個(gè)數(shù)為一組，有123aaa、234aaa、345aaa、…、9101aaa、1012aaa共10組．這十組三個(gè)數(shù)之和的總和為：12323410121210+++3355165aaaaaaaaaaaa，16516105，根據(jù)抽屜原理，這十組數(shù)中至少有一組數(shù)的和不小于17．(法2)在10個(gè)數(shù)中一定有一個(gè)數(shù)是1，不妨設(shè)101a，除去10a之外，把1a、2a、3a、…、9a這9個(gè)數(shù)按順序分為三組123aaa、456aaa、789aaa．因?yàn)檫@三組數(shù)之和的總和為：123456789++231054aaaaaaaaa，根據(jù)抽屜原理，這三組數(shù)中至少有一組數(shù)之和不小于17．圓周上有個(gè)點(diǎn)，在其上任意地標(biāo)上（每一點(diǎn)只標(biāo)一個(gè)數(shù)，不同的點(diǎn)標(biāo)上不同的數(shù)）．證明必然存在一點(diǎn)，與它緊相鄰的兩個(gè)點(diǎn)和這點(diǎn)上所標(biāo)的三個(gè)數(shù)之和不小于【解析】把這一圈從某一個(gè)數(shù)開始按順時(shí)針方向分別記為1a、2a、3a、…、2000a．相鄰的三個(gè)數(shù)為一組，有123aaa、234aaa、345aaa、…、199920001aaa、200012aaa共2000組．這2000組三個(gè)數(shù)之和的總和為++33(1231999)5997000aaaaaaaaaaaa5997000299820001000，根據(jù)抽屜原理，這兩千組數(shù)中至少有一組數(shù)的和不小于2999．證明：在任意的6個(gè)人中必有3個(gè)人，他們或者相互認(rèn)識(shí)，或者相互不認(rèn)識(shí)．【解析】把這6個(gè)人看作6個(gè)點(diǎn)，每兩點(diǎn)之間連一條線段，兩人相互認(rèn)識(shí)的話將線段涂紅色，兩人不認(rèn)識(shí)的話將線段涂上藍(lán)色，那么只需證明其中有一個(gè)同色三角形即可．從這6個(gè)點(diǎn)中隨意選取一點(diǎn)A，從A點(diǎn)引出的5條線段，根據(jù)抽屜原理，必有3條的顏色相同，不妨設(shè)有3條線段為紅色，它們另外一個(gè)端點(diǎn)分別為B、C、D，那么這三點(diǎn)中只要有兩點(diǎn)比如說B、C之間的線段是紅色，那么A、B、C3點(diǎn)組成紅色三角形；如果B、C、D三點(diǎn)之間的線段都不是紅色，那么都是藍(lán)色，這樣B、C、D3點(diǎn)組成藍(lán)色三角形，也符合條件．所以結(jié)論成立．平面上給定6個(gè)點(diǎn)，沒有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上．證明：用這些點(diǎn)做頂點(diǎn)所組成的一切三角形中，一定有一個(gè)三角形，它的最大邊同時(shí)是另外一個(gè)三角形的最小邊．【解析】我們先把題目解釋一下．一般情況下三角形的三條邊的長度是互不相等的，因此必有最大邊和最小邊．在等腰三角形(或等邊三角形中)，會(huì)出現(xiàn)兩條邊，甚至三條邊都是最大邊(或最小邊)．我們用染色的辦法來解決這個(gè)問題．分兩步染色：第一步：先將每一個(gè)三角形中的最大邊涂上同一種顏色，比如紅色；第二步，將其它的未涂色的線段都涂上另外一種顏色，比如藍(lán)色．這樣，我們就將所有三角形的邊都用紅、藍(lán)兩色涂好．根據(jù)上題題的結(jié)論可知，這些三角形中至少有一個(gè)同色三角形．由于這個(gè)同色三角形有自己的最大邊，而最大邊涂成紅色，所以這個(gè)同色三角形必然是紅色三角形．由于這個(gè)同色三角形有自己的最小邊，而這條最小邊也是紅色的，說明這條最小邊必定是某個(gè)三角形的最大邊．結(jié)論得證．假設(shè)在一個(gè)平面上有任意六個(gè)點(diǎn)，無三點(diǎn)共線，每兩點(diǎn)用紅色或藍(lán)色的線段連起來，都連好后，問你能不能找到一個(gè)由這些線構(gòu)成的三角形，使三角形的三邊同色？【解析】從這6個(gè)點(diǎn)中隨意選取一點(diǎn)A，從A點(diǎn)引出的5條線段，根據(jù)抽屜原理，必有3條的顏色相同，不妨設(shè)有3條線段為紅色，它們另外一個(gè)端點(diǎn)分別為B、C、D，那么這三點(diǎn)中只要有兩點(diǎn)比如說B、C之間的線段是紅色，那么A、B、C3點(diǎn)組成紅色三角形；如果B、C、D三點(diǎn)之間的線段都不是紅色，那么都是藍(lán)色，這樣B、C、D3點(diǎn)組成藍(lán)色三角形，也符合條件．所以結(jié)論成立．(可以拓展玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué))平面上有17個(gè)點(diǎn)，兩兩連線，每條線段染紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種，這些線段能構(gòu)成若干個(gè)三角形．證明：一定有一個(gè)三角形三邊的顏色相同．【解析】從這17個(gè)點(diǎn)鐘任取一個(gè)點(diǎn)A，把A點(diǎn)與其它16個(gè)點(diǎn)相連可以得到16條線段，根據(jù)抽屜原理，其中同色的線段至少有6條，不妨設(shè)為紅色．考慮這6條線段的除A點(diǎn)外的6個(gè)端點(diǎn)：⑴如果6個(gè)點(diǎn)兩兩之間有1條紅色線段，那么就有1個(gè)紅色三角形符合條件；⑵如果6個(gè)點(diǎn)之間沒有紅色線段，也就是全為黃色和藍(lán)色，由上面的2題可知，這6個(gè)點(diǎn)中必有3個(gè)點(diǎn)，它們之間的線段的顏色相同，那么這樣的三角形就符合條件．綜上所述，一定存在一個(gè)三角形滿足題目要求．上體育課時(shí)，21名男、女學(xué)生排成3行7列的隊(duì)形做操．老師是否總能從隊(duì)形中劃出一個(gè)長方形，使得站在這個(gè)長方形4個(gè)角上的學(xué)生或者都是男生，或者都是女生?如果能，請說明理由；如果不能，請舉出實(shí)例．【解析】因?yàn)橹挥心猩蚺鷥煞N情況，所以第1行的7個(gè)位置中至少有4個(gè)位置同性別．為了確定起見，不妨設(shè)前4個(gè)位置同是男生，如果第二行的前4個(gè)位置有2名男生，那么4個(gè)角同是男生的情況已經(jīng)存在，所以我們假定第二行的前4個(gè)位置中至少有3名女生，不妨假定前3個(gè)是女生．又第三行的前3個(gè)位置中至少有2個(gè)位置是同性別學(xué)生，當(dāng)是2名男生時(shí)與第一行構(gòu)成一個(gè)四角同性別的矩形，當(dāng)有2名女生時(shí)與第二行構(gòu)成四角同性別的矩形．所以，不論如何，總能從隊(duì)形中劃出一個(gè)長方形，使得站在這個(gè)長方形4個(gè)角上的學(xué)生同性別．問題得證．8個(gè)學(xué)生解8道題目．(1)若每道題至少被5人解出，請說明可以找到兩個(gè)學(xué)生，每道題至少被過兩個(gè)學(xué)生中的一個(gè)解出．(2)如果每道題只有4個(gè)學(xué)生解出，那么(1)的結(jié)論一般不成立．試構(gòu)造一個(gè)例子說明這點(diǎn).【解析】（1）先設(shè)每道題被一人解出稱為一次，那么8道題目至少共解出58=40次，分到8個(gè)學(xué)生身上，至少有一個(gè)學(xué)生解出了5次或5次以上題目，即這個(gè)學(xué)生至少解出5道題，稱這個(gè)學(xué)生為A，我們討論以下4種可能：第一種可能：若A只解出5道題，則另3道題應(yīng)由其他7個(gè)人解出，而3道題至少共被解出35=15次，分到7個(gè)學(xué)生身上，至少有一名同學(xué)解出了3次或3次以上的題目(15=27+1，由抽屜原則便知)由于只有3道題，那么這3道題被一名學(xué)生全部解出，記這名同學(xué)為B．那么，每道題至少被A、B兩名同學(xué)中某人解出．第二種可能：若A解出6道題，則另2道題應(yīng)由另7人解出，而2道題至少共被解出2×5=10次，分到7個(gè)同學(xué)身上，至少有一名同學(xué)解出2次或2次以上的題目(10=17+3，由抽屜原則便知)．與l第一種可能I同理，這兩道題必被一名學(xué)生全部解出，記這名同學(xué)為C．那么，每道題目至少被A、C學(xué)生中一人解出．第三種可能：若A解出7道題目，則另一題必由另一人解出，記此人為D．那么，每道題目至少被A、D兩名學(xué)生中一人解出．第四種可能：若A解出8道題目，則隨意找一名學(xué)生，記為E，那么，每道題目至少被A、E兩名學(xué)生中一人解出，所以問題(1)得證．(2)類似問題(1)中的想法，題目共被解出84=32次，可以使每名學(xué)生都解出4次，那么每人解出4道題．隨便找一名學(xué)生，必有4道未被他解出，這4道題共被7名同學(xué)解出44=16次，由于16=2×7+2，可以使每名同學(xué)解出題目不超過3道，這樣就無法找到兩名學(xué)生，使每道題目至少被其中一人解出．