線性代數(shù)-全面復(fù)習(xí)筆記

線性代數(shù)講稿講稿編者：張凱院使用教材：《線性代數(shù)》西北工業(yè)大學(xué)出版社西工大數(shù)學(xué)系編教學(xué)參考：《線性代數(shù)典型題分析解集》西北工業(yè)大學(xué)出版社徐仲等編

第一章n階行列式§1.2排列及其逆序數(shù)1．排列：個(gè)依次排列的元素．例如,自然數(shù)1,2,3,4構(gòu)成的不同排列有4!=24種．1234,1342,1423,1432,1324,12432134,2341,2413,2431,2314,21433124,3241,3412,3421,3214,31424123,4231,4312,4321,4213,4132例1互異元素構(gòu)成的不同排列有種．解在個(gè)元素中選取1個(gè)種取法在剩余個(gè)元素中選取1個(gè)種取法在剩余個(gè)元素中選取1個(gè)種取法…………在剩余2個(gè)元素中選取1個(gè)2種取法在剩余1個(gè)元素中選取1個(gè)1種取法總共種取法2．標(biāo)準(zhǔn)排列：個(gè)不同的自然數(shù)從小到大構(gòu)成的排列．個(gè)不同的元素按照某種約定次序構(gòu)成的排列．3．逆序數(shù)：(1)某兩個(gè)數(shù)（元素）的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí),稱這兩個(gè)數(shù)（元素）之間有1個(gè)逆序．(2)排列中逆序的總和稱為排列的逆序數(shù),記作．算法：固定,當(dāng)時(shí),滿足的“”的個(gè)數(shù)記作（稱為的逆序數(shù)）,那么．例2排列6372451中,．例3排列,求逆序數(shù)．解記作,,,…,4．奇偶性：排列奇數(shù)時(shí),稱為奇排列；偶數(shù)時(shí),稱為偶排列．5．對換：相鄰對換：一般對換：定理1排列經(jīng)過1次對換,其奇偶性改變．證先證相鄰對換：(1)(2)：對換后增加1,不變,故；：對換后不變,減少1,故．所以與的奇偶性相反．再證一般對換：(1)(2)(3)(1)(2)經(jīng)過次相鄰對換(2)(3)經(jīng)過次相鄰對換(1)(3)經(jīng)過次相鄰對換,所以與的奇偶性相反．推論奇排列標(biāo)準(zhǔn)排列,對換次數(shù)為奇數(shù)．偶排列標(biāo)準(zhǔn)排列,對換次數(shù)為偶數(shù)．§1.3階行列式的定義1．二階：2．三階：(1)乘積中三個(gè)數(shù)不同行、不同列：行標(biāo)(第1個(gè)下標(biāo))：標(biāo)準(zhǔn)排列123列標(biāo)(第2個(gè)下標(biāo))：是1,2,3的某個(gè)排列(共6種)(2)正項(xiàng)：123,231,312為偶排列負(fù)項(xiàng)：132,213,321為奇排列于是,．3．階：個(gè)數(shù),稱為階行列式,它表示數(shù)值,其中,求和式中共有項(xiàng)．例3計(jì)算,.解中只有一項(xiàng)不顯含0,且列標(biāo)構(gòu)成排列的逆序數(shù)為,故．中只有一項(xiàng)不顯含0,且列標(biāo)構(gòu)成排列的逆序數(shù)為故．結(jié)論：以主對角線為分界線的上(下)三角行列式的值等于主對角線上元素的乘積．以副對角線為分界線的上(下)三角行列式的值等于副對角線上元素的乘積,并冠以符號(hào)．特例：，定理2(2)證由定義知(1)先證(2)中的項(xiàng)都是(1)中的項(xiàng)：交換乘積次序可得(3)①偶數(shù)偶數(shù)次對換偶數(shù)次對換所以偶數(shù)②奇數(shù)奇數(shù)次對換奇數(shù)次對換所以奇數(shù)因此,由(3)可得同理可證(1)中的項(xiàng)都是(2)中的項(xiàng)．§1.4行列式的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè),,則．證令,則(根據(jù)Th2)性質(zhì)2設(shè),,則．證推論1對調(diào)兩列得．證因?yàn)閷φ{(diào)兩列得,相當(dāng)于對調(diào)兩行得所以推論2中某兩行(列)元素對應(yīng)相等．證因?yàn)閷φ{(diào)此兩行(列)后,的形式不變所以例如,對于任意的,都有．