分塊矩陣在矩陣證明題中的應(yīng)用

分塊矩陣在矩陣證明題中的應(yīng)用

在高等代，矩陣分布模式是矩陣檢驗(yàn)的良好方法。本文結(jié)合矩陣的初等變換、矩陣秩的有關(guān)性質(zhì),對(duì)相關(guān)矩陣進(jìn)行分塊或構(gòu)造相關(guān)的分塊矩陣,討論分塊矩陣在證明題型中的應(yīng)用。先以常用的2×2的分塊矩陣為例,給出幾個(gè)與分塊矩陣相關(guān)的定義與性質(zhì)。定義1:對(duì)m+n階單位矩陣作2×2分塊,即,然后對(duì)其作相應(yīng)的初等變換所得到的矩陣稱為分塊初等矩陣。其中P、Q分別是m階和n階可逆方陣。注:在使用分塊初等矩陣乘法時(shí),要注意所作分塊必須使得分塊乘法的運(yùn)算能進(jìn)行。由定義1,給出分塊初等矩陣的性質(zhì)。性質(zhì)1:對(duì)分塊矩陣進(jìn)行一次行(列)初等變換,相當(dāng)于左(右)乘一個(gè)相應(yīng)的分塊初等矩陣。性質(zhì)2:分塊初等矩陣是可逆矩陣,分塊初等變換不改變矩陣的秩。性質(zhì)3:對(duì)一個(gè)分塊矩陣左(右)乘一個(gè)分塊初等矩陣,不改變?cè)謮K矩陣的秩。1塊矩陣應(yīng)用于驗(yàn)證過(guò)程中的排序矩陣證明方法:利用分塊初等矩陣的性質(zhì)和秩的性質(zhì)。秩的2個(gè)性質(zhì):1.1在文本平等證書中應(yīng)用證明證明構(gòu)造,對(duì)其進(jìn)行如下初等變換:注:本例中,若AB=0,則r(A)+r(B)≤n。1.2等式證明中的等式例例22A設(shè)為n階方陣,證明:2矩陣中的分塊矩陣的應(yīng)用證明方法:利用矩陣秩的化簡(jiǎn)結(jié)論。3矩陣分解中的塊矩陣的應(yīng)用證明方法:利用矩陣秩的化簡(jiǎn)結(jié)論。例例44證明:任一方陣A都可寫為A=BC,其B2=B,C可逆。4矩陣中的分塊矩陣應(yīng)用證明方法:利用分塊矩陣的初等變換及行列式的運(yùn)算。5在先單元的二元結(jié)構(gòu)下的認(rèn)知分塊證明方法:利用分塊矩陣的初等變換及分塊矩陣求逆的方法及結(jié)論。在高等代數(shù)中,利用分塊的方法證明矩陣問(wèn)題的題目還有很多,這里只是列舉了其中的一些加以討論。并且,有的例題也有其他的證明方法,這里不再一一給出。另外,分塊的方法與齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)相結(jié)合(一般是系數(shù)矩陣的列分塊),也可以解決一些問(wèn)題。例如,“若AB=0,則r(A)+r(B)≤n”,就可以用齊次方程組解的結(jié)構(gòu)來(lái)證明?？傊?由以上例子可以看出,矩陣分塊在矩陣證明題中是一種較簡(jiǎn)捷、有效的方法。由定義1可得,分塊初等矩陣具有以下形式:1)分塊初等對(duì)換陣:;2)分塊初等倍乘陣:;3)分塊初等倍加陣:。證明證明構(gòu)造,對(duì)其進(jìn)行如下初等變換:結(jié)論:設(shè)A是一個(gè)矩陣,,則r(A)=r存在m階可逆矩陣P和n階可m×n逆矩陣Q,使。特別:若A列滿秩時(shí),;若A行滿秩時(shí),。證明:存在。證明(B為列滿秩)∴?可逆陣Pm和可逆陣Qn,使證明證明設(shè),則存在n階可逆矩陣P,Q,使。例5(滿秩分解)例5(滿秩分解)證明:對(duì)任意m×n階矩陣A,設(shè)。注:此題也可轉(zhuǎn)化為證明秩的問(wèn)題。結(jié)論:若n階方陣,其中,M是可逆陣的充要條件是n×2n階矩陣,經(jīng)