具體構(gòu)造如下表，其中漢字代表題號(hào)，數(shù)字代表學(xué)生，打√代表該位置對(duì)應(yīng)的題目被該位置對(duì)應(yīng)的學(xué)生解出．試卷上共有4道選擇題，每題有3個(gè)可供選擇的答案．一群學(xué)生參加考試，結(jié)果是對(duì)于其中任何3人，都有一個(gè)題目的答案互不相同．問參加考試的學(xué)生最多有多少人?【解析】設(shè)總?cè)藬?shù)為A，再由分析可設(shè)第一題篩選取出的人數(shù)為1A，第二題篩選的人數(shù)為2A，第三題篩選取的人數(shù)為3A，第四題篩選的人數(shù)為4A．如果不能滿足題目要求，則：4A至少是3，即3個(gè)人只有兩種答案．由于4A是3A人做第四題后篩選取出的人數(shù)，則由抽屜原則知，(兩種答案)中至少放有333AA個(gè)蘋果(即4A).333AA=4A=3，則A3至少為4，即4人只有兩種答案．由于3A是2A人做第三題后篩選的人數(shù)，則由抽屜原則知，將2A個(gè)蘋果放久三個(gè)抽屜(三種答案)，那么必然有兩個(gè)抽屜(兩種答案)中至少放有223AA個(gè)蘋果(即3A)．223AA=3A=4，則2A至少為5，即5人只有兩種答案．同理，有113AA=2A=5則1A至少為7，即做完第一道題必然有7個(gè)人只有兩種答案；則有003AA=1A=7．則0A至少為10，即當(dāng)有10人參加考試時(shí)無法滿足題目的要求．考慮9名學(xué)生參加考試，令每人答題情況如下表所示(漢字表示題號(hào)，數(shù)字表示學(xué)生)．故參加考試的學(xué)生最多有9人．（2）求抽屜把十只小兔放進(jìn)至多幾個(gè)籠子里，才能保證至少有一個(gè)籠里有兩只或兩只以上的小兔？【解析】要想保證至少有一個(gè)籠里有兩只或兩只以上的小兔，把小兔子當(dāng)作“物品”，把“籠子”當(dāng)作“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，要把10只小兔放進(jìn)10－1＝9個(gè)籠里，才能保證至少有一個(gè)籠里有兩只或兩只以上的小兔把125本書分給五⑵班的學(xué)生，如果其中至少有一個(gè)人分到至少4本書，那么，這個(gè)班最多有多少人？【解析】本題需要求抽屜的數(shù)量，需要反用抽屜原理和最“壞”情況的結(jié)合，最壞的情況是只有1個(gè)人分到4本書，而其他同學(xué)都只分到3本書，則12543401，因此這個(gè)班最多有：40141(人)(處理余數(shù)很關(guān)鍵，如果有42人則不能保證至少有一個(gè)人分到4本書)．某次選拔考試，共有1123名同學(xué)參加，小明說：“至少有10名同學(xué)來自同一個(gè)學(xué)校．”如果他的說法是正確的，那么最多有多少個(gè)學(xué)校參加了這次入學(xué)考試？【解析】本題需要求抽屜的數(shù)量，反用抽屜原理和最“壞”情況的結(jié)合，最壞的情況是只有10個(gè)同學(xué)來自同一個(gè)學(xué)校，而其他學(xué)校都只有9名同學(xué)參加，則11231091236，因此最多有：1231124個(gè)學(xué)校，處理余數(shù)很關(guān)鍵，如果有125個(gè)學(xué)校則不能保證至少有10名同學(xué)來自同一個(gè)學(xué)校)100個(gè)蘋果最多分給多少個(gè)學(xué)生，能保證至少有一個(gè)學(xué)生所擁有的蘋果數(shù)不少于12個(gè).【解析】從不利的方向考慮：當(dāng)分蘋果的學(xué)生多余某一個(gè)數(shù)時(shí)，有可能使每個(gè)學(xué)生分得的學(xué)生少于12個(gè)，求這個(gè)數(shù).100個(gè)按每個(gè)學(xué)生分蘋果不多于11個(gè)（即少于12個(gè)）蘋果，最少也要分10人（9人11個(gè)蘋果，還有一人一個(gè)蘋果），否則9×11＜100，所以只要分蘋果的學(xué)生不多余9人就能使保證至少有一個(gè)學(xué)生所擁有的蘋果數(shù)不少于12個(gè)（即多于11個(gè)）.答案為9.某班有16名學(xué)生，每個(gè)月教師把學(xué)生分成兩個(gè)小組．問最少要經(jīng)過幾個(gè)月，才能使該班的任意兩個(gè)學(xué)生總有某個(gè)月份是分在不同的小組里?【解析】經(jīng)過第一個(gè)月，將16個(gè)學(xué)生分成兩組，至少有8個(gè)學(xué)生分在同一組，下面只考慮這8個(gè)學(xué)生．經(jīng)過第二個(gè)月，將這8個(gè)學(xué)生分成兩組，至少有4個(gè)學(xué)生是分在同一組，下面只考慮這4個(gè)學(xué)生．經(jīng)過第三個(gè)月，將這4個(gè)學(xué)生分成兩組，至少有2個(gè)學(xué)生仍分在同一組，這說明只經(jīng)過3個(gè)月是無法滿足題目要求的．如果經(jīng)過四個(gè)月，將每個(gè)月都一直保持同組的學(xué)生一分為二，放人兩個(gè)組，那么第一個(gè)月保持同組的人數(shù)為16÷2=8人，第二個(gè)月保持同組的人數(shù)為8÷2=4人，第三個(gè)月保持同組人數(shù)為4÷2=2人，這說明照此分法，不會(huì)有2個(gè)人一直保持在同一組內(nèi)，即滿足題目要求，故最少要經(jīng)過4個(gè)月．（3）求蘋果班上有名小朋友，老師至少拿幾本書，隨意分給小朋友，才能保證至少有一個(gè)小朋友能得到不少于兩本書？【解析】把50名小朋友當(dāng)作50個(gè)“抽屜”，書作為物品．把書放在50個(gè)抽屜中，要想保證至少有一個(gè)抽屜中有兩本書，根據(jù)抽屜原理，書的數(shù)目必須大于50，而大于50的最小整數(shù)是50151，所以至少要拿51本書．班上有名小朋友，老師至少拿幾本書，隨意分給小朋友，才能保證至少有一個(gè)小朋友能得到不少于兩本書？【解析】老師至少拿29本書，隨意分給小朋友，才能保證至少有一個(gè)小朋友能得到不少于兩本書．有只鴿籠，為保證至少有只鴿籠中住有只或只以上的鴿子．請問：至少需要有幾只鴿子？【解析】有10只鴿籠，每個(gè)籠子住1只鴿子，一共就是10只．要保證至少有1只鴿籠中住有2只或2只以上的鴿子．那么至少需要11只鴿子，這多出的1只鴿子會(huì)住在這10個(gè)任意一個(gè)籠子里．這樣就有1個(gè)籠子里住著2只鴿子．所以至少需要11只鴿子．三年級(jí)二班有名同學(xué)，班上的“圖書角”至少要準(zhǔn)備多少本課外書，才能保證有的同學(xué)可以同時(shí)借兩本書？【解析】把43名同學(xué)看作43個(gè)抽屜，根據(jù)抽屜原理，要使至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)蘋果，那么就要使蘋果的個(gè)數(shù)大于抽屜的數(shù)量．因此，“圖書角”至少要準(zhǔn)備44本課外書．海天小學(xué)五年級(jí)學(xué)生身高的厘米數(shù)都是整數(shù)，并且在厘米到厘米之間（包括厘米到厘米），那么，至少從多少個(gè)學(xué)生中保證能找到個(gè)人的身高相同？【解析】陷阱：以前的題基本全是2個(gè)人的，而這里出現(xiàn)4個(gè)人，那么，就“從倍數(shù)關(guān)系選”。認(rèn)真思考，此題中應(yīng)把什么看作抽屜？有幾個(gè)抽屜？在140厘米至150厘米之間（包括140厘米到150厘米）共有11個(gè)整厘米數(shù)，把這11個(gè)整厘米數(shù)看作11個(gè)抽屜，每個(gè)抽屜中放3個(gè)整厘米數(shù)，就要11×3＝33個(gè)整厘米數(shù)，如果再取出一個(gè)整厘米數(shù)，放入相應(yīng)的抽屜中，那么這個(gè)抽屜中便有4個(gè)整厘米數(shù)，也就是至少找出33＋1＝34個(gè)學(xué)生，才能找到4個(gè)人的身高相同．一次數(shù)學(xué)競賽出了10道選擇題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為：基礎(chǔ)分10分，每道題答對(duì)得3分，答錯(cuò)扣1分，不答不得分。問：要保證至少有4人得分相同，至少需要多少人參加競賽？【解析】由題目條件這次數(shù)學(xué)競賽的得分可以從10-10=0分到10+3×10=40分，但注意到39、38、35這3個(gè)分?jǐn)?shù)是不可能得到的，要保證至少有4人得分相同，至少需要3×（41-3）+1=115人.（第十屆《小數(shù)報(bào)》數(shù)學(xué)競賽決賽）一次測驗(yàn)共有10道問答題，每題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：回答完全正確，得5分；回答不完全正確，得3分，回答完全錯(cuò)誤或不回答，得0分．至少____人參加這次測驗(yàn)，才能保證至少有3人得得分相同．