性質(zhì)3,證(1)左端推論1中某行(列)元素全為0．推論2中某兩行(列)元素成比例．性質(zhì)4若對某個(gè),有,則證左端右端(1)+右端(2)[注]性質(zhì)4對于列的情形也成立．性質(zhì)5[注]性質(zhì)5對于列的情形也成立．例5計(jì)算.解例6計(jì)算．解例7計(jì)算．解§1.5行列式按行（列）展開余子式：在階行列式中，將元素所在的行與列上的元素劃去，其余元素按照原來的相對位置構(gòu)成的階行列式，稱為元素的余子式，記作．代數(shù)余子式：元素的代數(shù)余子式．定理3證證明第一式,分以下3步．第1步：+第2步：第3步：例8計(jì)算．解例9計(jì)算．解例10計(jì)算．解例11證明.證………………例12證明證定理4設(shè),則．證只證第一式.時(shí),有[注]結(jié)合定理3與定理4可得例13,求．解法1因?yàn)榕c的第1列元素的代數(shù)余子式相同所以將按第1列展開可得．解法2因?yàn)榈牡?列元素與的第1列元素的代數(shù)余子式相乘求和為0,即所以§1.7Cramer法則考慮線性方程組,,……定理5若,則方程組存在唯一解.證存在性.第1行中元素的代數(shù)余子式為將按第1行展開可得因?yàn)?所以故方程組有解唯一性.設(shè)方程組還有解,則同理可得于是例14解線性方程組.解,,,,,,齊次方程組定理6若,則齊次方程組只有零解.推論齊次方程組有非零解.[注]齊次方程組有非零解.(定理3.5之推論)例15已知有非零解,求.解,故或.例16計(jì)算.解采用加邊法.第二章矩陣及其運(yùn)算§2.1矩陣1.方程組由其系數(shù)和右端項(xiàng)確定2.矩陣設(shè)個(gè)數(shù)排成行列的數(shù)表用括號(hào)將其括起來,稱為矩陣,并用大寫字母表示,即,簡記為.(1)稱為的行列元素(4)稱為方陣(2)稱為實(shí)矩陣(5)稱為行矩陣(3)稱為復(fù)矩陣(6)稱為列矩陣零矩陣：所有元素都是0的矩陣.單位矩陣；對角矩陣3.線性變換與矩陣設(shè)變量可由變量表示為稱之為由變量到變量的線性變換,它與矩陣是一一對應(yīng)關(guān)系．§2.2矩陣的基本運(yùn)算同階矩陣：指行數(shù)相等、列數(shù)相等的矩陣．矩陣相等：設(shè),,若,稱.1.線性運(yùn)算：,加法：數(shù)乘：負(fù)矩陣：減法：算律：設(shè)為同階矩陣,為常數(shù),則有(1)(5)(2)(6)(3)(7)(4)(8)例1設(shè),滿足,求．解2.矩陣乘法：特殊情形,一般情形,[注]的列數(shù)=的行數(shù)．的行數(shù)=的行數(shù)；的列數(shù)=的列數(shù)．與的先后次序不能改變．例2,,[注]無意義．例3,,[注]；,,但是．算律：(1)(2)(3)(4),驗(yàn)證(1)設(shè),,,則應(yīng)用：,,,線性方程組的矩陣形式線性變換的矩陣形式3.方陣的冪：,為正整數(shù),算律：(1)(2)例4,求．解法1可以驗(yàn)證：解法24.矩陣的轉(zhuǎn)置：,算律：(1)(2)(3)(4)驗(yàn)證(4),,故，即．對稱矩陣：指滿足，即反對稱矩陣：指滿足，即5.方陣的行列式：指的元素按照原來的相對位置構(gòu)成的行列式,記作,或者．算律：(1)(2)(3)(4)[注]方陣是數(shù)表,而行列式是數(shù)值．,而.6.伴隨矩陣：,中元素的代數(shù)余子式為．，重要性質(zhì)：7.共軛矩陣：復(fù)矩陣的共軛矩陣記作．算律：(1)(2)(3)(4)§2.3逆矩陣定義：對于,若有滿足,則稱為可逆矩陣,且為的逆矩陣,記作．定理1若為可逆矩陣,則的逆矩陣唯一．證設(shè)與都是的逆矩陣,則有,定理2為可逆矩陣；為可逆矩陣．證必要性．已知存在，則有充分性．已知，則有由定義知為可逆矩陣，且．[注]時(shí),亦稱為非奇異矩陣；時(shí),亦稱為奇異矩陣．推論1對于,若有滿足,則可逆,且．證可逆推論2對于,若有滿足,則可逆,且．算律：(1)可逆可逆,且．對于,取,有．(2)可逆,可逆,且．對于,取,有．(3)與都可逆可逆,且．對于,取,有．(4)可逆可逆,且．對于,取,有．(5)可逆．(6)與都可逆．證負(fù)冪：可逆,定義,,則有,(,為整數(shù))例1,例2設(shè)滿足,求．解應(yīng)用：(1)階線性方程組求解,(2)求線性變換的逆變換,(3)矩陣方程求解設(shè)可逆,可逆,且已知,則例3設(shè),滿足,求．解并項(xiàng)：計(jì)算：例4設(shè)滿足,求．解并項(xiàng)：左乘：計(jì)算：密碼問題：,,,…,,action：1,3,20,9,15,14加密：,發(fā)出∕接收密碼：67,44,43,81,52,43解密：,明碼：1,3,20,9,15,14表示action

