七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題09 有理數(shù)相關(guān)計(jì)算專題訓(xùn)練（解析版）

/專題09有理數(shù)相關(guān)計(jì)算專題訓(xùn)練一．加法運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)睛】易錯(cuò)技巧點(diǎn)撥：①有理數(shù)的加法計(jì)算步驟：“一判”：判斷兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)（即確定用哪一條法則和確定和的符號(hào)）“二求”：求各加數(shù)的絕對(duì)值“三加減”：同號(hào)絕對(duì)值相加，異號(hào)絕對(duì)值相減②簡(jiǎn)便運(yùn)算的幾種常見(jiàn)情形：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)可以先相加幾個(gè)數(shù)相加得整數(shù)時(shí)，可以先相加同分母的分?jǐn)?shù)可以先相加正負(fù)符號(hào)相同的數(shù)可以先相加題目中既有分?jǐn)?shù)又有小數(shù)時(shí)，可以先把小數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)一，再觀察是否可用簡(jiǎn)便方法計(jì)算【典例精析】例1．（2021?云南）某地區(qū)2021年元旦的最高氣溫為9℃，最低氣溫為﹣2℃，那么該地區(qū)這天的最低氣溫比最高氣溫低（）A．7℃ B．﹣7℃ C．11℃ D．﹣11℃【分析】根據(jù)題意，列出減法算式計(jì)算即可．【解答】解：9﹣（﹣2）＝9+2＝11（℃），故選：C．例2．（2021秋?宜秀區(qū)校級(jí)月考）已知|x|＝5，|y|＝2，則x+y的值（）A．±3 B．±7 C．3或7 D．±3或±7【分析】絕對(duì)值的逆向運(yùn)算，先求出x，y的值，再代入求解．【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝2，∴x＝±5，y＝±2，∴x+y＝±3或±7．故選：D．例3．（2021秋?東平縣期中）下面說(shuō)法中正確的有（）（1）一個(gè)數(shù)與它的絕對(duì)值的和一定不是負(fù)數(shù)．（2）一個(gè)數(shù)減去它的相反數(shù)，它們的差是原數(shù)的2倍．（3）零減去一個(gè)數(shù)一定是負(fù)數(shù)．（4）正數(shù)減負(fù)數(shù)一定是負(fù)數(shù)．（5）數(shù)軸上原點(diǎn)兩側(cè)的數(shù)互為相反數(shù)．A．.2個(gè) B．.3個(gè) C．4個(gè) D．.5個(gè)【分析】利用有理數(shù)的加法及減法法則及數(shù)軸的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：（1）一個(gè)數(shù)與它的絕對(duì)值的和一定不是負(fù)數(shù)．正確，（2）一個(gè)數(shù)減去它的相反數(shù)，它們的差是原數(shù)的2倍，正確，（3）零減去一個(gè)數(shù)不一定是負(fù)數(shù)，如0﹣（﹣3）＝3，故不正確，（4）正數(shù)減負(fù)數(shù)一定是正數(shù)．如3﹣（﹣4）＝7，故不正確，（5）數(shù)軸上原點(diǎn)兩側(cè)的數(shù)不一定互為相反數(shù)，如5和﹣4，不是互為相反數(shù)．不正確．故選：A．例4.計(jì)算：（1）（﹣11）+8+（﹣14）．（2）（﹣3）+12+（﹣17）+（+8）．【分析】（1）先計(jì)算負(fù)數(shù)的和，再求解比較簡(jiǎn)便．（2）先根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行分組，再進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：（1）原式＝（﹣11）+（﹣14）+8＝（﹣25）+8＝﹣17．（2）（﹣3）+12+（﹣17）+（+8）＝[（﹣3）+（﹣17）]+（12+8）＝（﹣20）+20＝0．例5．（2021秋?海州區(qū)校級(jí)期中）閱讀材料：我們知道：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點(diǎn)與表示有理數(shù)3的點(diǎn)之間的距離；同理|x﹣4|也可理解為x與4兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：（1）若|x﹣2|＝5，則x的值是．（2）同理|x﹣5|+|x+3|＝8表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到5和﹣3所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)距離之和為8，則所有符合條件的整數(shù)x的和為．【分析】（1）由算式的幾何意義可得，x是數(shù)軸上到表示2的點(diǎn)為5的點(diǎn)表示的數(shù)，即可求得符合題意的兩個(gè)x的值；（2）由算式的幾何意義可得，符合條件的整數(shù)x，就是數(shù)軸上以表示5和﹣3的點(diǎn)為端點(diǎn)的線段上的所有整數(shù)，然后計(jì)算求和即可．【解答】解：（1）∵|x﹣2|＝5，∴x﹣2＝﹣5或x﹣2＝5，解得x＝﹣3，x＝7，故答案為：﹣3或7；（2）由題意得，符合條件的整數(shù)x，就是數(shù)軸上以表示5和﹣3的點(diǎn)為端點(diǎn)的線段上的所有整數(shù)，即x的值為﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5，∴﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝9，故答案為：9．