【解析】根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)可知，最高得分為50分，最低得分為0分，在0～50分之間，1分，2分，4分，7分，47分，49分不可能出現(xiàn)．共有51645（種）不同得分．根據(jù)抽屜原理，至少有45×2＋1＝91（人）參賽，才能保證至少有3人得分相同．（二）、構(gòu)造抽屜利用公式進(jìn)行解題在一只口袋中有紅色、黃色、藍(lán)色球若干個(gè)，小聰明和其他六個(gè)小朋友一起做游戲，每人可以從口袋中隨意取出個(gè)球，那么不管怎樣挑選，總有兩個(gè)小朋友取出的兩個(gè)球的顏色完全一樣．你能說明這是為什么嗎？【解析】從三種顏色的球中挑選兩個(gè)球，可能情況只有下面6種：紅、紅；黃、黃；藍(lán)、藍(lán)；紅、黃；紅、藍(lán)；黃、藍(lán)，我們把種搭配方式當(dāng)作6個(gè)“抽屜”，把7個(gè)小朋友當(dāng)作7個(gè)“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)“蘋果”要放進(jìn)一個(gè)“抽屜”中，也就是說，至少有兩個(gè)人挑選的顏色完全一樣．在一只口袋中有紅色與黃色球各4只，現(xiàn)有4個(gè)小朋友，每人從口袋中任意取出2個(gè)小球，請你證明：必有兩個(gè)小朋友，他們?nèi)〕龅膬蓚€(gè)球的顏色完全一樣．【解析】小朋友從口袋中取出的兩個(gè)球的顏色的組成只有以下3種可能：紅紅、黃黃、紅黃，把這3種情況看作3個(gè)“抽屜”，把4位小朋友看作4只“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)小朋友取出的兩個(gè)球的顏色完全一樣．籃子里有蘋果、梨、桃和桔子，現(xiàn)有若干個(gè)小朋友，如果每個(gè)小朋友都從中任意拿兩個(gè)水果，那么至少有多少個(gè)小朋友才能保證有兩個(gè)小朋友拿的水果是相同的？【解析】首先應(yīng)弄清不同的水果搭配有多少種．兩個(gè)水果是相同的有4種，兩個(gè)水果不同有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子．所以不同的水果搭配共有4610（種）．將這10種搭配作為10個(gè)“抽屜”．由抽屜原理知至少需11個(gè)小朋友才能保證有兩個(gè)小朋友拿的水果是相同的學(xué)校里買來數(shù)學(xué)、英語兩類課外讀物若干本，規(guī)定每位同學(xué)可以借閱其中兩本，現(xiàn)有位小朋友前來借閱，每人都借了本．請問，你能保證，他們之中至少有兩人借閱的圖書屬于同一種嗎？【解析】每個(gè)小朋友都借2本有三種可能：數(shù)數(shù)，英英，數(shù)英．第4個(gè)小朋友無論借什么書，都可能是這三種情況中的一種，這樣就有兩個(gè)同學(xué)借的是同一類書，所以可以保證，至少有2位小朋友，他們所借閱的兩本書屬于同類．總結(jié)：此題如用簡單乘法原理的話，有難度，因?yàn)樯婕暗胶唵渭臃ㄔ恚酝扑]使用列表法。與之前不同的是，本題借閱的書只說了兩本并沒說其他要求，所以可以拿2本同樣的書．11名學(xué)生到老師家借書，老師的書房中有文學(xué)、科技、天文、歷史四類書，每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書，最少借一本．試說明：必有兩個(gè)學(xué)生所借的書的類型相同【解析】設(shè)不同的類型書為Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四種，若學(xué)生只借一本書，則不同的類型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四種；若學(xué)生借兩本不同類型的書，則不同的類型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種．共有10種類型，把這10種類型看作10個(gè)“抽屜”，把11個(gè)學(xué)生看作11個(gè)“蘋果”．如果誰借哪種類型的書，就進(jìn)入哪個(gè)抽屜，由抽屜原理，至少有兩個(gè)學(xué)生，他們所借的書的類型相同．幼兒園買來許多牛、馬、羊、狗塑料玩具，每個(gè)小朋友任意選擇兩件，但不能是同樣的，問：至少有多少個(gè)小朋友去拿，才能保證有兩人所拿玩具相同？【解析】從四種玩具中挑選不同的兩件，所有的搭配有以下6組：牛、馬；牛、羊；牛、狗；馬、羊；馬、狗；羊、狗．把每一組搭配看作一個(gè)“抽屜”，共6個(gè)抽屜．根據(jù)抽屜原理，至少要有7個(gè)小朋友去拿，才能保證有兩人所拿玩具相同．體育用品的倉庫里有許多足球、排球和籃球，有66個(gè)同學(xué)來倉庫拿球，要求每個(gè)人至少拿一個(gè)，最多拿兩個(gè)球，問至少有多少名同學(xué)所拿的球的種類是完全一樣的？【解析】以拿球配組的方式為抽屜，每人拿一個(gè)或兩個(gè)球，所以抽屜有：足、排、籃、足足、排排、籃籃、足排、足籃、排籃共9種情況，即有9個(gè)抽屜，則：66973，718，即至少有8名同學(xué)所拿球的種類是一樣的．幼兒園買來很多玩具小汽車、小火車、小飛機(jī)，每個(gè)小朋友任意選擇兩件不同的，那么至少要有幾個(gè)小朋友才能保證有兩人選的玩具是相同的？【解析】根據(jù)題意列下表：有3個(gè)小朋友就有三種不同的選擇方法，當(dāng)?shù)谒膫€(gè)小朋友準(zhǔn)備拿時(shí)，不管他怎么選擇都可以跟前面三個(gè)同學(xué)其中的一個(gè)選法相同．所以至少要有4個(gè)小朋友才能保證有兩人選的玩具是相同的．總結(jié)：本題是抽屜原理應(yīng)用的典型例題，作為重點(diǎn)講解．學(xué)生們可能會(huì)這么認(rèn)為：鋪墊：2件3種6件，6件2個(gè)3人，要保證有相同的所以至少要有314人；對(duì)于例題中的題目同樣2件4種8件，8件2個(gè)4人，要保證有相同的所以至少要有415人．因?yàn)殇亯|是正好配上數(shù)了，而例題中的問題在于4種東西任選兩種的選擇有幾種．可以簡單跟學(xué)生講一下簡單乘法原理的思想，但建議還是運(yùn)用枚舉法列表進(jìn)行分析，按順序列表可以做到不遺漏，不重復(fù)．籃子里有蘋果、梨、桃和桔子，現(xiàn)有若干個(gè)小朋友，如果每個(gè)小朋友都從中任意拿兩個(gè)水果，那么至少有多少個(gè)小朋友才能保證有兩個(gè)小朋友拿的水果是相同的？【解析】首先應(yīng)弄清不同的水果搭配有多少種．兩個(gè)水果是相同的有4種，兩個(gè)水果不同有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子．所以不同的水果搭配共有4610（種）．將這10種搭配作為10個(gè)“抽屜”．由抽屜原理知至少需11個(gè)小朋友才能保證有兩個(gè)小朋友拿的水果是相同的紅、藍(lán)兩種顏色將一個(gè)方格圖中的小方格隨意涂色（見下圖），每個(gè)小方格涂一種顏色．是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？【解析】用紅、藍(lán)兩種顏色給每列中兩個(gè)小方格隨意涂色，只有下面四種情形：藍(lán)藍(lán)、紅藍(lán)、藍(lán)紅、紅紅、將上面的四種情形看成四個(gè)“抽屜”，把五列方格看成五個(gè)“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，將五個(gè)蘋果放入四個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜中有不少于兩個(gè)蘋果，也就是至少有一種情形占據(jù)兩列方格，即這兩列的小方格中涂的顏色完全相同．將每一個(gè)小方格涂上紅色、黃色或藍(lán)色．（每一列的三小格涂的顏色不相同），不論如何涂色，其中至少有兩列，它們的涂色方式相同，你同意嗎？【解析】這道題是例題的拓展提高，通過列舉我們發(fā)現(xiàn)給這些方格涂色，要使每列的顏色不同，最多有6種不同的涂法，藍(lán)黃、紅藍(lán)、黃紅、藍(lán)黃、紅藍(lán)、黃紅、藍(lán)黃、紅紅、黃藍(lán)涂到第六列以后，就會(huì)跟前面的重復(fù)．所以不論如何涂色，其中至少有兩列它們的涂色方式相同．從、、、、、這個(gè)偶數(shù)中至少任意取出多少個(gè)數(shù)，才能保證有個(gè)數(shù)的和是？【解析】構(gòu)造抽屜：{2,50}，{4,48}，{6,46}，{8,44}，{24,28}，{26}，共13種搭配，即13個(gè)抽屜，所以任意取出14個(gè)數(shù)，無論怎樣取，有兩個(gè)數(shù)必同在一個(gè)抽屜里，這兩數(shù)和為52，所以應(yīng)取出14個(gè)數(shù)．或者從小數(shù)入手考慮，2、4、6、26，當(dāng)再取28時(shí)，與其中的一個(gè)去陪，總能找到一個(gè)數(shù)使這兩個(gè)數(shù)之和為52．證明：在從1開始的前10個(gè)奇數(shù)中任取6個(gè)，一定有2個(gè)數(shù)的和是20.