第五章-相交線(xiàn)與平行線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)整理

第4頁(yè)共6頁(yè)關(guān)鍵詞：相交線(xiàn)平行線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)整理相交線(xiàn)與平行線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)整理摘要：注意點(diǎn)：⑴對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；⑵如果是對(duì)頂角，那么一定有；反之如果，那么不一定是對(duì)頂角，⑶如果互為鄰補(bǔ)角，則一定有；反之如果，則不一定是鄰補(bǔ)角。⑶兩直線(xiàn)相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè)。5.1相交線(xiàn)1、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角兩直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角112∠1與∠2有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)對(duì)頂角相等即∠1=∠2鄰補(bǔ)角443∠3與∠4有公共頂點(diǎn)∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)?！?+∠4=180°注意點(diǎn)：⑴對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；⑵如果∠α與∠β是對(duì)頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角⑶如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角。⑶兩直線(xiàn)相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè)。2、垂線(xiàn)⑴定義，當(dāng)兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線(xiàn)互相垂直，其中的一條直線(xiàn)叫做另一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)，它們的交點(diǎn)叫做垂足。ABABCDO如圖所示：AB⊥CD，垂足為O⑵垂線(xiàn)性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直(與平行公理相比較記)⑶垂線(xiàn)性質(zhì)2：連接直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短。簡(jiǎn)稱(chēng)：垂線(xiàn)段最短。3、垂線(xiàn)的畫(huà)法：⑴過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)畫(huà)已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)；⑵過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)畫(huà)已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)。注意：①畫(huà)一條線(xiàn)段或射線(xiàn)的垂線(xiàn)，就是畫(huà)它們所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)；②過(guò)一點(diǎn)作線(xiàn)段的垂線(xiàn)，垂足可在線(xiàn)段上，也可以在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上。畫(huà)法：⑴一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線(xiàn)上，⑵二移：移動(dòng)三角尺使一點(diǎn)落在它的另一邊直角邊上，⑶三畫(huà)：沿著這條直角邊畫(huà)線(xiàn)，不要畫(huà)成給人的印象是線(xiàn)段的線(xiàn)。4、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離直線(xiàn)外一點(diǎn)到這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線(xiàn)的距離記得時(shí)候應(yīng)該結(jié)合圖形進(jìn)行記憶。PPABO如圖，PO⊥AB，同P到直線(xiàn)AB的距離是PO的長(zhǎng)。PO是垂線(xiàn)段。PO是點(diǎn)P到直線(xiàn)AB所有線(xiàn)段中最短的一條?，F(xiàn)實(shí)生活中開(kāi)溝引水，牽牛喝水都是“垂線(xiàn)段最短”性質(zhì)的應(yīng)用。5、如何理解“垂線(xiàn)”、“垂線(xiàn)段”、“兩點(diǎn)間距離”、“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”這些相近而又相異的概念分析它們的聯(lián)系與區(qū)別⑴垂線(xiàn)與垂線(xiàn)段區(qū)別：垂線(xiàn)是一條直線(xiàn)，不可度量長(zhǎng)度；垂線(xiàn)段是一條線(xiàn)段，可以度量長(zhǎng)度。聯(lián)系：具有垂直于已知直線(xiàn)的共同特征。(垂直的性質(zhì))⑵兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離區(qū)別：兩點(diǎn)間的距離是點(diǎn)與點(diǎn)之間，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是點(diǎn)與直線(xiàn)之間。聯(lián)系：都是線(xiàn)段的長(zhǎng)度；點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是特殊的兩點(diǎn)(即已知點(diǎn)與垂足)間距離。⑶線(xiàn)段與距離距離是線(xiàn)段的長(zhǎng)度，是一個(gè)量；線(xiàn)段是一種圖形，它們之間不能等同。5.2平行線(xiàn)1、平行線(xiàn)的概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線(xiàn)叫做平行線(xiàn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)互相平行，記作∥。2、兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)，兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系只有兩種：⑴相交；⑵平行。