【練習(xí)】1．約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)．例如，在圖1中，即4+3＝7．則在圖2中，當(dāng)y＝﹣2時(shí)，n的值為．【分析】根據(jù)圖形，可以用含x的式子表示出m、n；再用x的代數(shù)式表示出y，從而可以求得x的值，進(jìn)而得到n的值．【解答】解：由圖可得，m＝x+2x＝3x，n＝2x+3∴y＝m+n＝（x+2x）+（2x+3）＝3x+2x+3＝5x+3，∵y＝﹣2，∴5x+3＝﹣2，解得，x＝﹣1，∴n＝2x+3＝2×（﹣1）+3＝﹣2+3＝1，故答案為：1．2．計(jì)算3+（﹣2）+5+（﹣8）時(shí)，運(yùn)算律用得最為恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ〢．[3+（﹣2）]+[5+（﹣8）] B．（3+5）+[﹣2+（﹣8）] C．[3+（﹣8）]+（﹣2+5） D．（﹣2+5）+[3+（﹣8）]【分析】先算同分母分?jǐn)?shù)，再算加法即可求解．【解答】解：計(jì)算3+（﹣2）+5+（﹣8）時(shí)，運(yùn)算律用得最為恰當(dāng)?shù)氖牵?+5）+[﹣2+（﹣8）]．故選：B．3．方格中，除9和7外其余字母各表示一個(gè)數(shù)，已知方格中任何三個(gè)連續(xù)方格中的數(shù)之和為19，求A+H+M+O的值．【分析】由于任何相鄰三個(gè)數(shù)字的和都是19，可由O+X+7＝19倒推，即可求解．【解答】解：由題意可得：因?yàn)镺+X+7＝19且M+O+X＝19，所以M＝7；因?yàn)锳+9+H＝19且9+H+M＝19，所以A＝7；因?yàn)镠+M+O＝19．所以求A+H+M+O的值為19+7＝26．故答案為26．4．閱讀下列計(jì)算過(guò)程，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后利用規(guī)律計(jì)算：，；…（1）猜想：1+2+3+4+…+n＝；（2）利用上述規(guī)律計(jì)算：1+2+3+4+…+100；（3）計(jì)算：．【分析】（1）根據(jù)表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)：第n個(gè)式子的和是n（n+1）；（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算即可；（3）結(jié)合上述規(guī)律，只需變形為＝（1+2+…+49）即可計(jì)算．【解答】解：（1）1+2+3+4+…+n＝n（n+1）；（2）1+2+3+4+…+100＝×100×（100+1）＝5050；（3）＝（1+2+…+49）＝××49×（49+1）＝612.5．故答案為：n（n+1）．二.減法運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)睛】有理數(shù)減法的計(jì)算步驟：①將減號(hào)變成加號(hào)，把減數(shù)變成它的相反數(shù)②按照加法運(yùn)算的步驟去做。易錯(cuò)技巧點(diǎn)撥：①減法法則不能與加法法則中的異號(hào)兩數(shù)相加相混淆②減法沒(méi)有交換律③有理數(shù)大小的比較方法——作差法（或叫差量法）要比較兩個(gè)有理數(shù)a與b的大小，可先求a與b的差a-b，然后進(jìn)行判斷?！镜淅觥坷?．（2021秋?鄧州市期中）把（﹣3）﹣（﹣7）+4﹣（+5）寫成省略加號(hào)的和的形式是（）A．﹣3﹣7+4﹣5 B．﹣3+7+4﹣5 C．3+7﹣4+5 D．﹣3﹣7﹣4﹣5【分析】利用減法法則把減法化為加法寫成省略加號(hào)的和的形式．【解答】解：（﹣3）﹣（﹣7）+4﹣（+5）＝﹣3+7+4﹣5，故選：B．例2．（2021秋?溫州期中）某地一天的最高氣溫是5℃，最低氣溫是﹣4℃，則該地區(qū)這天的溫差是℃．【分析】根據(jù)溫差＝最高溫度﹣?zhàn)畹蜏囟?，用有理?shù)的減法法則計(jì)算即可．【解答】解：5﹣（﹣4）＝5+4＝9（℃），故答案為：9．例3．（2021秋?樂(lè)平市期中）某病人每天下午需要測(cè)量血壓，該病人上周日收縮壓為120單位，下表是該病人這周每天與前一天相比較收縮壓的變化情況，則本周星期五的收縮壓是．星期一二三四五增減+20﹣30﹣25+15+30【分析】理解上升記作“+”，下降記作“﹣”，根據(jù)題意列式計(jì)算即可．【解答】解：120+20﹣30﹣25+15+30＝130（單位），故本周星期五的收縮壓是130（單位），故答案為：130單位．例4．（2021秋?東興區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：||+||+||+…+||＝．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)先化簡(jiǎn)，再相加減可求解．【解答】解：原式＝+++…+＝＝．故答案為：．例5．為了增強(qiáng)同學(xué)們?cè)谧闱虮荣愔锌焖俎D(zhuǎn)身的能力，張老師設(shè)計(jì)了折返跑訓(xùn)練．張老師在東西方向的足球場(chǎng)上畫了一條直線，并插上不同的折返旗幟，如果約定向西為正，向東為負(fù)，練習(xí)一組折返跑的移動(dòng)記錄如下（單位：米）：+40，﹣30，+50，﹣25，+25，﹣30，+15．（1）學(xué)生最后到達(dá)的地方在出發(fā)點(diǎn)的哪個(gè)方向？距出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)？