甘肅省天水一中高二下學期開學數(shù)學試卷（理科）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2016-2017學年甘肅省天水一中高二(下）開學數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（每小題5分，共45分）1．設(shè)x∈R,則“x＞"是“2x2+x﹣1＞0”的（)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知命題p：?x∈R，使得x+＜2，命題q:?x∈R，x2+x+1＞0，下列命題為真的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．（￢p)∧(￢q)3．函數(shù)函數(shù)f（x）=（x﹣3）ex的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（﹣∞，2） B．（0，3） C．（1，4) D．（2，+∞）4．平面α的一個法向量=（1,﹣1，0）,則y軸與平面α所成的角的大小為（）A． B． C． D．5．已知向量=(1，1,0),=（﹣1，0,2）且k+與2﹣互相垂直，則k的值是（)A．1 B． C． D．6．已知拋物線y2=2px上一點M（1，m)到其焦點的距離為5，則該拋物線的準線方程為（）A．x=8 B．x=﹣8 C．x=4 D．x=﹣47．函數(shù)f（x)的定義域為（a，b），其導函數(shù)f′（x）在（a,b）內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b)內(nèi)極小值點的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．18．函數(shù)f(x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1處有極值10，則點（a,b）為（）A．（3，﹣3） B．(﹣4，11） C．（3，﹣3）或（﹣4，11） D．不存在9．f（x)，g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x＜0時，f′（x）g(x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．(﹣∞,﹣3)∪（0，3） B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） C．（﹣3，0)∪（3,+∞） D．（﹣3，0）∪(0，3）二、填空題(每題5分，共15分)10．已知雙曲線的一條漸近線為,則a=．11．函數(shù)f(x）=x3﹣3x2+m在區(qū)間[﹣1，1］上的最大值是2,則常數(shù)m=．12．點P是曲線y=x2﹣lnx上任意一點，則點P到直線y=x+2的距離的最小值是．三、解答題（共40分）13．如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD,PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）證明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．14．已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx(a∈R）（1）當a=2時，求曲線y=f(x）在點A（1，f（1)）處的切線方程；(2）求函數(shù)f（x）的極值．15．已知橢圓C:(a＞b＞0）的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為．（Ⅰ)求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值．

2016—2017學年甘肅省天水一中高二(下)開學數(shù)學試卷(理科）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5分,共45分）1．設(shè)x∈R,則“x＞”是“2x2+x﹣1＞0"的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】求出二次不等式的解，然后利用充要條件的判斷方法判斷選項即可．【解答】解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；所以當“x＞”?“2x2+x﹣1＞0”；但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0"的充分而不必要條件．故選A．2．已知命題p：?x∈R，使得x+＜2,命題q：?x∈R，x2+x+1＞0，下列命題為真的是(）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）【考點】復合命題的真假．【分析】本題的關(guān)鍵是判定命題p：?x∈R,使得，命題的真假，在利用復合命題的真假判定．【解答】解:對于命題p：?x∈R,使得，當x＜0時,命題p成立，命題p為真命題，顯然，命題q為真∴根據(jù)復合命題的真假判定，p∧q為真,(￢p）∧q為假，p∧(￢q）為假，(￢p）∧（￢q）為假3．函數(shù)函數(shù)f（x）=（x﹣3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(）A．（﹣∞，2） B．（0,3) C．(1,4） D．（2，+∞)【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】首先對f（x）=(x﹣3）ex求導,可得f′（x）=(x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解可得答案．