因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線(xiàn)不相交時(shí)，就可以肯定它們平行；反過(guò)來(lái)也一樣（這⑵在同一平面內(nèi)不相重合的兩條直線(xiàn)，如果它們不平行，那么這兩條直線(xiàn)一定相交。⑶過(guò)一點(diǎn)可以且只可以畫(huà)一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行解答：⑴錯(cuò)誤，平行線(xiàn)是“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線(xiàn)”?！霸谕黄矫鎯?nèi)”是一項(xiàng)重要條件，不能遺漏。⑵正確⑶不正確，正確的說(shuō)法是“過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)”而不是“過(guò)一點(diǎn)”。因?yàn)槿绻@一點(diǎn)不在已知直線(xiàn)上，是作不出這條直線(xiàn)的平行線(xiàn)的。典型例題：如圖，根據(jù)下列條件，可以判定哪兩條直線(xiàn)平行，并說(shuō)明判定的根據(jù)是什么？AABEDFC123解答：⑴由∠2＝∠B可判定AB∥DE，根據(jù)是同位角相等，兩直線(xiàn)平行；⑵由∠1＝∠D可判定AC∥DF，根據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行；⑶由∠3＋∠F＝180°可判定AC∥DF，根據(jù)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行。5.3平行線(xiàn)的性質(zhì)1、平行線(xiàn)的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線(xiàn)平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；ABCABCDEF1234幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥CD∴∠3＝∠2（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）2、兩條平行線(xiàn)的距離如圖，直線(xiàn)AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，則稱(chēng)線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度為兩平行線(xiàn)AB與CD間的距離。AAEGBCFHD注意：直線(xiàn)AB∥CD，在直線(xiàn)AB上任取一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作CD的垂線(xiàn)段GH，則垂線(xiàn)段GH的長(zhǎng)度也就是直線(xiàn)AB與CD間的距離。3、命題：⑴命題的概念：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題。⑵命題的組成每個(gè)命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。命題常寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式。具有這種形式的命題中，用“如果”開(kāi)始的部分是題設(shè)，用“那么”開(kāi)始的部分是結(jié)論。有些命題，沒(méi)有寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式，題設(shè)和結(jié)論不明顯。對(duì)于這樣的命題，要經(jīng)過(guò)分析才能找出題設(shè)和結(jié)論，也可以將它們改寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式。注意：命題的題設(shè)（條件）部分，有時(shí)也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命題的結(jié)論部分，有時(shí)也可用“求證……”或“則……”等形式表述。4、平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定①平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定是互逆的關(guān)系兩直線(xiàn)平行同位角相等；兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線(xiàn)平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。其中，由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線(xiàn)平行（位置關(guān)系）這是平行線(xiàn)的判定；由平行線(xiàn)（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線(xiàn)的性質(zhì)。ADEBC12典型例題：已知∠1＝ADEBC12證明：∵∠1＝∠B（已知）∴DE∥BC（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）∴∠2＝∠C（兩直線(xiàn)平行同位角相等）注意，在了DE∥BC，不需要再寫(xiě)一次了，得到了DE∥BC，這可以把它當(dāng)作條件來(lái)用了。典型例題：如圖，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°ADFBECADFBEC123解答：∵DE∥BC（已知）∴∠2＝∠1＝65°（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥DF（已知）∴AB∥DF（已知）∴∠3＋∠2＝180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°5.4平移1、平移變換①把一個(gè)圖形整體沿某一方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。②新圖形的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)③連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線(xiàn)段平行且相等2、平移的特征：①經(jīng)過(guò)平移之后的圖形與原來(lái)的圖形的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段平行（或在同一直線(xiàn)上）且相等，對(duì)應(yīng)角相等，圖形的形狀與大小都沒(méi)有發(fā)生變化。②經(jīng)過(guò)平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線(xiàn)段平行（或在同一直線(xiàn)上）且相等。ADBECFADBECF⑴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是