線性代數(shù)-全面復習筆記

線性代數(shù)講稿講稿編者：張凱院使用教材：《線性代數(shù)》西北工業(yè)大學出版社西工大數(shù)學系編教學參考：《線性代數(shù)典型題分析解集》西北工業(yè)大學出版社徐仲等編

第一章n階行列式§1.2排列及其逆序數(shù)1．排列：個依次排列的元素．例如,自然數(shù)1,2,3,4構成的不同排列有4!=24種．1234,1342,1423,1432,1324,12432134,2341,2413,2431,2314,21433124,3241,3412,3421,3214,31424123,4231,4312,4321,4213,4132例1互異元素構成的不同排列有種．解在個元素中選取1個種取法在剩余個元素中選取1個種取法在剩余個元素中選取1個種取法…………在剩余2個元素中選取1個2種取法在剩余1個元素中選取1個1種取法總共種取法2．標準排列：個不同的自然數(shù)從小到大構成的排列．個不同的元素按照某種約定次序構成的排列．3．逆序數(shù)：(1)某兩個數(shù)（元素）的先后次序與標準次序不同時,稱這兩個數(shù)（元素）之間有1個逆序．(2)排列中逆序的總和稱為排列的逆序數(shù),記作．算法：固定,當時,滿足的“”的個數(shù)記作（稱為的逆序數(shù)）,那么．例2排列6372451中,．例3排列,求逆序數(shù)．解記作,,,…,4．奇偶性：排列奇數(shù)時,稱為奇排列；偶數(shù)時,稱為偶排列．5．對換：相鄰對換：一般對換：定理1排列經(jīng)過1次對換,其奇偶性改變．證先證相鄰對換：(1)(2)：對換后增加1,不變,故；：對換后不變,減少1,故．所以與的奇偶性相反．再證一般對換：(1)(2)(3)(1)(2)經(jīng)過次相鄰對換(2)(3)經(jīng)過次相鄰對換(1)(3)經(jīng)過次相鄰對換,所以與的奇偶性相反．推論奇排列標準排列,對換次數(shù)為奇數(shù)．偶排列標準排列,對換次數(shù)為偶數(shù)．§1.3階行列式的定義1．二階：2．三階：(1)乘積中三個數(shù)不同行、不同列：行標(第1個下標)：標準排列123列標(第2個下標)：是1,2,3的某個排列(共6種)(2)正項：123,231,312為偶排列負項：132,213,321為奇排列于是,．3．階：個數(shù),稱為階行列式,它表示數(shù)值,其中,求和式中共有項．例3計算,.解中只有一項不顯含0,且列標構成排列的逆序數(shù)為,故．中只有一項不顯含0,且列標構成排列的逆序數(shù)為故．結論：以主對角線為分界線的上(下)三角行列式的值等于主對角線上元素的乘積．以副對角線為分界線的上(下)三角行列式的值等于副對角線上元素的乘積,并冠以符號．特例：，定理2(2)證由定義知(1)先證(2)中的項都是(1)中的項：交換乘積次序可得(3)①偶數(shù)偶數(shù)次對換偶數(shù)次對換所以偶數(shù)②奇數(shù)奇數(shù)次對換奇數(shù)次對換所以奇數(shù)因此,由(3)可得同理可證(1)中的項都是(2)中的項．§1.4行列式的性質性質1設,,則．證令,則(根據(jù)Th2)性質2設,,則．證推論1對調兩列得．證因為對調兩列得,相當于對調兩行得所以推論2中某兩行(列)元素對應相等．證因為對調此兩行(列)后,的形式不變所以例如,對于任意的,都有．性質3,證(1)左端推論1中某行(列)元素全為0．推論2中某兩行(列)元素成比例．性質4若對某個,有,則證左端右端(1)+右端(2)[注]性質4對于列的情形也成立．性質5[注]性質5對于列的情形也成立．例5計算.解例6計算．解例7計算．解§1.5行列式按行（列）展開余子式：在階行列式中，將元素所在的行與列上的元素劃去，其余元素按照原來的相對位置構成的階行列式，稱為元素的余子式，記作．