§2.4分塊矩陣用若干條橫線與縱線將矩陣劃分為若干個(gè)小矩陣,稱這些小矩陣為的子矩陣,以子矩陣為其元素的矩陣稱為分塊矩陣．特點(diǎn)：同行上的子矩陣有相同的“行數(shù)”；同列上的子矩陣有相同的“列數(shù)”．1.加法：,要求：與同階,且分塊方式相同．2.數(shù)乘：3.乘法：,要求：的列劃分方式與的行劃分方式相同．例14.轉(zhuǎn)置：,特點(diǎn)：“大轉(zhuǎn)”+“小轉(zhuǎn)”5.準(zhǔn)對角矩陣：設(shè),,都是方陣,記性質(zhì)：(1)(2)可逆可逆(3)可逆例2例3設(shè)與都可逆,,,求．解可逆,第三章矩陣的初等變換§3.1矩陣的秩1.子式：在中,選取行與列,位于交叉處的個(gè)數(shù)按照原來的相對位置構(gòu)成階行列式,稱為的一個(gè)階子式,記作．對于給定的,不同的階子式總共有個(gè)．2.矩陣的秩：在中，若(1)有某個(gè)階子式；(2)所有的階子式（如果有階子式的話）．稱的秩為,記作,或者．規(guī)定：性質(zhì)：(1)(2)時(shí)(3)(4)中的一個(gè)(5)中所有的例1,求．解位于1,2行與1,2列處的一個(gè)2階子式計(jì)算知,所有的3階子式,故．[注],若,稱為行滿秩矩陣；若,稱為列滿秩矩陣．,若,稱為滿秩矩陣（可逆矩陣,非奇異矩陣）；若,稱為降秩矩陣（不可逆矩陣,奇異矩陣）．§3.2矩陣的初等變換1.初等變換行變換列變換①對調(diào)②數(shù)乘③倍加經(jīng)過初等變換得到,記作．2.等價(jià)矩陣：若,稱與等價(jià),記作．(1)自反性：(2)對稱性：(3)傳遞性：,定理1．證只需證明．設(shè),僅證行變換之(3)的情形：(1)若,則有不含：含,不含：含,且含：故中所有的階子式,于是可得．(2)若或者,構(gòu)造矩陣,由(1)可得其余情形類似．例2,求．解,故．行最簡形：標(biāo)準(zhǔn)形：定理2若,則：行階梯形：行最簡形定理3若,則,稱為的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形．推論1若滿秩,則．推論2．§3.3解線性方程組的消元法例如解線性方程組的初等變換：(1)互換兩個(gè)方程的位置(2)用非零數(shù)乘某個(gè)方程(3)將某個(gè)方程的若干倍加到另一個(gè)方程用矩陣的初等變換表示方程組的求解過程如下：方程組：或者增廣矩陣：設(shè),且的左上角階子式,則：行最簡形的同解方程組為(3.4)若,則方程組(3.4)無解：若,則方程組(3.4)有解：(1)時(shí),方程組(3.4)成為,,…,是其唯一解(2)時(shí),方程組(3.4)成為一般解為其中為任意常數(shù)．定理4,(1)有解；(2)有解時(shí),若,則有唯一解；若,則有無窮多組解．定理5(1)有非零解；(2)有非零解．例3求解,,解有無窮多解同解方程組：一般解：（為任意常數(shù)）例4求解,,解(1)同解方程組：一般解：（為任意常數(shù)）(2)同解方程組：一般解：（為任意常數(shù)）例5討論方程組何時(shí)有唯一解,無窮多解,無解?,解計(jì)算可得(1)且：根據(jù)Cramer法則,方程組有唯一解．(2)：,,故方程組無解．(3)且：時(shí),,,故方程組無解．時(shí),,故方程組有無窮多解．§3.4初等矩陣定義對單位矩陣進(jìn)行一次初等變換得到的矩陣,稱為初等矩陣．[注]對單位矩陣進(jìn)行一次初等列變換,相當(dāng)于對單位矩陣進(jìn)行一次同類型的初等行變換．因此,初等矩陣可分為以下3類：1.2.3.,性質(zhì)1,,因此可得：對進(jìn)行一次初等行變換,相當(dāng)于給左乘一個(gè)同類型的初等矩陣．（定理6的結(jié)論之一）性質(zhì)2注意：因此可得：對進(jìn)行一次初等列變換,相當(dāng)于給右乘一個(gè)同類型的初等矩陣．（定理6的結(jié)論之二）性質(zhì)3,,,定理7可逆可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積．證必要性．已知,則滿秩,故存在初等矩陣及,使得,而與都是初等矩陣．