【解析】將10個(gè)奇數(shù)分為五組(1、19)，(3、17)，(5、15)，(7、13)，(9、11)，任取6個(gè)必有兩個(gè)奇數(shù)在同一組中，這兩個(gè)數(shù)的和為20.從1，4，7，10，…，37，40這14個(gè)數(shù)中任取8個(gè)數(shù)，試證：其中至少有2個(gè)數(shù)的和是41.【解析】將10個(gè)奇數(shù)分為五組(1、19)，(3、17)，(5、15)，(7、13)，(9、11)，任取6個(gè)必有兩個(gè)奇數(shù)在同一組中，這兩個(gè)數(shù)的和為20.從，，，，這個(gè)數(shù)中任意挑出個(gè)數(shù)來，證明在這個(gè)數(shù)中，一定有兩個(gè)數(shù)的差為?！窘馕觥繉?00個(gè)數(shù)分成50組：{1,51}，{2,52}，{3,53}，{50,100}，將其看作50個(gè)抽屜，在選出的51個(gè)數(shù)中，必有兩個(gè)屬于一組，這一組的差為50．這道題也同樣可以從小數(shù)入手考慮．請證明：在1，4，7，10，…，100中任選20個(gè)數(shù)，其中至少有不同的兩組數(shù)其和都等于104.【解析】1，4，7，10，…，100共有34個(gè)數(shù)，將其分為(4，100)，(7，97)，…，(49，55)，(1)，(52)，共有18個(gè)抽屜．從這18個(gè)抽屜里面任意抽取20個(gè)數(shù)，則至少有18個(gè)數(shù)取自前16個(gè)抽屜，所以至少有4個(gè)數(shù)取自某兩個(gè)抽屜中，而屬于同一“抽屜”的兩個(gè)數(shù)，其和是104．從1、2、3、4、…、19、20這20個(gè)自然數(shù)中，至少任選幾個(gè)數(shù)，就可以保證其中一定包括兩個(gè)數(shù)，它們的差是12．【解析】在這20個(gè)自然數(shù)中，差是12的有以下8對(duì)：｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝．另外還有4個(gè)不能配對(duì)的數(shù)｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12個(gè)抽屜（每個(gè)括號(hào)看成一個(gè)抽屜）只要有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽屜，那么它們的差就等于12，根據(jù)抽屜原理至少任選13個(gè)數(shù)，即可辦到（取12個(gè)數(shù)：從12個(gè)抽屜中各取一個(gè)數(shù)（例如取1，2，3，…，12），那么這12個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差必不等于12）．（小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽）從1，2，3，4，…，1988，1989這些自然數(shù)中，最多可以取____個(gè)數(shù)，其中每兩個(gè)數(shù)的差不等于4．【解析】將1～1989排成四個(gè)數(shù)列：1，5，9，…，1985，19892，6，10，…，19863，7，11，…，19874，8，12，…，1988每個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的差是4，因此，要使取出的數(shù)中，每兩個(gè)的差不等于4，每個(gè)數(shù)列中不能取相鄰的項(xiàng)．因此，第一個(gè)數(shù)列只能取出一半，因?yàn)橛?19891)41498項(xiàng)，所以最多取出249項(xiàng)，例如1，9，17，…，1985．同樣，后三個(gè)數(shù)列每個(gè)最多可取249項(xiàng)．因而最多取出2494996個(gè)數(shù)，其中每兩個(gè)的差不等于4．從2、4、6、…、30這15個(gè)偶數(shù)中，任取9個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是34．【解析】我們用題目中的15個(gè)偶數(shù)制造8個(gè)抽屜，(2),(4,30)，(6,28)，…，(16,18),凡是抽屜中的有兩個(gè)數(shù)，都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)：這兩個(gè)數(shù)的和是34．現(xiàn)從題目中的15個(gè)偶數(shù)中任取9個(gè)數(shù)，由抽屜原理（因?yàn)槌閷现挥?個(gè)），必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中.由制造的抽屜的特點(diǎn)，這兩個(gè)數(shù)的和是34．（北京市第十一屆“迎春杯”刊賽）從1，2，3，4，…，1994這些自然數(shù)中，最多可以取個(gè)數(shù)，能使這些數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差都不等于9．【解析】方法一：把1994個(gè)數(shù)一次每18個(gè)分成一組，最后14個(gè)數(shù)也成一組，共分成111組．即1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18；19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36；…1963，1964，…，1979，1980；1981，1982，…，1994．每一組中取前9個(gè)數(shù)，共取出9×111＝999（個(gè)）數(shù)，這些數(shù)中任兩個(gè)的差都不等于9．因此，最多可以取999個(gè)數(shù)．方法二：構(gòu)造公差為9的9個(gè)數(shù)列（除以9的余數(shù)）1,10,19,28,,1990，共計(jì)222個(gè)數(shù)2,11,20,29,,1991，共計(jì)222個(gè)數(shù)3,12,21,30,,1992，共計(jì)222個(gè)數(shù)4,13,22,31,,1993，共計(jì)222個(gè)數(shù)5,14,23,32,,1994，共計(jì)222個(gè)數(shù)6,15,24,33,,1986，共計(jì)221個(gè)數(shù)7,16,25,34,,1987，共計(jì)221個(gè)數(shù)8,17,26,35,,1988，共計(jì)221個(gè)數(shù)9,18,27,36,,1989，共計(jì)221個(gè)數(shù)每個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的差是9，因此，要使取出的數(shù)中，每兩個(gè)的差不等于9，每個(gè)數(shù)列中不能取相鄰的項(xiàng)．因此，前五個(gè)數(shù)列只能取出一半，后四個(gè)數(shù)列最多能取出一半多一個(gè)數(shù)，所以最多取111×9＝999個(gè)數(shù)(南京市首屆“興趣杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽)從1至36個(gè)數(shù)中，最多可以取出___個(gè)數(shù)，使得這些數(shù)種沒有兩數(shù)的差是5的倍數(shù)．【解析】構(gòu)造公差為5的數(shù)列，如圖，有五條鏈，看成5個(gè)抽屜，每條鏈上取1個(gè)數(shù)，最多取5個(gè)數(shù)．1－6－11－16－21－26－31－362－7－12－17－22－27－323－8－13－18－23－28－334－9－14－19－24－29－345－10－15－20－25－30－35（2008年第八屆“春蕾杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽決賽）從、、、、、、、、、、和中至多選出個(gè)數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的倍．【解析】把這12個(gè)數(shù)分成6個(gè)組：第1組：1，2，4，8第2組：3，6，12第3組：5，10第4組：7第5組：9第6組：11每組中相鄰兩數(shù)都是2倍關(guān)系，不同組中沒有2倍關(guān)系．選沒有2倍關(guān)系的數(shù)，第1組最多2個(gè)（1，4或2，8或1，8），第2組最多2個(gè)（3，12），第3組只有1個(gè)，第4，5，6組都可以取，一共2＋2＋1＋1＋1＋1＝8個(gè)．如果任意取9個(gè)數(shù)，因?yàn)榈?，4，5，6組一共5個(gè)數(shù)中，最多能取4個(gè)數(shù)，剩下945個(gè)數(shù)在2個(gè)組中，根據(jù)抽屜原理，至少有3個(gè)數(shù)是同一組的，必有2個(gè)數(shù)是同組相鄰的數(shù)，是2倍關(guān)系．