2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽暨2023年福建省“德旺杯”高中數(shù)學(xué)競賽試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽暨2023年福建省“德旺杯”高中數(shù)學(xué)競賽試卷一、填空題（本大題共10小題，共80.0分）1.已知z1，z2是互為共軛的復(fù)數(shù)，若|z1?z2|2.盒子中有大小、形狀完全相同的3個(gè)紅球和3個(gè)白球.現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出幾點(diǎn)就從盒子中取出幾個(gè)球.則取出的球中紅球個(gè)數(shù)大于白球個(gè)數(shù)的概率為

．3.在菱形ABCD中，∠DAB=60°，將△ABD沿BD折起得到△4.在銳角△ABC中，∠CAB=60°，BC=2，D為5.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)橄?，且f(x+2)?2為奇函數(shù)，f(6.若正整數(shù)x，y，z滿足x+2xy+37.已知雙曲線C:x2a2?點(diǎn)A，B在右支上.設(shè)D為A關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，且DF⊥A則λ=

．8.若正實(shí)數(shù)a1，a2，a3，a4滿足a1≥a2a的最大值為

．9.列{8an}的前n項(xiàng)和，則[T2023]=

.10.設(shè)整數(shù)n≥4，A={a1,a2,?,an二、解答題（本大題共5小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）11.(本小題14.0分)若不等式1對所有正實(shí)數(shù)a，b都成立，求λ的最大值．12.(本小題14.0分)已知B1，B2分別為橢圓C:點(diǎn)A(0,?22)的直線l交橢圓C于P(1)若tan∠B13.(本小題14.0分)設(shè)△ABC的外接圓為圓O，P是△AB與圓O交于點(diǎn)D;連接BP并延長，與圓O交于點(diǎn)E;圓O交于點(diǎn)F.設(shè)A關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為A1，B為B1.求證：△PA14.(本小題14.0分)已知函數(shù)f(x(1)討論f(x(2)若存在t>0，當(dāng)符合條件的m的最小值．15.(本小題14.0分)設(shè)有序數(shù)組A=(a(1)a1，a2，?，a10是1，2(2)a1<a2，(3)a2>a(4)不存在1≤求這樣的有序數(shù)組A的個(gè)數(shù)．

答案和解析1.【答案】4

【解析】解：設(shè)z1=x由|z1?由z1(x+y將y=±2因此|z2.【答案】1960【解析】解：記從盒子中取出i個(gè)球，取出的球中紅球個(gè)數(shù)大于白球個(gè)數(shù)的概率為P1則P1=C31P4=C33所以取出的球中紅球個(gè)數(shù)大于白球個(gè)數(shù)的概率為163.【答案】18【解析】解：如圖，設(shè)E為AC，BD的交點(diǎn)，則E為由條件知△A1B所以A1E⊥BD，CE⊥A1取DC中點(diǎn)O，A1C中點(diǎn)F，連接OE，OF，則O|m直線DA1不妨設(shè)AB=4EF所以cos∠所以異面直線DA1與BC4.【答案】(2【解析】解：由CDC因此AD=λ(A又D為△ABC外角平分線上一點(diǎn)，所以D如圖，作DE⊥AB于E，DF⊥B則AE=AG，因此2A設(shè)∠ABC=α，則∠在△ABCA所以2AE=設(shè)AD′=AC由于AD，AD′因?yàn)?0°<α<905.【答案】4046

【解析】解：由f(x+因此f(2?x)+f由f(2x+1f(1?x)由上可得f(所以f(x)因此f(4k+1f(f(注：函數(shù)f(6.【答案】10或16

【解析】解：由題設(shè)可知x+因?yàn)?+所以x=11(1)當(dāng)1+因?yàn)?+所以y=12+3z=114解得y=3z(2)當(dāng)1+因?yàn)?+所以y=12解得y=2z所以x+y+7.【答案】12【解析】由離心率e=173，設(shè)a設(shè)F1為雙曲線C的左焦點(diǎn)，|FAF1由對稱性知四邊形AF所以|F1A程得r=又由AB過焦點(diǎn)F可知1于是1|FA|+8.【答案】1256【解析】解：由均值定理知a==≤=因?yàn)閍1同理a2a3?a所以(另由條件知a1a2?a22所以(所以a1易知，當(dāng)a1所以a1a29.【答案】14

【解析】解：由an+2即an由a2?a所以an+1所以n≥a=2又n=1時(shí)，所以對一切正整數(shù)n均有an所以T5因?yàn)閚≥5時(shí)，an所以n≥5時(shí)，由此可得1a6<12×1因此n≥T==14又an>0，所以T所以[T10.【答案】4