充分性．顯然成立．矩陣求逆方法之二（初等行變換法）：（都是初等矩陣）由此可得：對矩陣施行“初等行變換”，當(dāng)前列（的位置）成為時(shí)，則后列（的位置）為．例6,求．解故．例7,求．解依次作初等行變換,,可得故．定理8設(shè),,則存在可逆矩陣和,使得．證必要性．已知,則存在階初等矩陣和階初等矩陣,使得,令,則有．充分性．已知,則由定理7知,和都可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積,即,故,也就是．第四章向量組的線性相關(guān)性§4.1向量及其運(yùn)算1．向量：個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組,記作,稱為維行向量．––稱為向量的第個(gè)分量––稱為實(shí)向量（下面主要討論實(shí)向量）––稱為復(fù)向量零向量：負(fù)向量：2．線性運(yùn)算：,相等：若,稱．加法：數(shù)乘：減法：3．算律：,,(1)(5)(2)(6)(3)(7)(4)(8)4．列向量：個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組,記作,或者,稱為維列向量．零向量：負(fù)向量：5．內(nèi)積：設(shè)實(shí)向量,,稱實(shí)數(shù)為與的內(nèi)積．算律：,,(1)(2)（為常數(shù)）(3)(4)時(shí),；時(shí),．(5)證(5),由可得6．范數(shù)：設(shè)實(shí)向量,稱實(shí)數(shù)為的范數(shù)．性質(zhì)：(1)時(shí),；時(shí),．(2)(3)(4)證(3)證(4)7．夾角：設(shè)實(shí)向量,,稱為與之間的夾角．正交：若,稱與正交,記作．(1),時(shí),；(2)或時(shí),有意義,而無意義．單位化：若,稱為與同方向的單位向量．§4.2向量組的線性相關(guān)性1．線性組合：對維向量及,若有數(shù)組使得,稱為的線性組合,或可由線性表示．例1,,,判斷可否由線性表示?解設(shè)，比較兩端的對應(yīng)分量可得,求得一組解為于是有,即可由線性表示．[注]取另一組解時(shí),有．2．線性相關(guān)：對維向量組,若有數(shù)組不全為0,使得稱向量組線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān)．線性無關(guān)：對維向量組,僅當(dāng)數(shù)組全為0時(shí),才有稱向量組線性無關(guān),否則稱為線性相關(guān)．[注]對于單個(gè)向量：若,則線性相關(guān)；若,則線性無關(guān)．例2判斷例1中向量組的線性相關(guān)性．解設(shè),比較兩端的對應(yīng)分量可得即．因?yàn)槲粗康膫€(gè)數(shù)是4,而,所以有非零解,由定義知線性相關(guān)．例3已知向量組線性無關(guān),證明向量組,,線性無關(guān)．證設(shè),則有因?yàn)榫€性無關(guān),所以,即系數(shù)行列式,該齊次方程組只有零解．故線性無關(guān)．例4判斷向量組,,…,的線性相關(guān)性．解設(shè),則有只有故線性無關(guān)．例5設(shè)兩兩正交且非零,證明該向量組線性無關(guān)．證設(shè),兩端與作內(nèi)積可得當(dāng)時(shí),,于是有只有上式對于都成立,故線性無關(guān)．3．判定定理定理1向量組線性相關(guān)其中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示．證必要性．已知線性相關(guān),則存在不全為零,使得不妨設(shè),則有．充分性．不妨設(shè),則有因?yàn)椴蝗珵榱?所以線性相關(guān)．定理2若向量組線性無關(guān),線性相關(guān),則可由線性表示,且表示式唯一．證因?yàn)榫€性相關(guān),所以存在數(shù)組不全為零,使得若,則有．矛盾!故,從而有．下面證明表示式唯一：若,則有因?yàn)榫€性無關(guān),所以即的表示式唯一．定理3線性相關(guān)線性相關(guān)．證因?yàn)榫€性相關(guān),所以存在數(shù)組不全為零,使得數(shù)組不全為零,故線性相關(guān)．推論1含零向量的向量組線性相關(guān)．