第八講-有限元法

等效積分形式：與原有微分方程和定解條件完全等價。加權余量法：對場函數(shù)進行近似，令加權余量等于零。伽遼金法：加權函數(shù)與場函數(shù)的試探函數(shù)（基函數(shù)、形函數(shù)）相同。小結：伽遼金法是有限元法中使用最為普遍的。第八講_有限元法(8)（5）伽遼金法簡單地說，將近似解的試探函數(shù)作為權函數(shù)。更簡潔的形式：伽遼金法的一般表達式引入變分等效積分形式第八講_有限元法(8)靜態(tài)線彈性有限元定解問題真實位移的變分，連續(xù)可導。在給定位移的邊界上，虛應變高斯定律張量形式矩陣形式8/9/20133第八講_有限元法(8)等效積分形式：與原有微分方程和定解條件完全等價。加權余量法：對場函數(shù)進行近似，令加權余量等于零。伽遼金法：加權函數(shù)與場函數(shù)的試探函數(shù)（基函數(shù)、形函數(shù)）相同。小結：伽遼金法是有限元法中使用最為普遍的。第八講_有限元法(8)

基本概念偏微分方程和偏微分方程組：一個未知函數(shù)及其偏導數(shù)組成的方程叫偏微分方程，兩個以上未知函數(shù)及其偏導數(shù)組成的方程組叫偏微分方程組。方程組中未知函數(shù)和方程個數(shù)相等，叫封閉的偏微分方程組（或完全的）。偏微分方程的階和偏微分方程組的階：方程中偏導數(shù)的最高階次叫偏微分方程的階;偏微分方程組的階是方程組中各偏微分方程的階數(shù)之和。第八講_有限元法(8)線性、非線性和擬線性偏微分方程:a)方程中所有出現(xiàn)未知函數(shù)或其偏導數(shù)的項都是未知函數(shù)的一次式的方程叫線性方程b)未知函數(shù)項或未知函數(shù)偏導數(shù)項不是一次式的方程叫非線性方程；c)非線性方程中所有未知函數(shù)的最高階偏導數(shù)是一次式的方程叫擬線性方程。第八講_有限元法(8)齊次和非齊次偏微分方程偏微分方程分類：Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+f=0Δ（=B2–AC）>0：雙曲型，波動方程.Δ（=B2–AC）=0：拋物型，熱傳導方程.Δ（=B2–AC）<0：橢圓型，

位勢方程.第八講_有限元法(8)定解問題：偏微分方程+定解條件（邊界條件+初始條件）a)初值問題n階方程有n個初始條件，初始條件偏導數(shù)的最高階次是n–1.b)邊值問題i:第一類邊界條件（Dirichlet）,ii:第二類邊界條件（Neuman）,iii:第三類邊界條件（Robin）.第八講_有限元法(8)

偏微分方程的解a)解：使偏微分方程兩端恒等的有定義的函數(shù)叫偏微分方程的解.b)通解:對于n階方程，未知函數(shù)有m個自變量，其通解由n個獨立的滿足一定可微要求的函數(shù)組成，且每個函數(shù)有m–1個自變量.

uxyz=0,u=f1(x,y)+f2(x,z)+f3(y,z)

utt–c2uxx=0,u=f1(x+ct)+f2(x–ct).

c)定解問題的解：滿足邊界條件和初始條件的通解.第八講_有限元法(8)

線性疊加原理解的存在、唯一性和穩(wěn)定性解的性質a）橢圓形方程的極值只能在邊界達到。解在內部沒有弱間斷，解在邊界上間斷，在內部也是充分光滑的，邊界條件是封閉的.b）雙曲型方程沒有像橢圓形方程那樣的極值原理，解在內部可以有弱間斷，邊界條件不是封閉的。第八講_有限元法(8)

泛函與變分（Functionalandvariation）1．泛函函數(shù)的函數(shù)a)兩端固定的曲線長度：b)彈性桿的總勢能：c)溫度場泛函：式中f,u,T叫做泛函的容許函數(shù)：滿足一定邊界條件和連續(xù)性的所有函數(shù)有限元法的基本原理曲線長度總勢能溫度場泛函第八講_有限元法(8)

