新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.2.1向量的加法運(yùn)算課件

平面向量的運(yùn)算6.2.1

向量的加法運(yùn)算課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.借助實(shí)例和平面向量的幾何表示,掌握平面向量加法運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則.2.理解平面向量加法運(yùn)算的幾何意義.3.會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量.4.培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析隨

堂

練

習(xí)

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、向量的加法及其運(yùn)算法則【問題思考】分析下列實(shí)例:

實(shí)例1:飛機(jī)從廣州飛往上海,再從上海飛往北京(如圖),這兩次位移的結(jié)果與飛機(jī)從廣州直接飛往北京的位移是相同的.實(shí)例2:有兩條拖輪牽引一艘輪船,它們的牽引力分別是|F1|=3000N,|F2|=2000N,牽引繩之間的夾角為θ=60°(如圖),如果只用一條拖輪來牽引,也能產(chǎn)生跟原來相同的效果.1.從物理學(xué)的角度,上面實(shí)例中的位移、牽引力說明了什么?體現(xiàn)了向量的什么運(yùn)算?2.上述實(shí)例中位移的和運(yùn)算、力的和運(yùn)算分別用了什么法則?提示:三角形法則和平行四邊形法則.3.填空:(1)向量加法的定義:求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法,兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.(2)向量求和的法則:(3)對(duì)于零向量與任一向量a,規(guī)定:a+0=0+a=a.4.做一做:如圖,已知向量a,b,求作向量a+b.二、|a+b|與|a|,|b|之間的關(guān)系【問題思考】1.根據(jù)向量加法的三角形法則以及“三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,你能發(fā)現(xiàn)|a+b|與|a|,|b|之間的關(guān)系嗎?提示:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.2.填空:(1)對(duì)于任意向量a,b,都有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|;(2)當(dāng)a,b共線,且同向時(shí),有|a+b|=|a|+|b|;(3)當(dāng)a,b共線,且反向時(shí),有|a+b|=||a|-|b||.解析:根據(jù)公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|直接計(jì)算可得.答案:[3,13]三、向量加法的運(yùn)算律【問題思考】1.實(shí)數(shù)的加法滿足哪些運(yùn)算律?向量的加法是否也滿足這些運(yùn)算律?提示:實(shí)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律,向量的加法也滿足.2.填空:(1)向量加法的交換律:a+b=b+a;(2)向量加法的結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c).【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)對(duì)于任意兩個(gè)向量,都可利用平行四邊形法則求出它們的和向量.(

×

)(3)如果a,b是共線的非零向量,那么a+b的方向必與a,b之一的方向相同.(

×

)(5)若a,b是共線向量,則必有|a+b|=|a|+|b|.(

×

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

向量的加法法則【例1】

(1)如圖①所示,求作向量和a+b.(2)如圖②所示,求作向量和a+b+c.圖①

圖②應(yīng)用三角形法則、平行四邊形法則作向量和時(shí)需注意的問題:(1)三角形法則可以推廣到n個(gè)向量求和,作圖時(shí)要求“首尾相連”,即n個(gè)首尾相連的向量的和對(duì)應(yīng)的向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第n個(gè)向量的終點(diǎn)的向量.(2)平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和,作圖時(shí)要求兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合.(3)當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí),兩個(gè)法則實(shí)質(zhì)上是一致的,三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半,在多個(gè)向量的加法中,利用三角形法則更為簡便.【變式訓(xùn)練1】

如圖,已知a,b,求作a+b.①

②探究二

向量加法及運(yùn)算律的應(yīng)用(2)如圖,四邊形ABDC為等腰梯形,AB∥CD,AC=BD,CD=2AB,E為CD的中點(diǎn).試求:解決向量加法運(yùn)算時(shí)應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn):(1)可以利用向量的幾何表示,畫出圖形進(jìn)行化簡或計(jì)算.(2)要靈活應(yīng)用向量加法運(yùn)算律,注意各向量的起、終點(diǎn)及向量起、終點(diǎn)字母的排列順序,特別注意勿將0寫成0.探究三

向量加法的實(shí)際應(yīng)用【例3】

在某地抗震救災(zāi)中,一架飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行800km到達(dá)B地接到受傷人員,然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800km送往C地醫(yī)院,求這架飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的和.向量加法應(yīng)用的關(guān)鍵及技巧:(1)三個(gè)關(guān)鍵:一是搞清構(gòu)成平面圖形的向量間的相互關(guān)系;二是熟練找出圖形中的相等向量;三是能根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則作出向量的和向量.(2)應(yīng)用技巧:①準(zhǔn)確畫出幾何圖形,將幾何圖形中的邊轉(zhuǎn)化為向量;②將所求問題轉(zhuǎn)化為向量的加法運(yùn)算,進(jìn)而利用向量加法的幾何意義進(jìn)行求解.本例中,這架飛機(jī)到達(dá)C地醫(yī)院后,往正南方向飛行多大距離即可由此按正西方向飛回A地?解:如圖,由點(diǎn)C作垂線,垂足為D,因?yàn)椤螧AC=45°,所以∠CAD=90°-35°-45°=10°,易

錯(cuò)

辨

析因考慮問題不周全致誤【典例】

試證:對(duì)于任意給定向量a,b,均有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯(cuò)解沒有考慮a,b的所有可能情形,只就a與b不共線時(shí),用三角形的性質(zhì)得出結(jié)論.以偏概全致誤.正解:(1)若a,b中有一個(gè)為0時(shí),則結(jié)論顯然成立.(1)(2)(3)1.平面中兩個(gè)向量的位置關(guān)系有共線與不共線兩種情況,共線又有同向和反向兩種情況,證明時(shí)各種情況都得考慮.2.證明不等式時(shí),不能忽視等號(hào)成立的條件,否則會(huì)因證明過程不全面而失分.【變式訓(xùn)練】

若a,b是非零向量,且|a+b|=|b|-|a|,則(

)A.a,b同向共線B.a,b反向共線C.a,b同向共線且|b|≥|a|D.a,b反向共線且|b|≥|a|解析:由于|a+b|=|b|-|a