推論2向量組線性無關(guān)任意的部分組線性無關(guān)．定理4設(shè)(1)線性相關(guān)；(2)線性無關(guān)．證設(shè)比較等式兩端向量的對應(yīng)分量可得即．由定理3.5可得：線性相關(guān)有非零解推論1在定理4中,當(dāng)時(shí),有(1)線性相關(guān)；(2)線性無關(guān)．推論2在定理4中,當(dāng)時(shí),有(1)線性相關(guān)中所有的階子式；(2)線性無關(guān)中至少有一個(gè)階子式．推論3在定理4中,當(dāng)時(shí),必有線性相關(guān)．因?yàn)?由定理4(1)即得．推論4向量組：向量組：若線性無關(guān),則線性無關(guān)．證線性無關(guān)是的子矩陣線性無關(guān)定理5劃分,則有(1)中某個(gè)中“所在的”個(gè)行向量線性無關(guān)；中“所在的”個(gè)列向量線性無關(guān)．(2)中所有中任意的個(gè)行向量線性相關(guān)；中任意的個(gè)列向量線性相關(guān)．證只證“行的情形”：(1)設(shè)位于的行,作矩陣,則有線性無關(guān)．(2)任取中個(gè)行,設(shè)為行,作矩陣,則有線性相關(guān)．[注]稱為的行向量組,為的列向量組．§4.3向量組的秩與最大無關(guān)組1．向量組的秩：設(shè)向量組為,若(1)在中有個(gè)向量線性無關(guān)；(2)在中有個(gè)向量線性相關(guān)（如果有個(gè)向量的話）．稱為向量組為的一個(gè)最大線性無關(guān)組,稱為向量組的秩,記作：秩．[注](1)向量組中的向量都是零向量時(shí),其秩為0．(2)秩時(shí),中任意個(gè)線性無關(guān)的向量都是的一個(gè)最大無關(guān)組．例如,,,,的秩為2．線性無關(guān)是一個(gè)最大無關(guān)組線性無關(guān)是一個(gè)最大無關(guān)組定理6設(shè),則(1)的行向量組（列向量組）的秩為；(2)中某個(gè)中所在的個(gè)行向量（列向量）是的行向量組（列向量組）的最大無關(guān)組．證只證“行的情形”：中某個(gè),而中所有定理5中所在的個(gè)行向量線性無關(guān)中任意的個(gè)行向量線性相關(guān)由定義：的行向量組的秩為,且中所在的個(gè)行向量是的向量組的最大無關(guān)組．例6向量組：,,,求的一個(gè)最大無關(guān)組．解構(gòu)造矩陣求得秩矩陣中位于1,2行1,2列的二階子式故是的一個(gè)最大無關(guān)組．[注]為行向量組時(shí),可以按行構(gòu)造矩陣．定理7(1)若,則“的列”線性相關(guān)（線性無關(guān)）“的列”線性相關(guān)（線性無關(guān)）；(2)若,則“的行”線性相關(guān)（線性無關(guān)）“的行”線性相關(guān)（線性無關(guān)）．證(1)劃分,由可得故方程組與方程組同解．于是有線性相關(guān)存在不全為0,使得存在不全為0,使得線性相關(guān)同理可證(2)．[注]通常習(xí)慣于用初等行變換將矩陣化為階梯形矩陣,當(dāng)階梯形矩陣的秩為時(shí),的非零行中第一個(gè)非零元素所在的個(gè)列向量是線性無關(guān)的．例如：求例6中向量組的一個(gè)最大無關(guān)組．構(gòu)造矩陣秩的1,2列線性無關(guān)的1,2列線性無關(guān)是的一個(gè)最大無關(guān)組例7向量組：,,,求向量組的一個(gè)最大無關(guān)組．解對矩陣進(jìn)行初等行變換可得(1)：的1,2,3,4列線性無關(guān)的1,2,3,4列線性無關(guān)故是的一個(gè)最大無關(guān)組；(2)：的1,2,3列線性無關(guān)的1,2,3列線性無關(guān)故是的一個(gè)最大無關(guān)組．[注]當(dāng)為行向量組時(shí),為列向量組．若矩陣的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組為,則是的一個(gè)最大無關(guān)組．課后作業(yè)：習(xí)題四7,8（理解、記憶定理1～7）2．等價(jià)向量組：設(shè)向量組,若可由線性表示,稱可由線性表示；若與可以互相線性表示,稱與等價(jià)．(1)自反性：與等價(jià)(2)對稱性：與等價(jià)與等價(jià)(3)傳遞性：與等價(jià),與等價(jià)與等價(jià)定理8向量組與它的最大無關(guān)組等價(jià)．