從1到20這20個(gè)數(shù)中，任取11個(gè)不同的數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)其中一個(gè)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)．【解析】把這20個(gè)數(shù)分成以下10組，看成10個(gè)抽屜：(1，2，4，8，16)，(3，6，12)，(5，10，20)，(7，14)，(9，18)，(11)，(13)，(15)，(17)，(19)，前5個(gè)抽屜中，任意兩個(gè)數(shù)都有倍數(shù)關(guān)系．從這10個(gè)抽屜中任選11個(gè)數(shù)，必有一個(gè)抽屜中要取2個(gè)數(shù)，它們只能從前5個(gè)抽屜中取出，這兩個(gè)數(shù)就滿足題目要求．從1，3，5，7，…，97，99中最多可以選出多少個(gè)數(shù)，使得選出的數(shù)中，每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)?【解析】方法一：因?yàn)榫瞧鏀?shù)，所以如果存在倍數(shù)關(guān)系，那么也一定是3、5、7等奇數(shù)倍.3×33：99，于是從35開始，1～99的奇數(shù)中沒有一個(gè)是35～99的奇數(shù)倍(不包括1倍)，所以選出35，37，39，…，99這些奇數(shù)即可．共可選出33個(gè)數(shù)，使得選出的數(shù)中，每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)．方法二：利用3的若干次冪與質(zhì)數(shù)的乘積對(duì)這50個(gè)奇數(shù)分組．(1，3，9，27，81)，(5，15，45)，(7，21，63)，(11，33)，(13，39)，(17，51)，(19，57)，(23，69)，(25，75)，(29，87)，(31，93)，(35)，(37)，(41)，(43)，…，(97)共33組．前11組，每組內(nèi)任意兩個(gè)數(shù)都存在倍數(shù)關(guān)系，所以每組內(nèi)最多只能選擇一個(gè)數(shù)．即最多可以選出33個(gè)數(shù)，使得選的數(shù)中，每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)．評(píng)注：1～2n個(gè)自然數(shù)中，任意取出n+1個(gè)數(shù)，則其中必定有兩個(gè)數(shù)，它們一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍；從2，3．……，2n+1中任取n+2個(gè)數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)，它們一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍；從1，2，3．……3n中任取2n+1個(gè)數(shù)，則其中必有兩個(gè)數(shù)，它們中一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍，且至少是3倍；從1，2，3，……，mn中任取(m-1)n+1個(gè)數(shù)，則其中必有兩個(gè)數(shù)，它們中一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍，且至少是m倍(m、n為正整數(shù)).從整數(shù)1、2、3、…、199、200中任選101個(gè)數(shù)，求證在選出的這些自然數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)，其中的一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù).【解析】把這200個(gè)數(shù)分類如下：(1)1，12，212，312，…，712，(2)3，32，232，332，…，632，(3)5，52，252，352，…，552，…(50)99，992，(51)101，(52)103，…(100)199，以上共分為100類，即100個(gè)抽屜，顯然在同一類中的數(shù)若不少于兩個(gè)，那么這類中的任意兩個(gè)數(shù)都有倍數(shù)關(guān)系.從中任取101個(gè)數(shù)，根據(jù)抽屜原理，一定至少有兩個(gè)數(shù)取自同一類，因此其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù).從1，2，3，……49，50這50個(gè)數(shù)中取出若干個(gè)數(shù)，使其中任意兩個(gè)數(shù)的和都不能被7整除，則最多能取出多少個(gè)數(shù)？【解析】將1至50這50個(gè)數(shù)，按除以7的余數(shù)分為7類：[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，所含的數(shù)的個(gè)數(shù)分別為7，8，7，7，7，7，7.被7除余1與余6的兩個(gè)數(shù)之和是7的倍數(shù)，所以取出的數(shù)只能是這兩種之一；同樣的，被7除余2與余5的兩個(gè)數(shù)之和是7的倍數(shù)，所以取出的數(shù)只能是這兩種之一；被7除余3與余4的兩個(gè)數(shù)之和是7的倍數(shù)，所以取出的數(shù)只能是這兩種之一；兩個(gè)數(shù)都是7的倍數(shù)，它們的和也是7的倍數(shù)，所以7的倍數(shù)中只能取1個(gè)．所以最多可以取出8＋7＋7＋1＝23個(gè)從1，2，3，…，99，100這100個(gè)數(shù)中任意選出51個(gè)數(shù)．證明：(1)在這51個(gè)數(shù)中，一定有兩個(gè)數(shù)互質(zhì)；(2)在這51個(gè)數(shù)中，一定有兩個(gè)數(shù)的差等于50；(3)在這51個(gè)數(shù)中，一定存在9個(gè)數(shù)，它們的最大公約數(shù)大于1．【解析】(1)我們將1～100分成(1，2)，(3，4)，(5，6)，(7，8)，…，(99，100)這50組，每組內(nèi)的數(shù)相鄰．而相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)．將這50組數(shù)作為50個(gè)抽屜，同一個(gè)抽屜內(nèi)的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)．而現(xiàn)在51個(gè)數(shù)，放進(jìn)50個(gè)抽屜，則必定有兩個(gè)數(shù)在同一抽屜，于是這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)．問題得證．(2)我們將1—100分成(1，51)，(2，52)，(3，53)，…，(40，90)，…(50，100)這50組，每組內(nèi)的數(shù)相差50．將這50組數(shù)視為抽屜，則現(xiàn)在有51個(gè)數(shù)放進(jìn)50個(gè)抽屜內(nèi)，則必定有2個(gè)數(shù)在同一抽屜，那么這兩個(gè)數(shù)的差為50．問題得證．(3)我們將1—100按2的倍數(shù)、3的奇數(shù)倍、既不是2又不是3的倍數(shù)的情況分組，有(2，4，6，8，…，98，100)，(3，9，15，21，27，…，93，99)，(5，7，11，13，17，19，23，…，95，97)這三組．第一、二、三組分別有50、17、33個(gè)元素．最不利的情況下，51個(gè)數(shù)中有33個(gè)元素在第三組，那么剩下的18個(gè)數(shù)分到第一、二兩組內(nèi)，那么至少有9個(gè)數(shù)在同一組．所以這9個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為2或3或它們的倍數(shù)，顯然大于1．問題得證有49個(gè)小孩，每人胸前有一個(gè)號(hào)碼，號(hào)碼從1到49各不相同．現(xiàn)在請你挑選若干個(gè)小孩，排成一個(gè)圓圈，使任何相鄰兩個(gè)小孩的號(hào)碼數(shù)的乘積小于100，那么你最多能挑選出多少個(gè)孩子?【解析】將1至49中相乘小于100的兩個(gè)數(shù)，按被乘數(shù)分成9組，如下：(1×2)、(1×3)、(1×4)、…、(1×49)；(2×3)、(2×4)、(2×5)、…、(2×49)；(8×9)、(8×10)、(8×11)、(8×12)；(9×10)、(9×11).因?yàn)槊總€(gè)數(shù)只能與左右兩個(gè)數(shù)相乘，也就是每個(gè)數(shù)作為被乘數(shù)或乘數(shù)最多兩次，所以每一中最多會(huì)有兩對(duì)數(shù)出現(xiàn)在圓圈中，最多可以取出18個(gè)數(shù)對(duì)，共18×2=36次，但是每個(gè)數(shù)都出現(xiàn)兩次，故出現(xiàn)了18個(gè)數(shù)．