變分定義

a)容許函數(shù)的變分有限元法的基本原理第八講_有限元法(8)第八講_有限元法(8)i）

泛函的值由1個自變量的函數(shù)確定ii）泛函的值由有3個自變量的函數(shù)確定iii）泛函的值由有3個自變量的2個函數(shù)確定第八講_有限元法(8)d）變分運算第八講_有限元法(8)3．變分問題a)函數(shù)的極值問題（無約束和約束）b)變分問題：求泛函的極值函數(shù)c)泛函極值函數(shù)的必要條件d)歐拉方程第八講_有限元法(8)有限元法的基本原理第八講_有限元法(8)e)定解問題與變分問題此式即桿的平衡方程，它就是變分的歐拉方程。有限元法的基本原理i）

固定邊界變分問題與基本邊界條件兩端約束的彈性桿問題：第八講_有限元法(8)ii）非固定邊界變分問題與自然邊界條件邊界條件：泛函：此式即桿的平衡方程第八講_有限元法(8)一端約束（指定位移）的彈性桿解法1：Lagrange乘子法構造新泛函iii）含有約束條件的變分問題Lagrange乘子法與原定解問題完全等效，代價就是引入了新的求解變量第八講_有限元法(8)解法2：罰函數(shù)法構造新泛函有限元法的基本原理當k無窮大時，則滿足第一類邊界條件。不引入新的求解變量。第八講_有限元法(8)小結：1.定解問題（微分方程加定解條件）等價于相應泛函取極值。2.泛函取極值就是有限元方法的理論基礎，將微分形式變成了積分形式。3.不是所有的定解問題都存在相應的泛函。4.不存在泛函的定解問題，可以直接用更廣義的加權余量法。第八講_有限元法(8)泛函的變分彈性長桿的定解問題微分方程定解條件對應泛函第八講_有限元法(8)近似函數(shù)表示的微分方程的殘差邊界條件的殘差其思想是使由近似函數(shù)表示的微分方程的殘差和邊界條件的殘差的加權積分為零

2．加權余量法直接從微分方程出發(fā)的一種積分方法。假設未知函數(shù)采用近似函數(shù)表達：有限元法的基本原理第八講_有限元法(8)伽遼金加權余量法弱形式與變分結果一致。分部積分伽遼金加權余量法

3．加權余量法弱形式：泛函取極值變分等于零可以看出，第八講_有限元法(8)取加權函數(shù)的試探函數(shù)與近似解的試探函數(shù)相同

加遼金有限元法解題過程1）構造加權殘差積分方程2）離散化3）單元分析4）總體分析5）建立和求解有限元方程組4．加遼金加權余量法第八講_有限元法(8)弱形式1）構造加權余量積分方程第八講_有限元法(8)b）單元的總體節(jié)點編號和局部節(jié)點編號，單元e=I，總體節(jié)點編號：1，2，局部節(jié)點編號：1，2；單元e=III，總體節(jié)點編號：3，4，局部節(jié)點編號：1，2。2）離散化第八講_有限元法(8)a)在自然坐標系中構造單元近似解：b）構造加權函數(shù)c）單元坐標：3）單元分析加權函數(shù)、近似解試探函數(shù)、坐標插值函數(shù)的類型一致第八講_有限元法(8)d）單元平衡方程第八講_有限元法(8)a）建立選擇矩陣：4）總體分析第八講_有限元法(8)b)組集單元剛度矩陣c)組集等效節(jié)點載荷d）解以節(jié)點為未知量的方程組第八講_有限元法(8)熱傳導問題的有限元方法第八講_有限元法(8)1）傅里葉定律熱傳導方程1.一維問題熱流密度與溫度梯度成正比。q:單位時間、單位面積流過的熱量單位：W/(m·K)第八講_有限元法(8)2）平衡方程Q=cpmΔT比熱容：cp1千克的物質的溫度上升（或下降）1攝氏度所需的能量。單位：W·s/(kg·K)擴散率的單位：m^2/s第八講_有限元法(8)x=13m,t=1y,theta=0.1x=13m,t=6667y,theta=0.98第八講_有限元法(8)本構關系第八講_有限元法(8)第八講_有限元法