【解答】解:f′(x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解得x＞2．故選:D．4．平面α的一個法向量=（1,﹣1，0），則y軸與平面α所成的角的大小為(）A． B． C． D．【考點】用空間向量求直線與平面的夾角．【分析】設(shè)y軸與平面α所成的角的大小為θ，由在y軸上的單位向量和平面α的一個法向量，利用向量法能求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)y軸與平面α所成的角的大小為θ，∵在y軸上的單位向量=（0，1,0），平面α的一個法向量=（1，﹣1，0），∴sinθ=|cos＜，＞｜=｜|=，∴θ=．故選：B．5．已知向量=（1，1，0）,=（﹣1，0，2）且k+與2﹣互相垂直，則k的值是（）A．1 B． C． D．【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】由向量=(1，1，0），=（﹣1，0,2），求得k+與2﹣的坐標，代入數(shù)量積的坐標表示求得k值．【解答】解：∵=（1，1，0），=（﹣1,0，2）,∴k+=k(1,1,0）+（﹣1,0，2）=（k﹣1，k，2）,2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1,0，2)=（3，2，﹣2），又k+與2﹣互相垂直,∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=．故選：D．6．已知拋物線y2=2px上一點M（1，m）到其焦點的距離為5，則該拋物線的準線方程為（）A．x=8 B．x=﹣8 C．x=4 D．x=﹣4【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】由題意得：拋物線焦點為F（,0），準線方程為x=﹣．因為點M（1,m）到其焦點的距離為5，所以點M到拋物線的準線的距離為：，從而得到p=8，得到該拋物線的準線方程．【解答】解：∵拋物線方程為y2=2px∴拋物線焦點為F（，0），準線方程為x=﹣又∵點M（1，m）到其焦點的距離為5,∴p＞0，根據(jù)拋物線的定義,得，∴p=8，所以準線方程為x=﹣4故選D7．函數(shù)f（x）的定義域為（a，b）,其導函數(shù)f′（x）在（a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x)在區(qū)間（a，b）內(nèi)極小值點的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考點】導數(shù)的運算；函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)當f'(x）＞0時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，f'（x）＜0時f(x)單調(diào)遞減，可從f′（x)的圖象可知f(x）在（a，b)內(nèi)從左到右的單調(diào)性依次為增→減→增→減，然后得到答案【解答】解：從f′（x）的圖象可知f(x）在（a,b)內(nèi)從左到右的單調(diào)性依次為增→減→增→減，根據(jù)極值點的定義可知在(a，b)內(nèi)只有一個極小值點．故選：D．8．函數(shù)f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1處有極值10，則點（a，b）為（）A．（3，﹣3） B．（﹣4，11） C．（3，﹣3）或（﹣4,11） D．不存在【考點】函數(shù)在某點取得極值的條件．【分析】首先對f（x）求導，然后由題設(shè)在x=1時有極值10可得解之即可求出a和b的值．【解答】解：對函數(shù)f（x）求導得f′（x）=3x2﹣2ax﹣b,又∵在x=1時f(x）有極值10,∴，解得或，驗證知，當a=3，b=﹣3時，在x=1無極值,故選B．9．f(x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當x＜0時，f′（x）g(x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，則不等式f（x）g（x)＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣3)∪(0，3） B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） C．(﹣3,0）∪（3，+∞） D．（﹣3，0)∪（0，3）【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)g（x），利用已知可判斷出其奇偶性和單調(diào)性,進而即可得出不等式的解集．【解答】解:令h（x）=f（x）g（x)，則h（﹣x)=f（﹣x)g（﹣x)=﹣f（x）g（x)=﹣h(x)，因此函數(shù)h（x)在R上是奇函數(shù)．①∵當x＜0時，h′（x）=f′（x)g(x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0時單調(diào)遞增，故函數(shù)h（x）在R上單調(diào)遞增．∵h（﹣3）=f（﹣3)g(﹣3)=0，∴h（x)=f(x）g（x）＜0=h（﹣3），∴x＜﹣3．②當x＞0時，函數(shù)h（x)在R上是奇函數(shù)，可知：h（x)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且h（3）=﹣h（﹣3)=0，∴h（x）＜0，的解集為(0，3)．