（2）學(xué)生在一組練習(xí)過(guò)程中，跑了多少米？（3）學(xué)生訓(xùn)練過(guò)程中，最遠(yuǎn)處離出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)？【分析】（1）根據(jù)加法法則，將正數(shù)與正數(shù)相加，負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)相加，進(jìn)而得出計(jì)算得結(jié)果；（2）利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及有理數(shù)加法法則求出即可；（3）求出每一段到出發(fā)點(diǎn)的距離，即可判斷出結(jié)果．【解答】解：（1）（+40）+（﹣30）+（+50）+（﹣25）+（+25）+（﹣30）+（+15）＝45（米）；答：學(xué)生最后到達(dá)的地方在出發(fā)點(diǎn)的正西方向，距出發(fā)點(diǎn)45m；（2）∵|+40|+|﹣30|+|+50|+|﹣25|+|+25|+|﹣30|+|+15|＝215（米），答：學(xué)生在一組練習(xí)過(guò)程中，跑了215米；（3）第一段，40m，第二段，40﹣30＝10m，第三段，10+50＝60m，第四段，60﹣25＝35m，第五段，35+25＝60m，第六段，60﹣30＝30m，第七段，30+15＝45m，∴最遠(yuǎn)處離出發(fā)點(diǎn)60m．【練習(xí)】1．對(duì)于有理數(shù)a，b，c，d，給出如下定義：如果|a﹣c|+|b﹣c|＝d．那么稱a和b關(guān)于c的相對(duì)距離為d，如果m和3關(guān)于1的相對(duì)距離為5，那么m的值為．【分析】根據(jù)新定義可列等式，結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算可求解m值．【解答】解：由題意得|m﹣1|+|3﹣1|＝5，即|m﹣1|＝3，∴m﹣1＝3或m﹣1＝﹣3，解得m＝4或﹣2，故答案為4或﹣2．2．＝．【分析】按運(yùn)算順序，把前兩項(xiàng)相加，再將所得結(jié)果與第三項(xiàng)相加，再按從左到右依次相加即可．【解答】解：原式＝﹣3++3+﹣5++5+﹣7++7+﹣9++9+＝2﹣++++++++＝2﹣＝2﹣＝．3．若M＝101×2020×2029，N＝2028×2021×101，則M﹣N＝．【分析】根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：M﹣N＝101×2020×2029﹣2028×2021×101＝101×（2020×2029﹣2028×2021）＝101×[2020（2028+1）﹣2028×2021]＝101×（2020×2028+2020﹣2028×2021）＝101×[2028（2020﹣2021）+2020]＝101×（﹣2028+2020）＝101×（﹣8）＝﹣808．故答案為：﹣808．4．（1）用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空：①|(zhì)﹣5|+|4||﹣5+4|；②|﹣6|+|3||﹣6+3|；③|﹣3|+|﹣4||﹣3﹣4|；④|0|+|﹣9||0﹣9|；（2）歸納：|a|+|b||a+b|；（3）根據(jù)上題（2）得出的結(jié)論，若|m|+|n|＝7，|m+n|＝1，求m的值．【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的定義去絕對(duì)值即可求解，（2）根據(jù)（1）中規(guī)律即可總結(jié)出答案，（3）根據(jù)（2）中結(jié)論即可得出答案．【解答】解：（1）①∵|﹣5|+|4|＝9，|﹣5+4|＝1，∴|﹣5|+|4|＞|﹣5+4|；②∵|﹣6|+|3|＝9，|﹣6+3|＝3，∴|﹣6|+|3|＞|﹣6+3|；③∵|﹣3|+|﹣4|＝7，|﹣3﹣4|＝7，∴|﹣3|+|﹣4|＝|﹣3﹣4|；④|0|+|﹣9|＝9，|0﹣9|＝9，∴|0|+|﹣9|＝|0﹣9|，故答案為：＞，＞，＝，＝；（2）通過(guò)（1）的比較、分析、歸納：|a|+|b|≥|a+b|，故答案為：≥；（3）由（2）中結(jié)論可得：∵|m|+|n|＝7，|m+n|＝1，∴|m|+|n|≠|(zhì)m+n|，∴m，n異號(hào)，當(dāng)m為正數(shù)，n為負(fù)數(shù)時(shí)，m﹣n＝7，則n＝m﹣7，|m+n|＝|m+m﹣7|＝1，解得：m＝4或3，當(dāng)n為正數(shù)，m為負(fù)數(shù)時(shí)，﹣m+n＝7，則n＝m+7，|m+n|＝|m+m+7|＝1，解得：m＝﹣3或﹣4，綜上所述，m的值為：±3或±4．5．定義：對(duì)于確定位置的三個(gè)數(shù)：a，b，c，計(jì)算a﹣b，，，將這三個(gè)數(shù)的最小值稱為a，b，c的“分差”，例如，對(duì)于1，﹣2，3，因?yàn)?﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”為﹣．（1）﹣2，﹣4，1的“分差”為；（2）調(diào)整“﹣2，﹣4，1”這三個(gè)數(shù)的位置，得到不同的“分差”，那么這些不同“分差”中的最大值是；（3）調(diào)整﹣1，6，x這三個(gè)數(shù)的位置，得到不同的“分差”，若其中的一個(gè)“分差”為2，求x的值．【分析】（1）按“新定義”代入三個(gè)代數(shù)式求值再比較大?。?）三個(gè)數(shù)順便不同可以有6種組合，除第（1）題的順序，計(jì)算其余五種情況的“分差”，再比較大?。?）由“分差”為2（是正數(shù)）和﹣1﹣6＝﹣7＜2可知，﹣1﹣6不能對(duì)應(yīng)a﹣b，a﹣c，b﹣c，所以剩三種情況：6，﹣1，x或6，x，﹣1或x，6，﹣1．