代數(shù)余子式：元素的代數(shù)余子式．定理3證證明第一式,分以下3步．第1步：+第2步：第3步：例8計算．解例9計算．解例10計算．解例11證明.證………………例12證明證定理4設,則．證只證第一式.時,有[注]結合定理3與定理4可得例13,求．解法1因為與的第1列元素的代數(shù)余子式相同所以將按第1列展開可得．解法2因為的第3列元素與的第1列元素的代數(shù)余子式相乘求和為0,即所以§1.7Cramer法則考慮線性方程組,,……定理5若,則方程組存在唯一解.證存在性.第1行中元素的代數(shù)余子式為將按第1行展開可得因為,所以故方程組有解唯一性.設方程組還有解,則同理可得于是例14解線性方程組.解,,,,,,齊次方程組定理6若,則齊次方程組只有零解.推論齊次方程組有非零解.[注]齊次方程組有非零解.(定理3.5之推論)例15已知有非零解,求.解,故或.例16計算.解采用加邊法.第二章矩陣及其運算§2.1矩陣1.方程組由其系數(shù)和右端項確定2.矩陣設個數(shù)排成行列的數(shù)表用括號將其括起來,稱為矩陣,并用大寫字母表示,即,簡記為.(1)稱為的行列元素(4)稱為方陣(2)稱為實矩陣(5)稱為行矩陣(3)稱為復矩陣(6)稱為列矩陣零矩陣：所有元素都是0的矩陣.單位矩陣；對角矩陣3.線性變換與矩陣設變量可由變量表示為稱之為由變量到變量的線性變換,它與矩陣是一一對應關系．§2.2矩陣的基本運算同階矩陣：指行數(shù)相等、列數(shù)相等的矩陣．矩陣相等：設,,若,稱.1.線性運算：,加法：數(shù)乘：負矩陣：減法：算律：設為同階矩陣,為常數(shù),則有(1)(5)(2)(6)(3)(7)(4)(8)例1設,滿足,求．解2.矩陣乘法：特殊情形,一般情形,[注]的列數(shù)=的行數(shù)．的行數(shù)=的行數(shù)；的列數(shù)=的列數(shù)．與的先后次序不能改變．例2,,[注]無意義．例3,,[注]；,,但是．算律：(1)(2)(3)(4),驗證(1)設,,,則應用：,,,線性方程組的矩陣形式線性變換的矩陣形式3.方陣的冪：,為正整數(shù),算律：(1)(2)例4,求．解法1可以驗證：解法24.矩陣的轉置：,算律：(1)(2)(3)(4)驗證(4),,故，即．對稱矩陣：指滿足，即反對稱矩陣：指滿足，即5.方陣的行列式：指的元素按照原來的相對位置構成的行列式,記作,或者．算律：(1)(2)(3)(4)[注]方陣是數(shù)表,而行列式是數(shù)值．,而.6.伴隨矩陣：,中元素的代數(shù)余子式為．，重要性質：7.共軛矩陣：復矩陣的共軛矩陣記作．算律：(1)(2)(3)(4)§2.3逆矩陣定義：對于,若有滿足,則稱為可逆矩陣,且為的逆矩陣,記作．定理1若為可逆矩陣,則的逆矩陣唯一．證設與都是的逆矩陣,則有,定理2為可逆矩陣；為可逆矩陣．證必要性．已知存在，則有充分性．已知，則有由定義知為可逆矩陣，且．[注]時,亦稱為非奇異矩陣；時,亦稱為奇異矩陣．推論1對于,若有滿足,則可逆,且．證可逆推論2對于,若有滿足,則可逆,且．算律：(1)可逆可逆,且．對于,取,有．(2)可逆,可逆,且．對于,取,有．(3)與都可逆可逆,且．對于,取,有．(4)可逆可逆,且．對于,取,有．(5)可逆．(6)與都可逆．證負冪：可逆,定義,,則有,(,為整數(shù))例1,例2設滿足,求．解應用：(1)階線性方程組求解,(2)求線性變換的逆變換,(3)矩陣方程求解設可逆,可逆,且已知,則例3設,滿足,求．解并項：計算：例4設滿足,求．解并項：左乘：計算：密碼問題：,,,…,,action：1,3,20,9,15,14加密：,發(fā)出∕接收密碼：67,44,43,81,52,43解密：,明碼：1,3,20,9,15,14表示action