證設(shè)向量組的秩為,的一個(gè)最大無關(guān)組為．(1)中的向量都是中的向量可由線性表示；(2)任意,當(dāng)時(shí),可由線性表示；當(dāng)時(shí),線性相關(guān),而線性無關(guān)由定理2知,可由線性表示．故可由線性表示．因此,與等價(jià)．推論向量組的任意兩個(gè)最大無關(guān)組等價(jià)．定理9向量組,向量組．若線性無關(guān),且可由線性表示,則．證不妨設(shè)與都是列向量,考慮向量組易見,秩秩．構(gòu)造矩陣因?yàn)榭捎删€性表示,所以于是可得秩．推論1若可由線性表示,則秩秩．證設(shè)秩,且的最大無關(guān)組為；秩,且的最大無關(guān)組為,則有可由線性表示可由線性表示可由線性表示（定理9）推論2設(shè)向量組與等價(jià),則秩秩．[注]由“秩秩”不能推出“與等價(jià)”！正確的結(jié)論是：與等價(jià)與等價(jià)例8設(shè),,則,．證設(shè),,,則即可由線性表示,故．根據(jù)上述結(jié)果可得§4.4向量空間1．向量空間：設(shè)是具有某些共同性質(zhì)的維向量的集合,若對任意的,有；（加法封閉）對任意的,,有．（數(shù)乘封閉）稱集合為向量空間．例如：是向量空間是向量空間不是向量空間,即數(shù)乘運(yùn)算不封閉．例9給定維向量組,驗(yàn)證是向量空間．稱之為由向量組生成的向量空間,記作或者證設(shè),則,,于是有由定義知,是向量空間．2．子空間：設(shè)和都是向量空間,且,稱為的子空間．例如：前面例子中的是的子空間．例9中的也是的子空間．3．向量空間的基與維數(shù)：設(shè)向量空間,若(1)中有個(gè)向量線性無關(guān)；(2)可由線性表示．稱為的一組基,稱為的維數(shù),記作或者．[注]零空間沒有基,規(guī)定．由條件(2)可得：中任意個(gè)向量線性相關(guān)．（自證）若,則中任意個(gè)線性無關(guān)的向量都可作為的基．例10設(shè)向量空間的基為,則．證4．向量在基下的坐標(biāo)：設(shè)向量空間的基為,對于,表示式唯一（定理2）,稱為在基下的坐標(biāo)（列向量）．[注]為維向量,在的基下的坐標(biāo)為維列向量．因?yàn)榫€性無關(guān)的“維向量組”最多含有個(gè)向量,所以由維向量構(gòu)成的向量空間的基中最多含有個(gè)向量,故．例11設(shè)向量空間的基為,,求在該基下的坐標(biāo)．解設(shè),比較等式兩端的對應(yīng)分量可得：,[注]是4維向量,在的基下的坐標(biāo)為3維列向量．5．正交基：設(shè)向量空間的基為,若,稱為的正交基；若還有,稱為的標(biāo)準(zhǔn)正交基．例如：的標(biāo)準(zhǔn)正交基為．特點(diǎn)：向量空間的正交基為,對于,有：當(dāng)為標(biāo)準(zhǔn)正交基時(shí),有：6．Schmidt正交化過程：設(shè)向量空間的基為,令,,（否則線性相關(guān)）,（否則線性相關(guān)）………………,（否則線性相關(guān)）結(jié)論：兩兩正交且非零線性無關(guān)是的正交基令,則是的標(biāo)準(zhǔn)正交基例12已知向量空間的基為,,求的一組正交基．解故的一組正交基為．7．基變換與坐標(biāo)變換設(shè)向量空間的基①；基②．基變換：可由唯一的線性表示,所以有矩陣乘法形式：稱上式為由基①改變?yōu)榛诘幕儞Q公式．稱為由基①改變?yōu)榛诘倪^渡矩陣．定理10向量空間中由基①改變?yōu)榛诘倪^渡矩陣是可逆矩陣．證若,則齊次方程組有非零解,由此可得即線性相關(guān),矛盾！故是可逆矩陣．[注]由基②改變?yōu)榛俚幕儞Q公式為由基②改變?yōu)榛俚倪^渡矩陣為．坐標(biāo)變換：,有因?yàn)樵诨傧碌淖鴺?biāo)唯一,所以或者稱上式為坐標(biāo)變換公式．例12已知的兩個(gè)基為①②(1)求由基①改變?yōu)榛诘倪^渡矩陣；(2)求在基①下的坐標(biāo)．解采用中介法求過渡矩陣：簡單基為,,,簡單基基①：簡單基基②：基①基②：,,