每種情況下計(jì)算得三個(gè)代數(shù)式后，分別令兩個(gè)含x的式子等于2，求出x，再代入檢查此時(shí)“分差”是否為2．【解答】解：（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2，＝，＝，∴﹣2，﹣4，1的“分差”為故答案為：（2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4則a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，＝＝1，＝，∴﹣2，1，﹣4的“分差”為﹣3②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1則a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，＝，＝∴﹣4，﹣2，1的“分差”為③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2則a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5，＝，＝∴﹣4，1，﹣2的“分差”為﹣5④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2則a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5，＝，＝∴1，﹣4，﹣2的“分差”為⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4則a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3，＝，＝∴1，﹣2，﹣4的“分差”為綜上所述，這些不同“分差”中的最大值為故答案為：（3）∵“分差”為2，﹣1﹣6＝﹣7∴三個(gè)數(shù)的順序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6①a＝6，b＝x，c＝﹣1，∴a﹣b＝6﹣x，＝，＝若6﹣x＝2，得x＝4，＜2，不符合若，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合②a＝6，b＝﹣1，c＝x，∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7，＝，＝若，得x＝2，＜2，不符合若，得x＝﹣7，＞2，符合③a＝x，b＝6，c＝﹣1∴a﹣b＝x﹣6，＝，＝若x﹣6＝2，得x＝8，＞2，符合若，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合綜上所述，x的值為﹣7或8．三.乘法運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)睛】?jī)蓴?shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；任何數(shù)與0相乘，積為0易錯(cuò)技巧點(diǎn)撥：有理數(shù)乘法計(jì)算法則實(shí)質(zhì)為——先確定積的符號(hào)，再將絕對(duì)值相乘?。。、?乘一個(gè)數(shù)，仍得這個(gè)數(shù)；②-1乘一個(gè)數(shù)，得這個(gè)數(shù)的相反數(shù)；③若兩個(gè)數(shù)的乘積為1，則稱這兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)；特別地：0沒(méi)有倒數(shù)，互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)同號(hào)，倒數(shù)是其本身的數(shù)有1和-1④當(dāng)因數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)先化成假分?jǐn)?shù)，然后相乘；⑤分?jǐn)?shù)與小數(shù)相乘時(shí)，統(tǒng)一化成分?jǐn)?shù)相乘會(huì)比較簡(jiǎn)單；⑥幾個(gè)非0有理數(shù)相乘，當(dāng)負(fù)數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正?、邘讉€(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，則積為0；如果積為0，則至少有一個(gè)因數(shù)為0；⑧乘法簡(jiǎn)便運(yùn)算律包含：乘法交換律、乘法結(jié)合律、分配律；有時(shí)候不能用前面三個(gè)規(guī)律時(shí)，可利用添項(xiàng)拆項(xiàng)等方法湊以上運(yùn)算律【典例精析】例1．（2020秋?北侖區(qū)期中）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）①如果兩個(gè)數(shù)的和為0，則這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)；②絕對(duì)值是它本身的有理數(shù)是正數(shù)；③幾個(gè)有理數(shù)相乘，積為負(fù)數(shù)時(shí)，負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；④若a+b＜0，則a＜0，b＜0；⑤若|a|＝|b|，則a2＝b2．