∴不等式f（x）g（x)＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪(0，3）．故選：A二、填空題(每題5分，共15分）10．已知雙曲線的一條漸近線為,則a=．【考點】雙曲線的標準方程．【分析】通過雙曲線方程求出漸近線方程，與已知方程比較即可求出a的值．【解答】解：雙曲線的一條漸近線方程為x+y=0,可知=，∴a=，故答案為：．11．函數(shù)f（x)=x3﹣3x2+m在區(qū)間［﹣1，1]上的最大值是2,則常數(shù)m=2．【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】求出函數(shù)的導數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)的最大值是f（0）=m，則m值可求．【解答】解:f′（x）=3x（x﹣2），令f′（x）＞0,解得：x＞2或x＜0，令f′（x)＜0，解得：0＜x＜2,∴f（x）在[﹣1，0）遞增，在（0，1］遞減，∴f（x）max=f（0）=m=2，故答案為：212．點P是曲線y=x2﹣lnx上任意一點,則點P到直線y=x+2的距離的最小值是．【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程;兩條平行直線間的距離．【分析】求出平行于直線y=x+2且與曲線y=x2﹣lnx相切的切點坐標,再利用點到直線的距離公式可得結(jié)論．【解答】解：設(shè)P(x,y），則y′=2x﹣（x＞0)令2x﹣=1，則（x﹣1）（2x+1）=0，∵x＞0,∴x=1∴y=1，即平行于直線y=x+2且與曲線y=x2﹣lnx相切的切點坐標為(1,1）由點到直線的距離公式可得d==故答案為:三、解答題（共40分)13．如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD,PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）證明：平面PQC⊥平面DCQ(Ⅱ)求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．【考點】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；平面與平面垂直的判定；向量語言表述面面的垂直、平行關(guān)系;用空間向量求平面間的夾角．【分析】首先根據(jù)題意以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D﹣xyz；（Ⅰ）根據(jù)坐標系，求出、、的坐標，由向量積的運算易得?=0，?=0；進而可得PQ⊥DQ,PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得證明；（Ⅱ)依題意結(jié)合坐標系，可得B、、的坐標，進而求出平面的PBC的法向量與平面PBQ法向量，進而求出cos＜,＞，根據(jù)二面角與其法向量夾角的關(guān)系,可得答案．【解答】解：如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D﹣xyz;(Ⅰ）依題意有Q（1，1，0），C（0,0，1）,P（0，2,0）；則=（1，1,0)，=（0,0，1），=（1，﹣1，0），所以?=0，?=0;即PQ⊥DQ,PQ⊥DC,故PQ⊥平面DCQ，又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；（Ⅱ）依題意,有B(1,0，1),=（1,0,0)，=（﹣1，2，﹣1)；設(shè)=（x，y，z）是平面的PBC法向量，則即,因此可取=（0，﹣1，﹣2)；設(shè)是平面PBQ的法向量，則，可取=(1,1，1)，所以cos＜，＞=﹣,故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值為﹣．14．已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx(a∈R)(1）當a=2時，求曲線y=f(x）在點A（1，f（1))處的切線方程;（2）求函數(shù)f(x）的極值．【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】(1）把a=2代入原函數(shù)解析式中，求出函數(shù)在x=1時的導數(shù)值，直接利用直線方程的點斜式寫直線方程；（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)可知，當a≤0時，f′(x）＞0，函數(shù)在定義域（0，+∝）上單調(diào)遞增,函數(shù)無極值,當a＞0時，求出導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點對定義域分段，利用原函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值．【解答】解：函數(shù)f(x）的定義域為（0，+∞），．(1)當a=2時，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1,f′(1）=﹣1，所以曲線y=f(x）在點A(1，f（1））處的切線方程為y﹣1=﹣(x﹣1)，即x+y﹣2=0（2）由，x＞0知:①當a≤0時，f′（x)＞0,函數(shù)f（x）為（0,+∞）上的增函數(shù)，函數(shù)f（x）無極值;②當a＞0時，由f′（x）=0，解得x=a．又當x∈（0,a)時，f′（x）＜0，當x∈(a，+∞）時，f′（x）＞0．從而函數(shù)f（x)在x=a處取得極小值,且