§2.4分塊矩陣用若干條橫線與縱線將矩陣劃分為若干個小矩陣,稱這些小矩陣為的子矩陣,以子矩陣為其元素的矩陣稱為分塊矩陣．特點：同行上的子矩陣有相同的“行數(shù)”；同列上的子矩陣有相同的“列數(shù)”．1.加法：,要求：與同階,且分塊方式相同．2.數(shù)乘：3.乘法：,要求：的列劃分方式與的行劃分方式相同．例14.轉置：,特點：“大轉”+“小轉”5.準對角矩陣：設,,都是方陣,記性質：(1)(2)可逆可逆(3)可逆例2例3設與都可逆,,,求．解可逆,第三章矩陣的初等變換§3.1矩陣的秩1.子式：在中,選取行與列,位于交叉處的個數(shù)按照原來的相對位置構成階行列式,稱為的一個階子式,記作．對于給定的,不同的階子式總共有個．2.矩陣的秩：在中，若(1)有某個階子式；(2)所有的階子式（如果有階子式的話）．稱的秩為,記作,或者．規(guī)定：性質：(1)(2)時(3)(4)中的一個(5)中所有的例1,求．解位于1,2行與1,2列處的一個2階子式計算知,所有的3階子式,故．[注],若,稱為行滿秩矩陣；若,稱為列滿秩矩陣．,若,稱為滿秩矩陣（可逆矩陣,非奇異矩陣）；若,稱為降秩矩陣（不可逆矩陣,奇異矩陣）．§3.2矩陣的初等變換1.初等變換行變換列變換①對調②數(shù)乘③倍加經(jīng)過初等變換得到,記作．2.等價矩陣：若,稱與等價,記作．(1)自反性：(2)對稱性：(3)傳遞性：,定理1．證只需證明．設,僅證行變換之(3)的情形：(1)若,則有不含：含,不含：含,且含：故中所有的階子式,于是可得．(2)若或者,構造矩陣,由(1)可得其余情形類似．例2,求．解,故．行最簡形：標準形：定理2若,則：行階梯形：行最簡形定理3若,則,稱為的等價標準形．推論1若滿秩,則．推論2．§3.3解線性方程組的消元法例如解線性方程組的初等變換：(1)互換兩個方程的位置(2)用非零數(shù)乘某個方程(3)將某個方程的若干倍加到另一個方程用矩陣的初等變換表示方程組的求解過程如下：方程組：或者增廣矩陣：設,且的左上角階子式,則：行最簡形的同解方程組為(3.4)若,則方程組(3.4)無解：若,則方程組(3.4)有解：(1)時,方程組(3.4)成為,,…,是其唯一解(2)時,方程組(3.4)成為一般解為其中為任意常數(shù)．定理4,(1)有解；(2)有解時,若,則有唯一解；若,則有無窮多組解．定理5(1)有非零解；(2)有非零解．例3求解,,解有無窮多解同解方程組：一般解：（為任意常數(shù)）例4求解,,解(1)同解方程組：一般解：（為任意常數(shù)）(2)同解方程組：一般解：（為任意常數(shù)）例5討論方程組何時有唯一解,無窮多解,無解?,解計算可得(1)且：根據(jù)Cramer法則,方程組有唯一解．(2)：,,故方程組無解．(3)且：時,,,故方程組無解．時,,故方程組有無窮多解．§3.4初等矩陣定義對單位矩陣進行一次初等變換得到的矩陣,稱為初等矩陣．[注]對單位矩陣進行一次初等列變換,相當于對單位矩陣進行一次同類型的初等行變換．因此,初等矩陣可分為以下3類：1.2.3.,性質1,,因此可得：對進行一次初等行變換,相當于給左乘一個同類型的初等矩陣．（定理6的結論之一）性質2注意：因此可得：對進行一次初等列變換,相當于給右乘一個同類型的初等矩陣．（定理6的結論之二）性質3,,,定理7可逆可以表示為有限個初等矩陣的乘積．證必要性．已知,則滿秩,故存在初等矩陣及,使得,而與都是初等矩陣．充分性．顯然成立．矩陣求逆方法之二（初等行變換法）：（都是初等矩陣）由此可得：對矩陣施行“初等行變換”，當前列（的位置）成為時，則后列（的位置）為．例6,求．解故．例7,求．解依次作初等行變換,,可得故．定理8設,,則存在可逆矩陣和,使得．證必要性．已知,則存在階初等矩陣和階初等矩陣,使得,令,則有．充分性．