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)各個(gè)小題的說(shuō)法可以判斷是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：如果兩個(gè)數(shù)的和為0，則這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，故①錯(cuò)誤，絕對(duì)值是它本身的有理數(shù)是非負(fù)數(shù)，故②錯(cuò)誤，幾個(gè)有理數(shù)相乘，積為負(fù)數(shù)時(shí)，負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，故③正確，若a+b＜0，則a＜0，b＜0或a＝0，b＜0或a＞0，b＜0且|a|＜|b|，故④錯(cuò)誤，若|a|＝|b|，則a2＝b2，故⑤正確，故選：B．例2．（2021?蒼南縣模擬）在﹣4，﹣2，0，1，3，5這六個(gè)數(shù)中，任意三數(shù)之積的最大值是（）A．15 B．40 C．24 D．30【分析】取出三個(gè)數(shù)，使其積最大即可．【解答】解：（﹣4）×（﹣2）×5＝40，則任意三數(shù)之積的最大值是40．故選：B．例3．（2021秋?鄞州區(qū)期中）計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)制是逢16進(jìn)1的計(jì)數(shù)制，采用數(shù)字0～9和字母A～F共16個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)，這些符號(hào)與十進(jìn)制的數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：十六進(jìn)制0123456789ABCDEF十進(jìn)制0123456789101112131415例如，十進(jìn)制中16+10＝26，用十六進(jìn)制表示為10+A＝1A；十進(jìn)制中25﹣15＝10，用十六進(jìn)制表示為19﹣F＝A．由上可知，在十六進(jìn)制中B×D＝（運(yùn)算結(jié)果用十六進(jìn)制表示）．【分析】首先計(jì)算出B×D的值，再根據(jù)十六進(jìn)制的含義表示出結(jié)果．【解答】解：∵B×D＝11×13＝143，143÷16＝8余15，∴用十六進(jìn)制表示143為8F．故答案為：8F．例4．（2021秋?澠池縣期中）學(xué)習(xí)了有理數(shù)的乘法后，老師給同學(xué)們出了這樣一道題目：計(jì)算：49×（﹣5），看誰(shuí)算的又快又對(duì)．小明的解法：原式＝﹣；小軍的解法：原式＝．（1）對(duì)于以上兩種解法，你認(rèn)為誰(shuí)的解法較好？（2）小強(qiáng)認(rèn)為還有更好的方法：把49看作，請(qǐng)把小強(qiáng)的解法寫出來(lái)．（3）請(qǐng)你用最合適的方法計(jì)算：9×（﹣3）．【分析】（1）小軍的方法計(jì)算簡(jiǎn)便；（2）原式＝（50﹣）×（﹣5），再由乘法分配律進(jìn)行運(yùn)算即可；（3）原式＝（10﹣）×（﹣3），再運(yùn)算即可．【解答】解：（1）小軍的解法較好；（2）49×（﹣5）＝（50﹣）×（﹣5）＝50×（﹣5）﹣×（﹣5）＝﹣250+＝﹣249；（3）9×（﹣3）＝（10﹣）×（﹣3）＝10×（﹣3）﹣×（﹣3）＝﹣30+＝﹣29．例5．（2021秋?東城區(qū)校級(jí)期中）已知|a|＝5，|b|＝3，若|a+b|＝a+b，求ab的值．【分析】由|a+b|＝a+b可得，a＝5，b＝3或a＝5，b＝﹣3，代入計(jì)算即可．【解答】解：已知|a|＝5，|b|＝3，|a+b|＝a+b，可得，a＝5，b＝3或a＝5，b＝﹣3．當(dāng)a＝5，b＝3時(shí)，ab＝15，當(dāng)a＝5，b＝﹣3時(shí)，ab＝﹣15．綜上所述：ab的值為15或﹣15．例6．（2021秋?余杭區(qū)月考）計(jì)算：（1）（﹣0.25）×3.14×40；（2）﹣25×8．（3）（）×（﹣60）【分析】（1）根據(jù)乘法分配律和結(jié)合律計(jì)算可求解；將﹣25轉(zhuǎn)化為﹣25﹣，再利用乘法分配律計(jì)算可求解．（3）利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣＝＝﹣10×3.14＝﹣31.4；（2）原式＝＝﹣200﹣＝?200.25．（3）原式＝﹣15﹣25+50＝10．【練習(xí)】1．下列說(shuō)法中不正確的個(gè)數(shù)有（）①有理數(shù)m2+1的倒數(shù)是②絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)③絕對(duì)值既是它本身也是它的相反數(shù)的數(shù)只有0④幾個(gè)有理數(shù)相乘，若有奇數(shù)個(gè)負(fù)因數(shù)，則乘積為負(fù)數(shù)⑤若a＞b，則a（c2+1）＞b（c2+1）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)各個(gè)小題中的說(shuō)法，可以判斷是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：有理數(shù)m2+1的倒數(shù)是，故①正確；絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)或者相等，故②不正確；絕對(duì)值既是它本身也是它的相反數(shù)的數(shù)只有0，故③正確；幾個(gè)不為零有理數(shù)相乘，若有奇數(shù)個(gè)負(fù)因數(shù)，則乘積為負(fù)數(shù)，若其中一個(gè)因數(shù)為0，則結(jié)果為0，故④不正確；若a＞b，則a（c2+1）＞b（c2+1），故⑤正確；故選：B．2．已知4個(gè)不相等的整數(shù)a、b、c、d，它們的積abcd＝25，則a+b+c+d＝．