§4.5線性方程組解的結(jié)構(gòu),,齊次方程組非齊次方程組()結(jié)論：(1),與同解．(2)有非零解．(3)有解．(4)設(shè),則時(shí),有唯一解；時(shí),有無窮多解．1．的解空間解集合故構(gòu)成向量空間,稱為的解空間．2．的基礎(chǔ)解系不妨設(shè)的一般解為()依次令可求得,,…,因?yàn)?1)線性無關(guān)(2),所以是解空間的一個(gè)基,稱為的基礎(chǔ)解系．例15設(shè),求的一個(gè)基礎(chǔ)解系．解,同解方程組為依次取,可求得基礎(chǔ)解系,2．解的結(jié)構(gòu)(1),(2),是的解設(shè)的一個(gè)基礎(chǔ)解系為的特解為,一般解為,則有()例16設(shè),,求的通解．解同解方程組為基礎(chǔ)解系：,；特解：通解：()例17設(shè),的3個(gè)解滿足,,求的通解．解的基礎(chǔ)解系中含有個(gè)解向量因?yàn)樗允堑幕A(chǔ)解系又是的特解故的通解為．例18設(shè),是的解,證明：是的基礎(chǔ)解系線性無關(guān)．證必要性．設(shè)數(shù)組使得左乘,利用可得因?yàn)?所以由此可得因?yàn)槭堑幕A(chǔ)解系,所以線性無關(guān),從而有故線性無關(guān)．充分性．是的解向量設(shè)數(shù)組使得則因?yàn)榫€性無關(guān),所以只有,故向量組線性無關(guān)．因此是的基礎(chǔ)解系．第五章矩陣的相似變換§5.1矩陣的特征值與特征向量定義：對于階方陣,若有數(shù)和向量滿足,稱為的特征值,稱為的屬于特征值的特征向量．特征方程：或者有非零解特征矩陣：或者特征多項(xiàng)式：例1求的特征值與特征向量．解求的特征向量：,求的特征向量：,,（不同時(shí)為0）例2求的特征值與特征向量．解求的特征向量：,求的特征向量：,[注]在例1中,對應(yīng)2重特征值有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量；在例2中,對應(yīng)2重特征值只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量．一般結(jié)論：對應(yīng)重特征值的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)．定理1設(shè)的特征值,,則(1)；(2)．證由特征值的定義可得其中都是次數(shù)不超過的多項(xiàng)式．由題設(shè),又有比較多項(xiàng)式同次冪的系數(shù)可得推論0是的特征值．一元多項(xiàng)式：矩陣多項(xiàng)式：定理2設(shè),則(1)；(2)．證(1)因?yàn)椋ǎ┧?2)[注]一般結(jié)論：若的全體特征值為,則的全體特征值為．例3設(shè)的特征值為,求．解設(shè),則的特征值為故定理3設(shè)的互異特征值為,對應(yīng)的特征向量依次為,則向量組線性無關(guān)．證采用數(shù)學(xué)歸納法．時(shí),線性無關(guān)．設(shè)時(shí),線性無關(guān),下面證明線性無關(guān)．設(shè)數(shù)組使得左乘,利用可得：因?yàn)榫€性無關(guān)（歸納法假設(shè)）,所以代入可得．故線性無關(guān)．根據(jù)歸納法原理,對于任意正整數(shù),結(jié)論成立．定理4設(shè)的互異特征值為,重?cái)?shù)依次為,對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為,則向量組線性無關(guān)．（自證）§5.2相似對角化1．相似矩陣：對于階方陣和,若有可逆矩陣使得,稱相似于,記作．(1)：(2)：(3)性質(zhì)1．性質(zhì)2可逆,可逆,且．性質(zhì)3（為正整數(shù)）．性質(zhì)4為多項(xiàng)式,．性質(zhì)5與的特征值相同證由可得2．相似對角化：若方陣能夠與一個(gè)對角矩陣相似,稱可對角化．定理5階方陣可對角化有個(gè)線性無關(guān)的特征向量．證必要性．設(shè)可逆矩陣使得即．劃分,則有因?yàn)闉榭赡婢仃?所以它的列向量組線性無關(guān)．上式表明：是的個(gè)線性無關(guān)的特征向量．充分性．設(shè)線性無關(guān),且滿足,則為可逆矩陣,且有即．[注]的主對角元素為的特征值．推論1有個(gè)互異特征值可對角化．推論2設(shè)的全體互異特征值為,重?cái)?shù)依次為,則可對角化的充要條件是,對應(yīng)于每個(gè)特征值,有個(gè)線性無關(guān)的特征向量．例4判斷下列矩陣可否對角化：(1),(2),(3)解(1)有3個(gè)互異特征值可對角化對應(yīng)于的特征向量依次為,,構(gòu)造矩陣,則有．(2)例1求得有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量可對角化對應(yīng)于的特征向量依次為,,構(gòu)造矩陣,則有．(3),例2求得,對應(yīng)于2重特征值,只有1個(gè)線性無關(guān)的特征向量不可對角化．