已知,則由定理7知,和都可以表示為有限個初等矩陣的乘積,即,故,也就是．第四章向量組的線性相關性§4.1向量及其運算1．向量：個數(shù)構成的有序數(shù)組,記作,稱為維行向量．––稱為向量的第個分量––稱為實向量（下面主要討論實向量）––稱為復向量零向量：負向量：2．線性運算：,相等：若,稱．加法：數(shù)乘：減法：3．算律：,,(1)(5)(2)(6)(3)(7)(4)(8)4．列向量：個數(shù)構成的有序數(shù)組,記作,或者,稱為維列向量．零向量：負向量：5．內積：設實向量,,稱實數(shù)為與的內積．算律：,,(1)(2)（為常數(shù)）(3)(4)時,；時,．(5)證(5),由可得6．范數(shù)：設實向量,稱實數(shù)為的范數(shù)．性質：(1)時,；時,．(2)(3)(4)證(3)證(4)7．夾角：設實向量,,稱為與之間的夾角．正交：若,稱與正交,記作．(1),時,；(2)或時,有意義,而無意義．單位化：若,稱為與同方向的單位向量．§4.2向量組的線性相關性1．線性組合：對維向量及,若有數(shù)組使得,稱為的線性組合,或可由線性表示．例1,,,判斷可否由線性表示?解設，比較兩端的對應分量可得,求得一組解為于是有,即可由線性表示．[注]取另一組解時,有．2．線性相關：對維向量組,若有數(shù)組不全為0,使得稱向量組線性相關,否則稱為線性無關．線性無關：對維向量組,僅當數(shù)組全為0時,才有稱向量組線性無關,否則稱為線性相關．[注]對于單個向量：若,則線性相關；若,則線性無關．例2判斷例1中向量組的線性相關性．解設,比較兩端的對應分量可得即．因為未知量的個數(shù)是4,而,所以有非零解,由定義知線性相關．例3已知向量組線性無關,證明向量組,,線性無關．證設,則有因為線性無關,所以,即系數(shù)行列式,該齊次方程組只有零解．故線性無關．例4判斷向量組,,…,的線性相關性．解設,則有只有故線性無關．例5設兩兩正交且非零,證明該向量組線性無關．證設,兩端與作內積可得當時,,于是有只有上式對于都成立,故線性無關．3．判定定理定理1向量組線性相關其中至少有一個向量可由其余個向量線性表示．證必要性．已知線性相關,則存在不全為零,使得不妨設,則有．充分性．不妨設,則有因為不全為零,所以線性相關．定理2若向量組線性無關,線性相關,則可由線性表示,且表示式唯一．證因為線性相關,所以存在數(shù)組不全為零,使得若,則有．矛盾!故,從而有．下面證明表示式唯一：若,則有因為線性無關,所以即的表示式唯一．定理3線性相關線性相關．證因為線性相關,所以存在數(shù)組不全為零,使得數(shù)組不全為零,故線性相關．推論1含零向量的向量組線性相關．推論2向量組線性無關任意的部分組線性無關．定理4設(1)線性相關；(2)線性無關．證設比較等式兩端向量的對應分量可得即．由定理3.5可得：線性相關有非零解推論1在定理4中,當時,有(1)線性相關；(2)線性無關．推論2在定理4中,當時,有(1)線性相關中所有的階子式；(2)線性無關中至少有一個階子式．推論3在定理4中,當時,必有線性相關．因為,由定理4(1)即得．推論4向量組：向量組：若線性無關,則線性無關．證線性無關是的子矩陣線性無關定理5劃分,則有(1)中某個中“所在的”個行向量線性無關；中“所在的”個列向量線性無關．(2)中所有中任意的個行向量線性相關；中任意的個列向量線性相關．證只證“行的情形”：(1)設位于的行,作矩陣,則有線性無關．(2)任取中個行,設為行,作矩陣,則有線性相關．[注]稱為的行向量組,為的列向量組．§4.3向量組的秩與最大無關組1．向量組的秩：設向量組為,若(1)在中有個向量線性無關；(2)在中有個向量線性相關（如果有個向量的話）．稱為向量組為的一個最大線性無關組,稱為向量組的秩,記作：秩．