例如：(10×9)、(9×11)、(1×8)、(8×12)、(12×7)、(7×13)、(13×6)、(6×14)、(14×5)、(5×15)、(15×4)、(4×16)、(16×3)、(3×17)、(17×2)、(2×18)、(18×1)、(1×10)．共出現(xiàn)l～18號(hào)，共18個(gè)孩子．若隨意選取出19個(gè)孩子，那么共有19個(gè)號(hào)碼，由于每個(gè)號(hào)碼數(shù)要與旁邊兩數(shù)分別相乘，則會(huì)形成19個(gè)相乘的數(shù)對(duì)．那么在9組中取出19個(gè)數(shù)時(shí)，有19=9×2+1，由抽屜原則知，必有三個(gè)數(shù)對(duì)落入同一組中，這樣某個(gè)數(shù)字會(huì)在數(shù)對(duì)中出現(xiàn)三次(或三次以上)，由分析知，這是不允許的．故最多挑出18個(gè)孩子．要把61個(gè)乒乓球分裝在若干個(gè)乒乓球盒中，每個(gè)盒子最多可以裝5個(gè)乒乓球，問：至少有多少個(gè)盒子中的乒乓球數(shù)目相同？【解析】每個(gè)盒子不超過5個(gè)球，最“壞”的情況是每個(gè)盒子的球數(shù)盡量不相同，為1、2、3、4、5這5種各不相同的個(gè)數(shù)，共有：1＋2＋3＋4＋5＝15，61÷15＝4·····1，最不利的分法是：裝1、2、3、4、5個(gè)球的各4個(gè)，還剩1個(gè)球，要使每個(gè)盒子不超過5個(gè)球，無論放入哪個(gè)盒子，都會(huì)使至少有5個(gè)盒子的球數(shù)相同將400本書隨意分給若干同學(xué)，但是每個(gè)人不許超過11本，問：至少有多少個(gè)同學(xué)分到的書的本數(shù)相同？【解析】每人不許超過11本，最“壞”的情況是每人得到的本數(shù)盡量不相同，為：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11這11種各不相同的本數(shù)，共有：1+2+3++11=66本，400÷66＝6·····4，最不利的分法是：得1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11本數(shù)+的各6人，還剩4本書，要使每個(gè)人不超過11本，無論發(fā)給誰，都會(huì)使至少有7人得到書的本書相同．有蘋果和桔子若干個(gè)，任意分成堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)？【解析】需先跟學(xué)生介紹奇偶性：奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)；奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)；偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)。先用列表法進(jìn)行搭配。由于題目只要求判斷兩堆水果的個(gè)數(shù)關(guān)系，因此可以從水果個(gè)數(shù)的奇偶性上來考慮抽屜的設(shè)計(jì)．對(duì)于每堆水果中的蘋果、桔子的個(gè)數(shù)分別都有奇數(shù)與偶數(shù)兩種可能，所以每堆水果中蘋果、桔子個(gè)數(shù)的搭配就有4種情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），其中括號(hào)中的第一個(gè)字表示蘋果數(shù)的奇偶性，第二個(gè)字表示桔子數(shù)的奇偶性．將這4種情形看成4個(gè)抽屜，現(xiàn)有5堆水果，根據(jù)抽屜原理可知，這5堆水果里至少有2堆屬于上述4種情形的同一種情形．由于奇數(shù)加奇數(shù)為偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)仍為偶數(shù)，所以在同一個(gè)抽屜中的兩堆水果，其蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)．在長度是厘米的線段上任意取個(gè)點(diǎn)，是否至少有兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于厘米？【解析】把長度10厘米的線段10等分，那么每段線段的長度是1厘米（見下圖）．將每段線段看成是一個(gè)“抽屜”，一共有10個(gè)抽屜．現(xiàn)在將這11個(gè)點(diǎn)放到這10個(gè)抽屜中去．根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的點(diǎn)（包括這些線段的端點(diǎn)）．由于這兩個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)抽屜里，它們之間的距離當(dāng)然不會(huì)大于1厘米．所以，在長度是10厘米的線段上任意取11個(gè)點(diǎn)，至少存在兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于1厘米．在米長的直尺上任意點(diǎn)五個(gè)點(diǎn)，請你說明這五個(gè)點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于厘米．【解析】5個(gè)點(diǎn)最多把1米長的直尺分成4段，要想使每一段都盡量長，應(yīng)采取平均分的辦法．把1米長的直尺平均劃分成四段，每一段25厘米，把這四段看成四個(gè)抽屜．當(dāng)把五個(gè)點(diǎn)隨意放入四個(gè)抽屜時(shí)，根據(jù)抽屜原理，一定有一個(gè)抽屜里面有兩個(gè)或兩個(gè)以上的點(diǎn)，落在同一段上的這兩點(diǎn)間的距離一定不大于25厘米，所以結(jié)論成立．試說明在一條長100米的小路一旁植樹101棵，不管怎樣種，總有兩棵樹的距離不超過1米．【解析】把這條小路分成每段1米長，共100段每段看作是一個(gè)抽屜，共100個(gè)抽屜，把101棵樹看作是101個(gè)蘋果，于是101個(gè)蘋果放入100個(gè)抽屜中，至少有一個(gè)抽屜中有兩個(gè)蘋果，即至少有一段有兩棵或兩棵以上的樹(《小數(shù)報(bào)》數(shù)學(xué)競賽初賽試題)在米長的水泥陽臺(tái)上放盆花，隨便怎樣擺放，至少有幾盆花之間的距離不超過米．【解析】如果每兩盆之間的距離都超過2米，那么總距離超過211120（）(米)．另一方面，可以使開始的10盆每兩盆之間距離略大于2米，而最后兩盆之間小于2米．所以，至少有兩盆之間的距離不超過2米．在米長的水泥陽臺(tái)上放盆花，隨便怎樣擺放，請你說明至少有兩盆花它們之間的距離小于米．【解析】第1盆花放在一個(gè)端點(diǎn)上，第2盆花放在距第1盆花恰為2米處（這是兩盆花之間最近的距離了，再近就說明題目已經(jīng)正確了——兩盆花之間距離小于2米）．第3盆花放在距離第2盆花的距離2米處，這樣每隔2米放1盆花，直到陽臺(tái)的另一個(gè)盡頭，恰好放第11盆花．至此，陽臺(tái)上的11盆花中任意兩盆花之間的距離都按你的設(shè)想不小于2米放好了．現(xiàn)在考慮最后1盆花，它只能放在已放好的11盆花所留出的10個(gè)空檔內(nèi)了，這已說明必有兩盆花之間的距離小于2米．題目的結(jié)論是正確的．在邊長為3的正三角形內(nèi)，任意放入10個(gè)點(diǎn)，求證：必有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于1．【解析】將邊長為3的正三角形等分為9個(gè)小正三角形，根據(jù)抽屜原理，10個(gè)點(diǎn)中必有兩個(gè)點(diǎn)落入同一個(gè)小正三角形的內(nèi)部或邊上，那么這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離不會(huì)超過小正三角形的邊長，故必有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于1．邊長為1的等邊三角形內(nèi)有5個(gè)點(diǎn)，那么這5個(gè)點(diǎn)中一定有距離小于0.5的兩點(diǎn).【解析】5個(gè)點(diǎn)的分布是任意的。如果要證明“在邊長為1的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）有5個(gè)點(diǎn)，那么這5個(gè)點(diǎn)中一定有距離不大于的兩點(diǎn)”，則順次連接三角形三邊中點(diǎn)，即三角形的三條中位線，可以分原等邊三角形為4個(gè)全等的邊長為的小等邊三角形，則5個(gè)點(diǎn)中必有2點(diǎn)位于同一個(gè)小等邊三角形中（包括邊界），其距離便不大于0.5?？梢岳^續(xù)拓展：邊長為1的等邊三角形內(nèi)，若有21n個(gè)點(diǎn)，則至少存在2點(diǎn)距離小于1.