【解析】解：對于任意三個(gè)兩兩不同的奇數(shù)(偶數(shù))，最大的減去最小的一定是不小于4的偶數(shù)，為合數(shù)，所以集合A中奇數(shù)至多兩個(gè)，偶數(shù)也至多兩個(gè)，故n=因?yàn)?023∈A，所以A={2021,2023(1)當(dāng)因?yàn)?k?2019，2k?數(shù)，因此|(2k+2)?若|2k?2019|=3時(shí)滿足題設(shè)條件的A=若|2k?2021|=3，則2設(shè)條件．若|2k?2023|=3時(shí)滿足題設(shè)條件的A=(2)當(dāng)因?yàn)?k?2021，2k?數(shù)，因此|(2k+2)?若|2k?2021|=3時(shí)滿足題設(shè)條件的A=若|2k?2023|=3，則2設(shè)條件．若|2k?2025|=3時(shí)滿足題設(shè)條件的A=綜上所述，滿足題設(shè)條件的集合A共有4個(gè)．11.【答案】解：依題意當(dāng)a=b時(shí)，下面證明當(dāng)λ=28643時(shí)，不等式1成立．因?yàn)閷τ谌我庹龑?shí)數(shù)x，y，有1x+所以對于任意正實(shí)數(shù)x，y，有1x+1所以對所有正數(shù)a，b，有≥所以當(dāng)λ=28643時(shí)，不等式1所以λ的最大值為2

【解析】略12.【答案】解：(1)B易知直線l斜率存在，設(shè)l方程為y=由y=kx由△=(8設(shè)P(x1則x1+x由點(diǎn)P(x1,y1)，Qtan同理，tan由tan∠B1PB2=由x2=2x1，x1+并整理得，32k2=因此直線l方程為y=3(2)直線B1P方程為y=兩直線方程聯(lián)立，得y+因?yàn)?=(所以y+2y因此yR=?2，即點(diǎn)設(shè)R(t又B1B2

【解析】略13.【答案】證明：因?yàn)樵凇鱌AE與△∠A所以△PAE∽△由對稱性知，AE=A1E又∠=∠所以△PA1E于是PA1P所以∠A故△PA1又∠EPD所以△PED所以△PAB

【解析】略14.【答案】解：(1f?①若m<0，則當(dāng)?π<所以f′(x)在區(qū)間又f′(?π)所以存在x1∈(?π,?f′(x)<于是f(x)在區(qū)間(?π又f(?π)=因此f(x)在區(qū)間(?π?②若m=0，則f(x)=cosx?③若0<m≤1，則當(dāng)所以f′(x)≥又f(?π因此f(x)在區(qū)間(?π綜上，m≤1時(shí)，f(x)(2)設(shè)g(x)g(x)>0m<0時(shí)，由(1)設(shè)x1則由(1)可知，x∈(x1,?π2)時(shí)，f(x)內(nèi)遞增．?①若m由g′(x存在t0∈(x1,?于是g(x)在(t0可見m<?②若m由g′(xx∈(x于是g(x)在(x1可見取t=?π2?x1因此m=綜上，符合條件的m的最小值為?1

【解析】略15.【答案】解：首先考慮如下問題：對于圓周上給定的10個(gè)點(diǎn)，用5條互不相交的線段將這10個(gè)點(diǎn)配成5對，不同的配對方法有多少種(下稱配對數(shù))設(shè)圓周上有2n個(gè)點(diǎn)，用n條互不相交的線段將這2n個(gè)點(diǎn)配成n對的配對數(shù)為f1當(dāng)n≥2時(shí)，設(shè)A，B是這2n個(gè)點(diǎn)中的兩個(gè)點(diǎn)，且的兩側(cè)都有偶數(shù)個(gè)點(diǎn)，設(shè)兩側(cè)的點(diǎn)數(shù)分別為2k和2(n當(dāng)k=0時(shí)，符合條件的配對數(shù)有fn?1種;當(dāng)k=1有fkfn?1?k種于是有fn所以f1=1，ff4f5因此圓周上給定10個(gè)點(diǎn)，用5條互不相交的線段將這10個(gè)點(diǎn)配成5對的配對數(shù)是42．下面建立符合條件的數(shù)組(a1,設(shè)A1，A2，?，A10為圓周上逆時(shí)針排列的10個(gè)點(diǎn)，并分別標(biāo)注數(shù)字1，2，?若數(shù)組(a1,a2,4，5)事實(shí)上，如果有兩條線段相交，設(shè)其端點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)字為a21?1、a2t與a則數(shù)字a2t?1、a2a2i若i<j，則2i成立，與?①若i>j，則2不成立，與?①可見按照上述方式所連的5條線段兩兩不相交．另一方面，對于任何一種將圓周上10個(gè)點(diǎn)連成互不相交的5條線段的方法，必存在i，使得Ai與Ai+1是這5條線段中某一線段的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)k是這樣的a2=k成的線段(除最后一條線段外，其余線段的端點(diǎn)與A1不重合)較小數(shù)作為a3，較大數(shù)作為a(a1,a圖3形成的數(shù)組為(a下面說明依據(jù)上述方式形成的數(shù)組(a顯然上述數(shù)組符合條件(1)，事實(shí)上，按上述方式，以A1為基準(zhǔn)，依逆時(shí)針方向看，在弧A221大的點(diǎn).由(*)知，對任意正整數(shù)i，a21?1、a2