[注](1)向量組中的向量都是零向量時,其秩為0．(2)秩時,中任意個線性無關的向量都是的一個最大無關組．例如,,,,的秩為2．線性無關是一個最大無關組線性無關是一個最大無關組定理6設,則(1)的行向量組（列向量組）的秩為；(2)中某個中所在的個行向量（列向量）是的行向量組（列向量組）的最大無關組．證只證“行的情形”：中某個,而中所有定理5中所在的個行向量線性無關中任意的個行向量線性相關由定義：的行向量組的秩為,且中所在的個行向量是的向量組的最大無關組．例6向量組：,,,求的一個最大無關組．解構造矩陣求得秩矩陣中位于1,2行1,2列的二階子式故是的一個最大無關組．[注]為行向量組時,可以按行構造矩陣．定理7(1)若,則“的列”線性相關（線性無關）“的列”線性相關（線性無關）；(2)若,則“的行”線性相關（線性無關）“的行”線性相關（線性無關）．證(1)劃分,由可得故方程組與方程組同解．于是有線性相關存在不全為0,使得存在不全為0,使得線性相關同理可證(2)．[注]通常習慣于用初等行變換將矩陣化為階梯形矩陣,當階梯形矩陣的秩為時,的非零行中第一個非零元素所在的個列向量是線性無關的．例如：求例6中向量組的一個最大無關組．構造矩陣秩的1,2列線性無關的1,2列線性無關是的一個最大無關組例7向量組：,,,求向量組的一個最大無關組．解對矩陣進行初等行變換可得(1)：的1,2,3,4列線性無關的1,2,3,4列線性無關故是的一個最大無關組；(2)：的1,2,3列線性無關的1,2,3列線性無關故是的一個最大無關組．[注]當為行向量組時,為列向量組．若矩陣的列向量組的一個最大無關組為,則是的一個最大無關組．課后作業(yè)：習題四7,8（理解、記憶定理1～7）2．等價向量組：設向量組,若可由線性表示,稱可由線性表示；若與可以互相線性表示,稱與等價．(1)自反性：與等價(2)對稱性：與等價與等價(3)傳遞性：與等價,與等價與等價定理8向量組與它的最大無關組等價．證設向量組的秩為,的一個最大無關組為．(1)中的向量都是中的向量可由線性表示；(2)任意,當時,可由線性表示；當時,線性相關,而線性無關由定理2知,可由線性表示．故可由線性表示．因此,與等價．推論向量組的任意兩個最大無關組等價．定理9向量組,向量組．若線性無關,且可由線性表示,則．證不妨設與都是列向量,考慮向量組易見,秩秩．構造矩陣因為可由線性表示,所以于是可得秩．推論1若可由線性表示,則秩秩．證設秩,且的最大無關組為；秩,且的最大無關組為,則有可由線性表示可由線性表示可由線性表示（定理9）推論2設向量組與等價,則秩秩．[注]由“秩秩”不能推出“與等價”！正確的結論是：與等價與等價例8設,,則,．證設,,,則即可由線性表示,故．根據(jù)上述結果可得§4.4向量空間1．向量空間：設是具有某些共同性質的維向量的集合,若對任意的,有；（加法封閉）對任意的,,有．（數(shù)乘封閉）稱集合為向量空間．例如：是向量空間是向量空間不是向量空間,即數(shù)乘運算不封閉．例9給定維向量組,驗證是向量空間．稱之為由向量組生成的向量空間,記作或者證設,則,,于是有由定義知,是向量空間．2．子空間：設和都是向量空間,且,稱為的子空間．例如：前面例子中的是的子空間．例9中的也是的子空間．3．向量空間的基與維數(shù)：設向量空間,若(1)中有個向量線性無關；(2)可由線性表示．稱為的一組基,稱為的維數(shù),記作或者．[注]零空間沒有基,規(guī)定．由條件(2)可得：中任意個向量線性相關．（自證）若,則中任意個線性無關的向量都可作為的基．例10設向量空間的基為,則．證4．向量在基下的坐標：設向量空間的基為,對于,表示式唯一（定理2）,稱為在基下的坐標（列向量）．[注]為維向量,在的基下的坐標為維列向量．因為線性無關的“維向量組”最多含有個向量,所以由維向量構成的向量空間的基中最多含有個向量,故．