例5設(shè),求．解例4求得,,使得：故（）§5.3實(shí)對稱矩陣的相似矩陣目的：對于實(shí)對稱矩陣,求正交矩陣,使得．此時(shí),稱正交相似于對角矩陣．1．實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)定理6．證設(shè),,則有故即．[注]的解向量可取為實(shí)向量．約定：實(shí)對稱矩陣的特征向量為實(shí)向量．定理7,特征值,特征向量依次為,則．證,故．例6設(shè)實(shí)對稱矩陣的特征值,屬于的特征向量依次為,,求．解設(shè),由,可得該齊次方程組的一個(gè)非零解為．令,則有[注]2．正交矩陣：實(shí)矩陣滿足時(shí),稱為正交矩陣．(1)是正交矩陣．(2)是正交矩陣．(3)是正交矩陣,即的列向量組是兩兩正交的單位向量．(4)是正交矩陣,即的行向量組是兩兩正交的單位向量．定理8存在正交矩陣,使得．（閱讀83-85頁）推論設(shè),若是的重特征值,則對應(yīng)于特征值一定有個(gè)線性無關(guān)的特征向量．（對比定理4）例7對下列矩陣,求正交矩陣,使得：(1),(2),(3)．解(1)對應(yīng)于特征值的特征向量依次為,,（定理7保證它們兩兩正交）構(gòu)造正交矩陣和對角矩陣：,則有．(2),屬于的特征向量為．求屬于的兩個(gè)特征向量（湊正交）：,,（定理7保證它們兩兩正交）構(gòu)造正交矩陣和對角矩陣：,則有．(3)求屬于的3個(gè)特征向量（湊正交）：,,（它們兩兩正交）屬于的特征向量為構(gòu)造正交矩陣和對角矩陣：,則有．

3．典型題例8已知可對角化,是的2重特征值,求可逆矩陣,使得．解可對角化對應(yīng)有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量設(shè),則有此時(shí),求得,,令,則有．例9已知相似于,求和．解故．例10設(shè)的一個(gè)特征向量為,求的全體特征值與特征向量．解：,,對應(yīng)只有1個(gè)線性無關(guān)的特征向量全體特征向量為第六章二次型變量的二次齊次多項(xiàng)式稱為元二次型,簡稱為二次型．：稱為實(shí)二次型（本章只討論實(shí)二次型）：稱為復(fù)二次型§6.1二次型的矩陣表示1．矩陣表示：令,則有其中,(1)與是一一對應(yīng)關(guān)系,且．(2)稱為的矩陣,稱為對應(yīng)的二次型．(3)稱的秩為的秩,即．2．標(biāo)準(zhǔn)形：找可逆線性變換,即使得將二次型的標(biāo)準(zhǔn)形寫為矩陣形式,矩陣描述：對實(shí)對稱矩陣,找可逆矩陣,使得．3．合同矩陣：對于,若有可逆矩陣使得,稱合同于．(1)合同于：(2)合同于合同于：(3)合同于,合同于合同于定理3合同于．證故．§6.2化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形1．正交變換法設(shè)實(shí)對稱,特征值為,則存在正交矩陣,使得作正交變換,可得例1用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形．解的矩陣的特征多項(xiàng)式的兩個(gè)正交的特征向量,的特征向量正交矩陣正交變換：標(biāo)準(zhǔn)形例2用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形．解的矩陣的特征多項(xiàng)式求正交矩陣和對角矩陣,使得：,正交變換：標(biāo)準(zhǔn)形例3,秩．(1)求；(2)用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形；(3)表示那類二次曲面？解(1)的矩陣（顯見）(2)的特征向量依次為,,（兩兩正交）正交矩陣正交變換：標(biāo)準(zhǔn)形(3)：表