【分析】由4個(gè)不相等的整數(shù)a、b、c、d，將25進(jìn)行因數(shù)分解可知25＝1×5×（﹣1）×（﹣5），即可求解．【解答】解：∵a、b、c、d是4個(gè)不相等的整數(shù)，∴25＝1×5×（﹣1）×（﹣5），∴a+b+c+d＝1+5+（﹣1）+（﹣5）＝0；故答案為0．3．規(guī)定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）＝．（1）計(jì)算：M（5）+M（6）；（2）求2×M（2021）+M（2022）的值；（3）試說(shuō)明：2×M（n）與M（n+1）互為相反數(shù)．【分析】（1）根據(jù)新定義的法則及有理數(shù)乘法的法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)新定義的法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)新定義的法則分別計(jì)算2×M（n）與M（n+1），即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）M（5）+M（6）＝（﹣2）5+（﹣2）6＝﹣32+64＝32；（2）2M（2021）+M（2022）＝2×（﹣2）202l+（﹣2）2022＝2×（﹣22021）+22022＝﹣22022+22022＝0；（3）2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，∵﹣（﹣2）n+1與（﹣2）n+1互為相反數(shù)，∴2M（n）與M（n+1）互為相反數(shù)．四.除法運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)睛】①兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除；0除以任何一個(gè)非0的數(shù)都得0②除以一個(gè)非零數(shù)，等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)用字母表示為：易錯(cuò)技巧點(diǎn)撥：有理數(shù)除法計(jì)算法則實(shí)質(zhì)為——先確定商的符號(hào)，再將絕對(duì)值相除?。。、?不能作為除數(shù)；②多個(gè)有理數(shù)相除時(shí)，如果能整除，則直接相除，如果不能整除，通常把除法轉(zhuǎn)化為乘法，統(tǒng)一為乘法再運(yùn)算；③除法運(yùn)算中遇到小數(shù)或者帶分?jǐn)?shù)時(shí)，要把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，然后再進(jìn)行相除；④除法沒(méi)有交換律、結(jié)合律、分配律【典例精析】例1．（2020秋?浦東新區(qū)期末）計(jì)算：7×÷7×的值等于（）A．1 B． C．49 D．【分析】直接利用有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：原式＝7×××＝．故選：B．例2．（2020秋?濟(jì)南期末）取一個(gè)自然數(shù)，若它是奇數(shù)，則乘以3加上1，若它是偶數(shù)，則除以2，按此規(guī)則經(jīng)過(guò)若干步的計(jì)算最終可得到1．這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上還沒(méi)有得到證明．但舉例驗(yàn)證都是正確的．例如：取自然數(shù)5．經(jīng)過(guò)下面5步運(yùn)算可得1，即：如圖所示．如果自然數(shù)m恰好經(jīng)過(guò)7步運(yùn)算可得到1，則所有符合條件的m的值有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【分析】首先根據(jù)題意，應(yīng)用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分類討論，判斷出所有符合條件的m的值為多少即可．【解答】解：根據(jù)分析，可得則所有符合條件的m的值為：128、21、20、3．故選：B．例3．（2021春?奉賢區(qū)期末）計(jì)算：＝．【分析】將有理數(shù)的除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后再計(jì)算．【解答】解：原式＝，故答案為：﹣．例4．（2021秋?吉林期末）計(jì)算：﹣12×（﹣）+8÷（﹣2）．【分析】先算乘方、再算乘除法、最后算加法即可．【解答】解：﹣12×（﹣）+8÷（﹣2）＝﹣1×（﹣）+（﹣4）＝+（﹣4）＝﹣．例5．（2021秋?黔南州月考）請(qǐng)你認(rèn)真閱讀下列材料：計(jì)算：．解法一：因?yàn)樵降牡箶?shù)為＝＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10，所以原式＝﹣．解法二：原式＝＝﹣．（1）上述得出的結(jié)果不同，肯定有錯(cuò)誤解法，你認(rèn)為哪種解法是錯(cuò)誤的？為什么？（2）根據(jù)你對(duì)所提供材料的理解，計(jì)算下面的題目：．【分析】（1）先判斷，然后根據(jù)判斷說(shuō)明理由即可；（2）根據(jù)題目中的例子，可以先計(jì)算出原式的倒數(shù)，然后取原式倒數(shù)的結(jié)果的倒數(shù)，即可得到原式的結(jié)果．【解答】解：（1）解法二錯(cuò)誤，因?yàn)槌](méi)有分配律；（2）因?yàn)樵降牡箶?shù)為：（+﹣﹣）÷（﹣）＝（+﹣﹣）×（﹣42）＝×（﹣42）+×（﹣42）﹣×（﹣42）﹣×（﹣42）＝﹣7﹣9+28+12＝24，所以原式＝．五.