例11設向量空間的基為,,求在該基下的坐標．解設,比較等式兩端的對應分量可得：,[注]是4維向量,在的基下的坐標為3維列向量．5．正交基：設向量空間的基為,若,稱為的正交基；若還有,稱為的標準正交基．例如：的標準正交基為．特點：向量空間的正交基為,對于,有：當為標準正交基時,有：6．Schmidt正交化過程：設向量空間的基為,令,,（否則線性相關）,（否則線性相關）………………,（否則線性相關）結論：兩兩正交且非零線性無關是的正交基令,則是的標準正交基例12已知向量空間的基為,,求的一組正交基．解故的一組正交基為．7．基變換與坐標變換設向量空間的基①；基②．基變換：可由唯一的線性表示,所以有矩陣乘法形式：稱上式為由基①改變?yōu)榛诘幕儞Q公式．稱為由基①改變?yōu)榛诘倪^渡矩陣．定理10向量空間中由基①改變?yōu)榛诘倪^渡矩陣是可逆矩陣．證若,則齊次方程組有非零解,由此可得即線性相關,矛盾！故是可逆矩陣．[注]由基②改變?yōu)榛俚幕儞Q公式為由基②改變?yōu)榛俚倪^渡矩陣為．坐標變換：,有因為在基①下的坐標唯一,所以或者稱上式為坐標變換公式．例12已知的兩個基為①②(1)求由基①改變?yōu)榛诘倪^渡矩陣；(2)求在基①下的坐標．解采用中介法求過渡矩陣：簡單基為,,,簡單基基①：簡單基基②：基①基②：,,

§4.5線性方程組解的結構,,齊次方程組非齊次方程組()結論：(1),與同解．(2)有非零解．(3)有解．(4)設,則時,有唯一解；時,有無窮多解．1．的解空間解集合故構成向量空間,稱為的解空間．2．的基礎解系不妨設的一般解為()依次令可求得,,…,因為(1)線性無關(2),所以是解空間的一個基,稱為的基礎解系．例15設,求的一個基礎解系．解,同解方程組為依次取,可求得基礎解系,2．解的結構(1),(2),是的解設的一個基礎解系為的特解為,一般解為,則有()例16設,,求的通解．解同解方程組為基礎解系：,；特解：通解：()例17設,的3個解滿足,,求的通解．解的基礎解系中含有個解向量因為所以是的基礎解系又是的特解故的通解為．例18設,是的解,證明：是的基礎解系線性無關．證必要性．設數(shù)組使得左乘,利用可得因為,所以由此可得因為是的基礎解系,所以線性無關,從而有故線性無關．充分性．是的解向量設數(shù)組使得則因為線性無關,所以只有,故向量組線性無關．因此是的基礎解系．第五章矩陣的相似變換§5.1矩陣的特征值與特征向量定義：對于階方陣,若有數(shù)和向量滿足,稱為的特征值,稱為的屬于特征值的特征向量．特征方程：或者有非零解特征矩陣：或者特征多項式：例1求的特征值與特征向量．解求的特征向量：,求的特征向量：,,（不同時為0）例2求的特征值與特征向量．解求的特征向量：,求的特征向量：,[注]在例1中,對應2重特征值有兩個線性無關的特征向量；在例2中,對應2重特征值只有一個線性無關的特征向量．一般結論：對應重特征值的線性無關的特征向量的個數(shù)．定理1設的特征值,,則(1)；(2)．證由特征值的定義可得其中都是次數(shù)不超過的多項式．由題設,又有比較多項式同次冪的系數(shù)可得推論0是的特征值．一元多項式：矩陣多項式：定理2設,則(1)；(2)．證(1)因為（）所以(2)[注]一般結論：若的全體特征值為,則的全體特征值為．例3設的特征值為,求．解設,則的特征值為故定理3設的互異特征值為,對應的特征向量依次為,則向量組線性無關．證采用數(shù)學歸納法．時,線性無關．設時,線性無關,下面證明線性無關．設數(shù)組使得左乘,利用可得：因為線性無關（歸納法假設）,所以代入可得．故線性無關．根據(jù)歸納法原理,對于任意正整數(shù),結論成立．定理4設的互異特征值為,重數(shù)依次為,對應的線性無關的特征向量為,則向量組線性無關．（自證）§5.2相似對角化1．