在邊長為的正方形內(nèi)任意放入九個(gè)點(diǎn)，求證：存在三個(gè)點(diǎn)，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積不超過【解析】如圖，用9個(gè)點(diǎn)四等分正方形，得到四個(gè)面積都為0.25的正方形，我們把四個(gè)面積為0.25的正方形看成4個(gè)抽屜，9個(gè)點(diǎn)看成蘋果，因此必有三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)面積為0.25的正方形內(nèi)，如果這三點(diǎn)恰好是正方形的頂點(diǎn)，則三角形的面積為0.125，如果這三點(diǎn)在正方形內(nèi)部，則三角形的面積小于0.125，因此存在三個(gè)點(diǎn)，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積不超過0.125在邊長為3米的正方形中，任意放入28個(gè)點(diǎn)，求證：必定有四個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形的面積不超過1平方米．【解析】將大正方形分成9個(gè)邊長為1米的小正方形，則9個(gè)小正方形為“抽屜”，有：28931，則必有一個(gè)小正方形里(上)至少有3＋1＝4(個(gè))點(diǎn)，若這四個(gè)點(diǎn)恰好落在這個(gè)小正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，那么以這4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為1平方米；若有一個(gè)點(diǎn)落在正方形的內(nèi)部或邊上，則面積將小于1平方米．綜上所述，不論怎么放，必定有四個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形的面積不超過1平方米．在一個(gè)矩形內(nèi)任意放五點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不在一條直線上。證明：在以這五點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中，至少有一個(gè)的面積小于矩形面積的四分之一?！窘馕觥咳缬覉D，將長方形按中線分為兩部分，則由抽屜原理知必然有3個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)區(qū)域，那么由這3個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積必然小于該區(qū)域的一半，即長方形面的四分之一。在一個(gè)直徑為厘米的圓內(nèi)放入七個(gè)點(diǎn)，請證明一定有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于厘米【解析】將圓分成六個(gè)面積相等的扇形，這六個(gè)扇形可以看成六個(gè)抽屜，七個(gè)點(diǎn)看成七個(gè)蘋果，這樣必有一個(gè)抽屜有兩個(gè)蘋果，即一定有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于1厘米平面上給定17個(gè)點(diǎn)，如果任意三個(gè)點(diǎn)中總有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離小于1，證明：在這17個(gè)點(diǎn)中必有9個(gè)點(diǎn)可以落在同一半徑為1的圓內(nèi)?！窘馕觥咳绻?7個(gè)點(diǎn)中，任意兩點(diǎn)之間的距離都小于1，那么，以這17個(gè)點(diǎn)中任意一點(diǎn)為圓心，以1為半徑作一個(gè)圓，這17個(gè)點(diǎn)必然全落在這個(gè)圓內(nèi)。如果這17點(diǎn)中，有兩點(diǎn)之間距離不小于1(即大于或等于1)，設(shè)這兩點(diǎn)為1O、2O，分別以1O、2O為圓心，1為半徑作兩個(gè)圓(如圖)。把這兩個(gè)圓看作兩個(gè)抽屜，由于任意三點(diǎn)中總有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離小于1，因此其他15個(gè)點(diǎn)中每一點(diǎn)，到1O、2O的距離必有一個(gè)小于1。也就是說這些點(diǎn)必落在某一個(gè)圓中。根據(jù)抽屜原理必有一個(gè)圓至少包含這15個(gè)點(diǎn)中的8個(gè)點(diǎn)。由于圓心是17個(gè)點(diǎn)中的一點(diǎn)，因此這個(gè)圓至少包含17個(gè)點(diǎn)中的9個(gè)點(diǎn)。9條直線的每一條都把一個(gè)正方形分成兩個(gè)梯形，而且它們的面積之比為2∶3。證明：這9條直線中至少有3條通過同一個(gè)點(diǎn)?！窘馕觥吭O(shè)正方形為ABCD，E、F分別是AB，CD的中點(diǎn)。設(shè)直線MN把正方形ABCD分成兩個(gè)長方形ABMN和CDNM，并且與EF相交于P（如圖）,長方形ABMN的面積:長方形CDNM的面積2:3，如果把直線MN繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，原來的兩個(gè)長方形就變成兩個(gè)梯形，根據(jù)割補(bǔ)法兩個(gè)梯形的面積比也為2:3，所以只要直線MN繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到的兩個(gè)梯形的面積比為2:3，所以將長方形分成2:3的兩個(gè)梯形必定經(jīng)過P點(diǎn)，同樣根據(jù)對(duì)稱經(jīng)過Q點(diǎn)的直線也是滿足條件的直線，同理我們還可以找到把長方形分成上下兩個(gè)梯形的兩個(gè)點(diǎn)這樣，在正方形內(nèi)就4個(gè)固定的點(diǎn)，凡是把正方形面積分成兩個(gè)面積為2∶3的梯形的直線，一定通過這4點(diǎn)中的某一個(gè)。我們把這4個(gè)點(diǎn)看作4個(gè)抽屜，9條直線看作9個(gè)蘋果，由抽屜原理可知，9÷4＝2····1，所以，必有一個(gè)抽屜內(nèi)至少放有3個(gè)蘋果，也就是，必有三條直線要通過一個(gè)點(diǎn)。如圖，能否在行列的方格表的每一個(gè)空格中分別填上，，這三個(gè)數(shù)，使得各行各列及對(duì)角線上個(gè)數(shù)的和互不相同？并說明理由．【解析】從問題入手：因?yàn)閱柕氖呛?，所以就從和的種類入手。由1，2，3組成的和中最小為8×1＝8，最大的為8×3＝24，8~24中共有17種結(jié)果，而8行8列加上對(duì)角線共有18個(gè)和，根據(jù)抽屜原理，必有兩和是相同的，所以此題不能滿足要求．在的方格紙中，每個(gè)方格紙內(nèi)可以填上四個(gè)自然數(shù)中的任意一個(gè)，填滿后對(duì)每個(gè)“田”字形內(nèi)的四個(gè)數(shù)字求和，在這些和中，相同的和至少有幾個(gè)？【解析】先計(jì)算出在8×8的方格中，共有2×2“田”字形：7×7＝49(個(gè))，在14中任取4個(gè)數(shù)(可以重復(fù))的和可以是416中之一，共13種可能，根據(jù)抽屜原理:49÷13＝3····10，至少有314個(gè)“田”字形內(nèi)的數(shù)字和是相同的．用數(shù)字1，2，3，4，5，6填滿一個(gè)的方格表，如右圖所示，每個(gè)小方格只填其中一個(gè)數(shù)字，將每個(gè)正方格內(nèi)的四個(gè)數(shù)字的和稱為這個(gè)正方格的“標(biāo)示數(shù)”．問：能否給出一種填法，使得任意兩個(gè)“標(biāo)示數(shù)”均不相同？如果能，請舉出一例；如果不能，請說明理由．【解析】先計(jì)算出每個(gè)2×2正方格內(nèi)的四個(gè)數(shù)字的和最小為4，最大為24，從4到24共有21個(gè)不同的值，即有21個(gè)“抽屜”；再找出在66的方格表最多有：5×5＝25(個(gè))22正方格的“標(biāo)示數(shù)”，即有25個(gè)“蘋果”．25÷21＝1·····4,根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)“標(biāo)示數(shù)”相同．能否在10行10列的方格表的每個(gè)空格中分別填上1，2，3這三個(gè)數(shù)之一，使得大正方形的每行、每列及對(duì)角線上的10個(gè)數(shù)字之和互不相同？對(duì)你的結(jié)論加以說明．【解析】大正方形的每行、每列及對(duì)角線上的10個(gè)數(shù)字之和最小是10，最大是30．