乘方【知識(shí)點(diǎn)睛】①符號(hào)法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪為正數(shù)②特例：0的任何正整數(shù)次冪=0；00無(wú)意義；1的任何次冪=1，-1的奇次冪=-1，-1的偶次冪=1③運(yùn)算：乘方是特殊的乘法運(yùn)算，其他運(yùn)算規(guī)律同乘法運(yùn)算一樣；易錯(cuò)技巧點(diǎn)撥：①注意（-a）n與-an的不同意義②注意的不同意義③若a與b互為相反數(shù)，則有a2=b2，a3+b3=0【典例精析】例1．（2021秋?廣饒縣期中）下列各組數(shù)中，數(shù)值相等的是（）A．32和23 B．﹣23和（﹣2）3 C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣3×22和﹣（3×2）2【分析】利用乘方的意義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：A.32＝9，23＝8，所以A選項(xiàng)不符合題意；B．﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，所以B選項(xiàng)不符合題意；C．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，所以C選項(xiàng)不符合題意；D．﹣3×22＝﹣3×4＝﹣12，﹣（3×2）2＝﹣62＝﹣36，所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：B．例2．（2021秋?畢節(jié)市期中）在有理數(shù)：﹣|﹣|，（﹣3）2，（﹣2）3，﹣（﹣5），﹣12中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】此題只需根據(jù)負(fù)數(shù)的定義，即負(fù)數(shù)為小于0的有理數(shù)，再判定負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)．【解答】解：在有理數(shù)：﹣|﹣|，（﹣3）2，（﹣2）3，﹣（﹣5），﹣12中，負(fù)數(shù)有：﹣|﹣|，（﹣2）3，﹣12這3個(gè)，故選：B．例3．某細(xì)菌每過(guò)30分鐘就由1個(gè)分裂成2個(gè)，1個(gè)這種細(xì)菌經(jīng)過(guò)3小時(shí)能分裂成（）A．8個(gè) B．16個(gè) C．32個(gè) D．64個(gè)【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方列式計(jì)算即可．【解答】解：3個(gè)小時(shí)，細(xì)菌分裂6次，1×26＝64（個(gè)），故選：D．例4．（2020秋?奉化區(qū)校級(jí)期中）若a、b、c、d是互不相等的整數(shù)（a＜b＜c＜d），且abcd＝9，則：ac+bd＝．【分析】由乘積為9且互不相等的整數(shù)，先確定a、b、c、d的值，再代入求出代數(shù)式的結(jié)果【解答】解：∵a、b、c、d是互不相等的整數(shù)，且abcd＝9又∵（±1）×（±3）＝9，a＜b＜c＜d，∴a＝﹣3，b＝﹣1，c＝1，d＝3∴ac+bd＝﹣3+（﹣1）3＝﹣4．故答案為：﹣4例5．（2021春?楊浦區(qū)期中）若x4＝625，則x＝．【分析】找到4次方為625的數(shù)即可．【解答】解：∵（±5）4＝625，∴x＝±5，故答案為：±5．例6．（2021秋?沂水縣期中）（1）計(jì)算：①（3×5）2與32×52；②[（﹣2）×3]2與（﹣2）2×32；③[（﹣3）×（﹣4）]2與（﹣3）2×（﹣4）2；（2）根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果猜想：（ab）2，（ab）3分別等于什么？（直接寫出結(jié)果）（3）猜想與驗(yàn)證：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，（ab）n等于什么？請(qǐng)你利用乘方的意義說(shuō)明理由．（4）利用上述結(jié)論，求（﹣8）2021×0.1252022的值．【分析】（1）根據(jù)積的乘方的計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，類推得出答案；（3）利用乘方的意義進(jìn)行計(jì)算即可；（4）應(yīng)用上述結(jié)論，將原式化為（﹣8×0.125）2021×0.125即可．【解答】解：（1）①（3×5）2＝152＝225，32×52＝9×25＝225；②[（﹣2）×3]2＝（﹣6）2＝36，（﹣2）2×32＝4×9＝36；③∵[（﹣3）×（﹣4）]2＝122＝144，（﹣3）2×（﹣4）2＝9×16＝144，∴[（﹣3）×（﹣4）]2＝（﹣3）2×（﹣4）2；（2）（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3；（3）（ab）n＝anbn，理由如下：（ab）n＝＝×＝anbn；（4）原式＝（﹣8）2021×0.1252021×0.125＝（﹣8×0.125）2021×0.125＝（﹣1）2021×0.125＝﹣0.125．六.科學(xué)計(jì)數(shù)法易錯(cuò)技巧點(diǎn)撥：①一般地：10的n次冪，在1的后面就有n個(gè)0②n的值的兩種確定方法：1.將這個(gè)數(shù)的整數(shù)部分的位數(shù)-1就是n2.將這個(gè)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)的位數(shù)就是n【典例精析】例1．