相似矩陣：對于階方陣和,若有可逆矩陣使得,稱相似于,記作．(1)：(2)：(3)性質1．性質2可逆,可逆,且．性質3（為正整數(shù)）．性質4為多項式,．性質5與的特征值相同證由可得2．相似對角化：若方陣能夠與一個對角矩陣相似,稱可對角化．定理5階方陣可對角化有個線性無關的特征向量．證必要性．設可逆矩陣使得即．劃分,則有因為為可逆矩陣,所以它的列向量組線性無關．上式表明：是的個線性無關的特征向量．充分性．設線性無關,且滿足,則為可逆矩陣,且有即．[注]的主對角元素為的特征值．推論1有個互異特征值可對角化．推論2設的全體互異特征值為,重數(shù)依次為,則可對角化的充要條件是,對應于每個特征值,有個線性無關的特征向量．例4判斷下列矩陣可否對角化：(1),(2),(3)解(1)有3個互異特征值可對角化對應于的特征向量依次為,,構造矩陣,則有．(2)例1求得有3個線性無關的特征向量可對角化對應于的特征向量依次為,,構造矩陣,則有．(3),例2求得,對應于2重特征值,只有1個線性無關的特征向量不可對角化．

例5設,求．解例4求得,,使得：故（）§5.3實對稱矩陣的相似矩陣目的：對于實對稱矩陣,求正交矩陣,使得．此時,稱正交相似于對角矩陣．1．實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質定理6．證設,,則有故即．[注]的解向量可取為實向量．約定：實對稱矩陣的特征向量為實向量．定理7,特征值,特征向量依次為,則．證,故．例6設實對稱矩陣的特征值,屬于的特征向量依次為,,求．解設,由,可得該齊次方程組的一個非零解為．令,則有[注]2．正交矩陣：實矩陣滿足時,稱為正交矩陣．(1)是正交矩陣．(2)是正交矩陣．(3)是正交矩陣,即的列向量組是兩兩正交的單位向量．(4)是正交矩陣,即的行向量組是兩兩正交的單位向量．定理8存在正交矩陣,使得．（閱讀83-85頁）推論設,若是的重特征值,則對應于特征值一定有個線性無關的特征向量．（對比定理4）例7對下列矩陣,求正交矩陣,使得：(1),(2),(3)．解(1)對應于特征值的特征向量依次為,,（定理7保證它們兩兩正交）構造正交矩陣和對角矩陣：,則有．(2),屬于的特征向量為．求屬于的兩個特征向量（湊正交）：,,（定理7保證它們兩兩正交）構造正交矩陣和對角矩陣：,則有．(3)求屬于的3個特征向量（湊正交）：,,（它們兩兩正交）屬于的特征向量為構造正交矩陣和對角矩陣：,則有．

3．典型題例8已知可對角化,是的2重特征值,求可逆矩陣,使得．解可對角化對應有兩個線性無關的特征向量設,則有此時,求得,,令,則有．例9已知相似于,求和．解故．例10設的一個特征向量為,求的全體特征值與特征向量．解：,,對應只有1個線性無關的特征向量全體特征向量為第六章二次型變量的二次齊次多項式稱為元二次型,簡稱為二次型．：稱為實二次型（本章只討論實二次型）：稱為復二次型§6.1二次型的矩陣表示1．矩陣表示：令,則有其中,(1)與是一一對應關系,且．(2)稱為的矩陣,稱為對應的二次型．(3)稱的秩為的秩,即．2．標準形：找可逆線性變換,即使得將二次型的標準形寫為矩陣形式,矩陣描述：對實對稱矩陣,找可逆矩陣,使得．3．合同矩陣：對于,若有可逆矩陣使得,稱合同于．(1)合同于：(2)合同于合同于：(3)合同于,合同于合同于定理3合同于．證故．§6.2化二次型為標準形1．正交變換法設實對稱,特征值為,則存在正交矩陣,使得作正交變換,可得例1用正交變換化為標準形．解的矩陣的特征多項式的兩個正交的特征向量,的特征向量正交矩陣正交變換：標準形例2用正交變換化為標準形．解的矩陣的特征多項式求正交矩陣和對角矩陣,使得：,正交變換：標準形例3,秩．(1)求；(2)用正交變換化為標準形；(3)表示那類二次曲面？解(1)的矩陣（顯見）(2)的特征向量依次為,,（兩兩正交）正交矩陣正交變換：標準形(3)：表