因?yàn)閺?0到30之間只有21個(gè)互不相同的整數(shù)值，把這21個(gè)互不相同的數(shù)值看作21個(gè)“抽屜”，而10行、10列及兩條對(duì)角線上的數(shù)字和共有22個(gè)整數(shù)值，這樣元素的個(gè)數(shù)比抽屜的個(gè)數(shù)多1個(gè)，根據(jù)抽屜原理可知，至少有兩個(gè)和同屬于一個(gè)抽屜，故要使大正方形的每行、每列及對(duì)角線上的10個(gè)數(shù)字之和互不相同是不可能的．（南京市第三屆“興趣杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽C卷第12題）如下圖=1\*GB3①，、、、四只小盤拼成一個(gè)環(huán)形，每只小盤中放若干糖果，每次可取出1只、或3只、或4只盤中的全部糖果，也可取出2只相鄰盤中的全部糖果.要使1至13粒糖果全能取到，四只盤中應(yīng)各有粒糖果.把各只盤中糖果的粒數(shù)填在下圖=2\*GB3②中.圖=1\*GB3①圖=2\*GB3②【解析】有兩種方法（填出一種即可），如下圖64217321(南京市第三屆“興趣杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽D卷第12題)如右圖、、、四只小盤拼成一個(gè)環(huán)形，每只小盤中放若干糖果.每次可取出1只、或3只、或4只盤中的全部糖果，也可取出2只相鄰盤中的全部糖果.這樣取出的糖果數(shù)最多有幾種？請說明理由.【解析】最多為13種.因?yàn)槿?只盤子有4種取法；取3只盤子（即有1種盤子不?。?，也有四種取法；取4只盤子只有1只取法；取兩只相鄰的盤子，在第1只取定后，（依順時(shí)針方向），第2只也就確定了，所以也有4種取法.共有3×4＋1＝13種取法.滿足13種取法的糖果放法可以有無數(shù)多種.例題的解表明糖果數(shù)可以為1～13這13.如右圖，分別標(biāo)有數(shù)字的滾珠兩組，放在內(nèi)外兩個(gè)圓環(huán)上，開始時(shí)相對(duì)的滾珠所標(biāo)的數(shù)字都不相同．當(dāng)兩個(gè)圓環(huán)按不同方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì)．【分析】內(nèi)外兩個(gè)圓環(huán)對(duì)轉(zhuǎn)可以看成一個(gè)靜止，只有一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)，一個(gè)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)一周后，每個(gè)滾珠都會(huì)有一次與標(biāo)有相同數(shù)字的滾珠相對(duì)的局面出現(xiàn)，那么這種局面共要出現(xiàn)8次.將這8次局面看成8個(gè)蘋果，注意到一環(huán)每轉(zhuǎn)動(dòng)45角就有一次滾珠相對(duì)的局面出現(xiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周共有8次滾珠相對(duì)的局面，而最初相對(duì)滾珠所標(biāo)數(shù)字都不相同，所以相對(duì)的滾珠所標(biāo)的數(shù)字相同的情況只出現(xiàn)在以后的7次轉(zhuǎn)動(dòng)中，將7次轉(zhuǎn)動(dòng)看做7個(gè)抽屜，根據(jù)抽屜原理至少有2次數(shù)字相對(duì)的局面出現(xiàn)在同一次轉(zhuǎn)動(dòng)中即必有某一時(shí)刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對(duì)數(shù)字相同的滾珠相對(duì)．8位小朋友圍著一張圓桌坐下，在每位小朋友面前都放著一張紙條，上面分別寫著這8位小朋友的名字．開始時(shí)，每位小朋友發(fā)現(xiàn)自己面前所對(duì)的紙條上寫的都不是自己的名字，請證明：經(jīng)過適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)圓桌，一定能使至少兩位小朋友恰好對(duì)準(zhǔn)自己的名字．【解析】沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)圓桌，每次轉(zhuǎn)動(dòng)一格，使每位小朋友恰好對(duì)準(zhǔn)桌面上的字條，經(jīng)過8次轉(zhuǎn)動(dòng)后，桌面又回到原來的位置．在這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，每位小朋友恰好對(duì)準(zhǔn)桌面上寫有自己名字的字條一次，我們把每位小朋友與自己名字相對(duì)的情況看作“蘋果”，共有8只“蘋果”．另一方面，由于開始時(shí)每個(gè)小朋友都不與自己名字相對(duì)，所以小朋友與自己名字相對(duì)的情況只發(fā)生在7次轉(zhuǎn)動(dòng)中，這樣7次轉(zhuǎn)動(dòng)(即7個(gè)“抽屜”)將產(chǎn)生8位小朋友對(duì)準(zhǔn)自己名字的情況，由抽屜原理可知，至少在某一次轉(zhuǎn)動(dòng)后，有兩個(gè)或兩個(gè)以上的小朋友對(duì)準(zhǔn)自己的名字．時(shí)鐘的表盤上按標(biāo)準(zhǔn)的方式標(biāo)著1，2，3，…，11，12這12個(gè)數(shù)，在其上任意做n個(gè)120°的扇形，每一個(gè)都恰好覆蓋4個(gè)數(shù)，每兩個(gè)覆蓋的數(shù)不全相同．如果從這任做的n個(gè)扇形中總能恰好取出3個(gè)覆蓋整個(gè)鐘面的全部12個(gè)數(shù)，求n的最小值．【解析】（1）當(dāng)8n時(shí)，有可能不能覆蓋12個(gè)數(shù)，比如每塊扇形錯(cuò)開1個(gè)數(shù)擺放，蓋住的數(shù)分別是：（12，1，2，3）；（1，2，3，4）；（2，3，4，5）；（3，4，5，6）；（4，5，6，7）；（5，6，7，8）；（6，7，8，9）；（7，8，9，10），都沒蓋住11，其中的3個(gè)扇形當(dāng)然也不可能蓋住全部12個(gè)數(shù)．（2）每個(gè)扇形覆蓋4個(gè)數(shù)的情況可能是：（1，2，3，4）（5，6，7，8）（9，10，11，12）覆蓋全部12個(gè)數(shù)（2，3，4，5）（6，7，8，9）（10，11，12，1）覆蓋全部12個(gè)數(shù)（3，4，5，6）（7，8，9，10）（11，12，1，2）覆蓋全部12個(gè)數(shù)（4，5，6，7）（8，9，10，11）（12，1，2，3）覆蓋全部12個(gè)數(shù)當(dāng)9n時(shí)，至少有3個(gè)扇形在上面4個(gè)組中的一組里，恰好覆蓋整個(gè)鐘面的全部12個(gè)數(shù)．所以n的最小值是9．(2009年清華附中入學(xué)測試題)如圖，在時(shí)鐘的表盤上任意作個(gè)的扇形，使得每一個(gè)扇形都恰好覆蓋個(gè)數(shù)，且每兩個(gè)扇形覆蓋的數(shù)不全相同，求證：一定可以找到個(gè)扇形，恰好覆蓋整個(gè)表盤上的數(shù)．并舉一個(gè)反例說明，作個(gè)扇形將不能保證上述結(jié)論成立．【解析】在表盤上共可作出12個(gè)不同的扇形，且1～12中的每個(gè)數(shù)恰好被4個(gè)扇形覆蓋．將這12個(gè)扇形分為4組，使得每一組的3個(gè)扇形恰好蓋住整個(gè)表盤．那么，根據(jù)抽屜原理，從中選擇9個(gè)扇形，必有9134個(gè)扇形屬于同一組，那么這一組的3個(gè)扇形可以覆蓋整個(gè)表盤．另一方面，作8個(gè)扇形相當(dāng)于從全部的12個(gè)扇形中去掉4個(gè)，則可以去掉蓋住同一個(gè)數(shù)的4個(gè)扇形，這樣這個(gè)數(shù)就沒有被剩下的8個(gè)扇形蓋住，那么這8個(gè)扇形不能蓋住整個(gè)表盤．模塊三、最不利原則（2008年第六屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”中國青年數(shù)學(xué)論壇趣味數(shù)學(xué)解題技能展示大賽決賽）“走美”主試委員會(huì)為三～八年級(jí)準(zhǔn)備決賽試題．每個(gè)年級(jí)道題，并且至少有道題與其他各年級(jí)都不同．如果每道題出現(xiàn)在不同年級(jí)，最多只能出現(xiàn)次．本屆活動(dòng)至少要準(zhǔn)備道決賽試題．【解析】每個(gè)年級(jí)都有自己8道題目，然后可以三至五年級(jí)共用4道題目，六到八年級(jí)共用4道題目，總共有8×6＋4＋2＝56（道）題目有一個(gè)布袋中有40個(gè)相同的小球，其中編上號(hào)碼1、2、3、4的各有10個(gè)，問：一次至少要取出多少個(gè)小球，才能保證其中至少有3個(gè)小球的號(hào)碼相同？【解析】將1、2、3、4四種號(hào)碼看作4個(gè)抽屜，要保證一個(gè)抽屜中至少有3個(gè)蘋果，最“壞”的情況是每個(gè)抽屜里有2個(gè)“蘋果”，共有：4×2＝8(個(gè))，再取1個(gè)就能滿足要求，所以一次至少要取出9個(gè)小球，才能保證其中至少有3個(gè)小球的號(hào)碼相同．有一個(gè)布袋