電影《流浪地球》中的行星發(fā)動(dòng)機(jī)利用重核聚變技術(shù)，可以直接利用石頭作為燃料，每座發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生150億噸推力，請(qǐng)用科學(xué)記數(shù)法表示150億為（）A．150×109 B．1.5×1010 C．1.5×1011 D．1.5×1012【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：150億1.5×1010．故選：B．例2．第七次全國(guó)人口普查數(shù)據(jù)顯示，貴州省常住人口約為3856.21萬(wàn)人，將38562100用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．3.85621×108B．3.85621×107C．0.385621×107D．0.385621×108【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：38562100＝3.85621×107；故選：B．例3．（2021秋?鹽都區(qū)月考）有理數(shù)3.645精確到十分位的近似數(shù)為（）A．3.7 B．3.64 C．3.6 D．3.65【分析】把百分位上的數(shù)字4進(jìn)行四舍五入即可．【解答】解：有理數(shù)3.645精確到十分位的近似數(shù)為3.6．故選：C．例4．（2021秋?淮北期中）近似數(shù)0.7070的精確度是（）A．精確到百分位B．精確到十萬(wàn)分位 C．精確到萬(wàn)分位D．精確到千分位【分析】近似數(shù)精確到哪一位，應(yīng)當(dāng)看末位數(shù)字實(shí)際在哪一位．【解答】解：近似數(shù)0.7070是精確到萬(wàn)分位；故選：C．例5．把a(bǔ)精確到百分位的近似數(shù)是3.27，則a的取值范圍是（）A．3.265＜a＜3.275B．3.265≤a＜3.275 C．3.265＜a≤3.275D．3.265≤a≤3.275【分析】利用四舍五入可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：把a(bǔ)精確到百分位的近似數(shù)是3.27，則a的取值范圍是3.265≤a＜3.275．故選：B．【練習(xí)】1．已知43×47＝2021，則（﹣43）的值為（）A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣【分析】根據(jù)有理數(shù)運(yùn)算法則，除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)求解．【解答】解：∵43×47＝2021，∴（﹣43）＝﹣43×47＝﹣2021，故選：B．2．觀察下列各式的計(jì)算結(jié)果：1﹣＝1﹣＝＝×；1﹣＝1﹣＝＝×；1﹣＝1﹣＝＝×；1﹣＝1﹣＝＝×…（1）用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填寫下列式子的結(jié)果：1﹣＝×；1﹣＝×．（2）用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）×．【分析】（1）根據(jù)題中所給的式子即可求解；（2）原式＝×××××…××××××，再分組計(jì)算即可求解．【解答】解：（1）1﹣＝1﹣＝＝×，1﹣＝1﹣＝＝×，故答案為：，，，；（2）（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）×＝×××××…××××××＝×＝．3．觀察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…根據(jù)上述算式中的規(guī)律，你認(rèn)為220的末位數(shù)字是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】本題需先根據(jù)已知條件，找出題中的規(guī)律，即可求出220的末位數(shù)字．【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…∴220的末位數(shù)字是6．故選：C．4．下列各組的兩個(gè)數(shù)中，運(yùn)算后的結(jié)果相等的是（）A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．﹣|﹣2|和|﹣2|【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方，絕對(duì)值的意義分別計(jì)算，然后作出判斷．【解答】解：A．23＝8，32＝9，∴23≠32，故此選項(xiàng)不符合題意；B．﹣33＝﹣27，（﹣3）3＝﹣27，∴﹣33＝（﹣3）3，故此選項(xiàng)符合題意；C．﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，∴﹣22≠（﹣2）2，故此選項(xiàng)不符合題意；D．﹣|﹣2|＝﹣2，|﹣2|＝2，∴﹣|﹣2|≠|(zhì)﹣2|，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．5．已知|a﹣2|+（b+3）2＝0，則ba的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9【分析】先依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a、b的值，然后再代入求解即可．【解答】解：∵|a﹣2|+（b+3）2＝0，∴a＝2，b＝﹣3．∴原式＝（﹣3）2＝9．故選：D．6．若“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，并且1?。?，2?。?×1＝2，3?。?×2×1＝6，4！＝4×3×2×1